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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆的性质及应用一、圆锥曲线 圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线,其中的椭圆、双曲线、抛物线 叫圆锥曲线, 其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线,双曲线是圆锥 面与平行于轴的平面相截而得的曲线,圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线,其他 平面截取的就为椭圆；圆锥曲线有一个共同的定义： 即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值 的点之轨迹；二、椭圆的定义椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹,线间距离之比为一个小于 1 常值的点之轨迹；也可定义为到定点距离与到定直椭圆的第肯定义： 平面内与两定
2、点 F、F的距离的和等于常数 2a 2a|FF|的动点 P 的轨迹叫做椭圆；即：PF + PF =2a ,其中两定点 F、F叫做椭圆的焦点,两焦点的距离FF 叫做椭圆的焦距；假设 2a=|FF|,为线段,假设 2ab0 ,这样的椭圆长轴在 x 轴上,焦点在 X轴时,假设 b x 22 a y 22 1,ab0 ,这样的椭圆长轴在 y 轴上；焦点在 y 轴时；有两条线段, a、b 中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长,当 ab时,焦点在 x 轴上,焦距为 2 a 2b ,焦距与长、短半轴的关系 2: a 2c 2b 2椭圆的其次定义名师归纳总结 由椭圆的第肯定义：可到椭圆方程为：x2y21y
3、2b2x2b2a2c2x2第 1 页,共 9 页a2b2a2将b2a2c2代入,可得：y2a2a2c2x2a2c2y2x2c2a2所以：y2xc2cx2a4y2xc2cxa22aca由此可得：y2xc2cx2a4y2xxc2c2a2F 不在定直线上,acac所以可得椭圆的其次个定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合定点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 该常数为小于 1 的正数 ,其中定点 F 为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线该定直线的2方程是 x a；常数 e 是椭圆的离心率；e c0 e 1c a留意：准线和焦点对应,左准
4、线对应左焦点,右准线对应右焦点下面我们介绍其次定义的几何说明：可以找到两个球,它们均满意：和圆锥相切于一个圆,与截面相切于一个点；一个在截面和圆锥顶角之间即截得的圆锥体的内切球,小球,另一个在截面与圆锥顶角异侧即圆锥体外切球,大球 ；两个球与截面相切的两个点即是两个焦点,两个球与圆锥相切的两 个圆,那两个圆所在的两个平面它们是平行的分别与原先的截面的交线即是两条准线；通过三角函数的学问应当可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值 设 P 为截面 与圆锥交线上的动点,两个球与截面 的交点为固定点,即为椭圆的焦点,E 为大球和截面 的交点,平面 与平面 的交线为固定直线,即为椭圆的准
5、线；明显 PP1 为动点到定直线的距离,设大的球心为 O,PE 和 PP2为大球外一点 P 到大球的两个切线,所以有 PE=PP2 摸索为什么 PE 肯定为切线,PE 为截面 内的直线,而截面 与球仅仅一个交点椭圆的第三定义：椭圆的其他定义依据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值 a2可以得出： 平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k 的动点的轨b2迹是椭圆,此时 k 应满意肯定的条件,也就是排除斜率不存在的情形；三、.圆锥曲线的几何性质：1. 椭圆的面积是 ab ；椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是：x=acos , y=bsin 名师归纳总结
6、- - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 举例：假设x,yR,且3x22y26,就xy的最大值是 _ ,x2y2的最小值是_ 答：5, 2 y21的椭圆在 x0, y0点的切线为：xx 0yy 012. 标准形式为x 2a2b2a2b23.椭圆焦半径公式 PF 1 =a+ex 0 PF 2 =a-ex 04. 直线与椭圆位置关系 1弦长公式：假设直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且x x 分别为 A、B 的横坐标,就AB 1k2x 1x ,假设y 1,y 分别为A 、 B 的纵坐标,就AB A, B 两点, P 为椭圆上一点,求P
7、AB 面积的最11y 1y2,k2 2直线 l： y=x+1 与椭圆交于大值 . 3相切、相交、相离的条件6直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；0 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有 与抛物线相交且只有一个交点,故 必要条件；5范畴0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是即|x| a,|y| b,这说明椭圆在直线 x= a 和直线 y= b 所围成的矩形里
8、 图 2-18 注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范畴以外的点6对称性x 轴、y 轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心7顶点名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 只须令 x=0,得 y= b,点 B10,-b 、B20,b 是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y=0,得x= a,点 A1-a ,0 、A2a,0 是椭圆和 x 轴的两个交点强调指出：椭圆有四个顶点 A1-a ,0 、A2a,0 、B10,-b 、B20,b 8离心率老师直接给出椭圆的离心率的定义：再讲清离心率 e 的几何意义： 椭圆上一点
9、到焦点的距离和它到准线的距离的比0, 0 e1ac再结合图形分析离心率的大小对椭圆外形的影响：2当 e 接近 0 时,c 越接近 0,从而 b 越接近 a,因此椭圆接近圆；3当 e=0 时, c=0,a=b 两焦点重合,椭圆图形就是圆了课堂练习：1已知是椭圆上一点,假设到椭圆右准线的距离是,就到左焦点的距离为_2假设椭圆的离心率为,就它的长半轴长是_答案： 1 2 1 或 2 3求以下椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：125x 2+4y 2-100=0,2x 2+4y 2-1=04我国发射的科学试验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点距地
10、面 266Km,远地点距地面1826Km,求这颗卫星的轨道方程的方程 4答案：顶点 0 ,2 可能是长轴的端点,也可能是短轴的一个端点,故分两 种情形求方程：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5点 P 与肯定点 F2 ,0 的距离和它到肯定直线 迹方程,并说明轨迹是什么图形三、例题讲解x=8 的距离的比是 12,求点 P的轨例 1：求出椭圆方程x2y21和x1 2y21长轴顶点、焦点、准线方程；所以问题 1 中的全部问4343解：由于把椭圆x2y21向右平移一个单位即可以得到椭圆x1 2y214343题均不变,均为a
11、3 ,b3,c,1ec1a241；x2y21长轴顶点、焦点、准线方程分别为：20,1 0,x4；43x412y21长轴顶点、焦点、准线方程分别为：20,1,10,1 x3摸索：求出椭圆方程x2y21准线方程34例 2、设 AB 是过椭圆右焦点的弦,那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线A.相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判定直线与圆的位置关系呢？名师归纳总结 解：设 AB 的中点为 M ,就 M 即为圆心,直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F,右准线为 l ；第 5 页,共 9 页过点 A、B、M 分别作出准线 l 的垂线,分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知dd12d2又由椭圆
12、的其次定义可知|AF|e|BF|e即|AF|BF|e d 1d2d1d2又|AB|AF|2|BF|ed 12d2且0e1d| AB|故直线与圆相离22例 3、已知点 M 为椭圆x2y21的上任意一点,F 、F 分别为左右焦点；且A1 2,2516求|MA|5|MF1|的最小值求|MA|MF1|的最小值求|MA|MF1|的最小值3分析：应如何把5|MF1|表示出来3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：左准线1l ：xa225,作MD1l于点 D,记d| MD|c3由其次定义可知：|MF1|ec3.|MF1|3d.d5|MF1|da553故有|MA|5|
13、MF1|MA|d|MA|MD|125 33所以有当 A、M 、D 三点共线时, |MA|+|MD| 有最小值：即|MA|5|MF1|的最小值是283328变式 1：3|MA|5|MF1|的最小值；解：3|MA|5|MF 1|3 |MA|5|MF1|32833变式 2：3|MA|MF1|的最小值；285解：3|MA|MF1|3|MA|5|MF1|328553535M D A |MA|MF1|MA|10MF2F110MF2F2MA11其最小值 =10-AF 2课堂练习：已知A 2,3 ,F是x2y21的右焦点,点 M 为椭圆的动点,求MA2MF的最小值,1612并求出此时点 M 的坐标；例 4.
14、已知,为椭圆上的两点,是椭圆的右焦点 假设,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的中点到椭圆左准线的距离是,试确定椭圆的方程解：由椭圆方程可知、两准线间距离为设,到右准线距离分别为,由椭圆定义有,所以,就,中点到 右 准 线 距 离 为, 于 是到 左 准 线 距 离 为, 所 求 椭 圆 方 程 为例 5方程22x1 2y1 2|xy2|表示什么曲线？解：x|1 y1 22；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数且该21yx2|222常数小于 1方程表示椭圆,例 6、06 四川高考 15如图把椭圆的长轴AB
15、分成 8 等分,过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2P 7七个点, F 是椭圆的一个焦点,就|P 1F|P 2F|P 7F|= 解法一：ec3,设iP 的横坐标为ix ,就xi55i不妨设其焦点为左焦点a54由|PiF|ec3得|P iF|e xia2aex i5355i23idc544a5|P 1F|P 2F|P 7F|273 127354解法二：由题意可知1P 和P 关于 y 轴对称,又由椭圆的对称性及其第肯定义可知|P 1F|P 7F|2 a同理可知|P 2F|P 6F|2a,|P 3F|P 5F|2a,|P 4F|a故|P 1F|P 2F|P 7F|7a35例 7
16、.动圆与定圆C1：x+1 2+y2=36 内切 , 与定圆 C2：x-12+y2=4 外切,求圆心M 的方程；椭圆练习题1椭圆其次定义的应用：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1设P x 0,y 0是椭圆x2y21 ab0上任意一点,F 为其左焦点,求PF 的最值a2b22 2例 2在椭圆 x y 1 上求一点 P ,使它到两焦点 F 1, F 2 的距离之积为 1625 92 2例 3已知 A、B 是椭圆 x2 25 y2 1 上的两点,F 是其右焦点,假设 AF 2 BF 2 8 a , AB 中点a 9 a
17、 5到椭圆左准线的距离为 3,求椭圆方程22 2例 4已知椭圆 x y 1,问能否在x轴下方的椭圆弧上找到一点 M ,使 M 到下准线的距离 MN 等3 4于 M 到两焦点 F 1,F 2 的距离的比例中项？假设能找到,求出此点坐标；假设不能找到,请说明理由例 5一个椭圆的焦点是 O 0 0, 和 F 4 0, ,长半轴长是,求这个椭圆的方程2 2例 6已知椭圆方程为 x y 1 , A 4 0, , B 2 , 2 是椭圆内的两点,是椭圆上任意一点,求：125 95PAPB的最小值；2PAPB的最大值和最小值F 1PF23求F 1PF2的面4例 7已知F 1, F2是椭圆x2y21的两个焦点
18、,是椭圆上一点,且10064积名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 椭 圆1.|点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角,就焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除3.去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.假设P x 0,y0在椭圆x2y21上,就过P 的椭圆的切线方程是x xy y1. a2b2a2b26.假设P x 0,y0在椭圆x2
19、y21外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的a2b2直线方程是x xy y1. 7.a22 b椭圆x2y21ab0的左右焦点分别为F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点F PF2,就椭a2b28.圆的焦点角形的面积为SF PF 12b2 tan2.椭圆x2y21ab0的焦半径公式：a2b29.MF1|aex ,|MF2|aex F 1c ,0, F 2 ,0M x 0,y 0. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交10.相应于焦点F 的椭圆准线于M 、 N 两点,就 MF NF. 过椭圆一个焦点F
20、 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MF NF. 名师归纳总结 11.AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦,Mx0y0为 AB 的中点,就kOMkABb2,即第 9 页,共 9 页a2b2a2K ABb a2x0；x2y21内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是x x2y012.y yx02y02. 在椭圆假设P x 0,y0a2b2a22b2a2b2x2y21内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y13.假设P x 0,y0在椭圆x xy y. a2b2a2b2a2b2- - - - - - -