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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点高一数学主要学问点清单必修一第一章集合1集合与元素1集合元素的三个特点：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号或表示3集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言4常用数集：自然数集N；正整数集 N*或 N +；整数集 Z；有理数集Q；实数集 R. 5集合的分类：按集合中元素个数划分 2集合间的基本关系 1子集、真子集及其性质,集合可以分为有限集、无限集、空集子集：对任意的 xA,都有 x B,就 A B 或 B A 真子集：如 A. B,且在 B 中至少有一个元素 x B,但 x.A,性质：
2、. A； A. A；A. B, B. C. A. C. 如 A 含有 n 个元素,就A 的子集有2n 个, A 的非空子集有2 n1 个2集合相等如 A. B 且 B. A,就A=B . 3集合的运算及其性质1集合的并、交、补运算并集： A B x|x A 或 xB；交集： AB x|xA 且 xB ；补集： C UA x|x U 且 x.A U 为全集, CUA 表示 A 相对于全集 U 的补集2集合的运算性质A B A. B. A, A BA.AB；A A A,A ；A A A,A A；A CUA ,ACUAU,CUCUAA. 4 函数的基本概念（3）争论集合的两个工具：韦恩图和实数轴1函
3、数的定义：设 A、 B 是非空 数集,假如根据某种确定的对应关系 f,使对与集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯独 确定的数 fx和它对应,那么称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作： yfx, xA. 2函数的定义域、值域在函数 y fx,x A 中,x 叫自变量, x 的取值范畴 A 叫做 定义域,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 fx|x A 叫值域值域是集合 B 的子集3函数的三要素：定义域、值域和对应关系4相等函数：假如两个函数的定义域和 对应关系 完全一样,就这两个函数相等；这是判定两函数相等的依据5函数的三种表示方法1 表示函
4、数的常用方法有：解析法、列表法、图象法名师归纳总结 2关于函数的解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,第 1 页,共 14 页一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点.3求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等,假如已知函数解析式的构造时,可用待定系数法；已知复合函数 fgx 的表达式时,可用换元法,这时要留意元的取值范畴；当已知表达式较简洁时,也可用凑配法；如已知抽象函数表达式,就常用解方程组消参的方法求出 fx 4两个特别的函数形
5、式分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形留意：如：（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集；复合函数：假如函数y=fu u M,u=gx x A, 就函数 y=fgx=Fx （ 定义域为xAgx M）称为 f、 g 的复合函数；（5）复合函数的单调性 复合而成的复合函数fgx的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性
6、之间的关系是：同增异减；留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集. 6 映射的概念一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于 集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有 唯独 确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“f： A B” 7函数的单调性1单调函数的概念x设函数 yfx的定义域为I,假如对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1, x 2,当 x 12时,都有fx 1fx2或fx 1fx2,那么就说fx在区间 D 上是增函数 减函数 2
7、单调区间的概念假如函数 fx在某个区间D 上是增函数或减函数,就说fx在这一区间上具有严格的 单调性,区间 D叫 fx的单调区间8 函数的最值设函数 yfx的定义域为I,假如存在实数M 满意：对于任意的xI,都有fxM 或 fxM；存在x0I,使得 fx0 M.那么,称M 是函数 y fx的最大值 或最小值 9 偶函数、奇函数的概念一般地,假如对于函数 fx的定义域内任意 x,都有 fxfx,那么函数 fx就叫做偶函数偶函数的图象关于 y 轴 对称一般地,假如对于函数 fx的定义域内任意一个 x,都有 fx fx,那么函数 fx就叫做奇函数奇函数的图象关于 原点 对称10判定函数的奇偶性判定函
8、数的奇偶性,一般都根据定义严格进行,一般步骤是：1考查定义域是否关于原点对称,这是函数具有奇 2考查表达式 fx是否等于 fx或 fx：偶性的必要非充分条件如 f x fx,就 fx为奇函数；如 f x fx ,就 fx为偶函数；如 f x fx且 f x fx,就 fx既是奇函数又是偶函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点如 f x fx且 f x fx,就 fx既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数11 周期性f一般 地 ,对 于 函 数fx , 如 果 存 在 一 个非 零常 数T,
9、使 得 当 x取 定义 域 内的每 一 个 值都 有xTfx ,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数fx,假如在它全部的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期必修一其次章 基本初等函数回忆、总结、升华1 根式1根式的概念假如一个数的 n 次方等于 an 1 且, nN*,那么这个数叫做 a 的 n 次方根也就是,如 x na,就 x叫做 a 的 n 次方根,其中 n 1 且 nN*.式子n a叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数2根式的性质当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负
10、数, 这时,a 的 n 次方根用符号 n a表示当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用符号n a表示,负的 n 次方根用符号-n a 表示正负两个 n 次方根可以合写为n aa0 n a . 当 n 为奇数时,n a n a ；负数没有偶次方根当 n 为偶数时,n a n |a|a , a 0. a , a 0n2有理数指数幂 1幂的有关概念：正分数指数幂 a m nma n负分数指数幂 a mm 1a n0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质arasarsar sarsabrar bra0,b 0, r、
11、 sQ 3指数函数的图象与性质指数函数a 10 a1图象定义域 R名师归纳总结 值域0 ,.第 3 页,共 14 页性质过定点0,1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点当 x 0 时, 0 y1；当 x0 时, y1；x0 时, 0y1 x 0 时, y1.在, 上是增函数 在, 上是减函数4对数的概念1对数的定义假如 axNa0 且 a 1,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlogaN,其 中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数2几种常见对数对数形式特点记法 logaN lg N一般对数底数为 aa0 且 a 1常用对数
12、底数为 10自然对数底数为 elnN5 对数的性质与运算法就1对数的性质alogaNN； log aa N N a0 且 a 12对数的重要公式换底公式：logablogcba, c 均大于零且不等于1；logcalog ab1 log ba, 推广 logablog bclog cd logad.3对数的运算法就假如 a0 且 a 1, M 0, N0,那么log aMNlogaMlogaN； log aM NlogaMlogaN；log aMnnlogaM； log amMnnlogaM. m6对数函数的图象与性质a 1 0 a1图象定义域： 0, 值域： R名师归纳总结 性质过点1,0
13、.第 4 页,共 14 页当 x1 时, y0 当 x 1 时, y0 当 0 x1, y 0当 0x 1 时, y 0是 0, 上的增函数是 0, 上的减函数7反函数 指数函数 y ax与对数函数ylog ax 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称8 幂函数的定义 ：一般地,形如yxR的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量, 为常数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点2,yx3,yx1,yx1的图象9 幂函数的图象 ：在同一平面直角坐标系下,幂函数y x, yx2分别如右图幂函数的九种图象10幂函数的性质函数yx y x2y x
14、31,1 11 yxyx2定义域RRR,0x|xR 且 x 0 值域R0 , Ry|yR 且 y 0 0, 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0 , ,增增增x0, ,减x, 0 ,减x, 0,减定点第三章函数的应用回忆、总结、升华函数图象的作法1描点法作图描点步骤： 1确定函数的定义域；2化简函数的解析式；3争论函数的性质：即单调性、奇偶性、周期性、最值甚至变化趋势 ；4描点连线,画出函数的图象2函数图象的变换法1平移变换水平平移： y fx aa 0的图象,可由 y fx的图象向左 或向 右平移a 单位而得到竖直平移： y fx bb 0的图象,可由 y fx的图象向上 或向下平移 b 单位
15、而得到2对称变换yfx与 yfx的图象关于y 轴对称y fx与 yfx的图象关于x 轴对称y f x与 y fx的图象关于原点对称（3）周期变换名师归纳总结 假如函数 y fx 对定义域内的一切x 值,都满意xafxa,其中 a 是常数, 就函数周期为2 a；第 5 页,共 14 页fx+T fx,就函数周期为T；f- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4翻折变换名师总结优秀学问点其余部分不变得到y |fx|x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方,作为 y fx的图象, 将图象位于的图象；作为 y fx在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作y 轴右
16、边的图象关于y 轴对称的图象,即得y f|x|的图象5伸缩变换y fx图象上每点的纵坐标伸a 1 时缩a 1 时 到原先的 a 倍yafxa 0的图象,可将yfaxa 0的图象,可将y fx的图象上每点的横坐标伸a1 时 缩 a1 时到原先的1 a. 3 函数的零点1函数零点的定义 对于函数 yfx,我们把使 f x 0 的实数 x 叫做函数 yfx的零点2几个等价关系 方程 fx0 有实数根 . 函数 y fx的图象与 x 轴有交点 . 函数 y fx有零点3函数零点的判定 零点存在性定理 假如函数 yfx在区间 a,b上的图象是 连续 不断的一条曲线,并且有 f a f b 0,那么,函数
17、 yfx在区间 a,b 内有零点,即存在 ca, b,使得 fc 0,这个 c 也就是方程 fx0 的根5 二分法求方程的近似解1二分法的定义：对于在区间 a,b上连续不断且faf b0的函数 y fx,通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精确度 ,用二分法求函数fx零点近似值的步骤如下：确定区间a,b,验证fa fb0,给定精确度 ；求区间 a,b的中点c；运算 fc；如 fc 0,就 c 就是函数的零点；如 fa fc0,就令 bc此时零点 x0a,c；如 fc fb0,就令 ac此时零点 x0c,b判定是否
18、达到精确度 .即：如 |ab| ,就得到零点近似值a或 b；否就重复 . 6三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y axa1_y 轴y logaxa1_x 轴_y xnn0在0, 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度爆炸性增长缓慢增长相对平稳图象的变化随 x 增大逐步表现为与随 x 增大逐步表现为与随 n 值变化而不同_平行平行7三种增长型函数之间增长速度的比较在0, 上,总会存在一个 8常用的几类函数模型x0,使 xx0 时有 log ax xn 0,b 1；5对数函数模型 fx mlogax nm、 n、 a 为常数, m 0, a0,a 1；6幂函数模型 fxaxnba、 b、n
19、 为常数, a 0, n 1必修四第一章三角函数正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限,就称为第几象限角PT如：第一象限角的集合为k360k36090 ,k终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为k180 ,k终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 为k9 0 , k3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度5、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是lr6、弧度制与
20、角度制的换算公式：2360 , 1180,118057.37、如扇形的圆心角为为弧度制,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S,就 lr,C2 rl ,S1lr1r2228、 设是 一 个 任 意 大 小 的 角 ,的 终 边 上 任 意 一 点的 坐 标 是,x y, 它 与 原 点 的 距 离 是r r2 xy20,就 siny, cosx, tany x x0yrr9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正10、三角函数线： sin, cos, tanOMAx11.同角三角函数间的关系（结合方程思想）名师归纳总结 tan
21、sin=1 （ 切化弦,通常弦化切应用于齐次式,即分子分母同时除以cos）第 7 页,共 14 页cos 2 + cos（平方关系,凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条件！）sin2（ sin,cos ,tan知一求二, 在实际的运算中往往构造简洁的直角三角形来运算,留意符号看象限）（2）平方关系结合 2sincos变形有：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12sincossincos2名师总结1优秀学问点cossincos22sin（ sincos ,sincos ,sincos即和、差、积知一求二）12、函数的诱导公式：1 sin 2ksi
22、n, cos 2 kcoscos, tan 2 ktantankcos,2 sinsin, coscos, tan3 sinsin, cos, tantan4 sinsin, cos2cos, tantan5 sin2cos,cossin6 sin2cos2sin口诀：函数名称不变,符号看象限口诀：正弦与余弦互换,符号看象限13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx xk2,k名师归纳总结 值域当x2 k1,112时 ,当x1,1时,R第 8 页,共 14 页2k2 kk最值ymax1；当x2kymax1；当x2 k既无最大值也无最小
23、值周期性k时,ymink时,ymin1奇函数22奇偶性奇函数偶函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 单调性在 2k2,2k2名师总结优秀学问点k在k2,k2k在2 k,2k上是增函数；在上是增函数；2 k , 2 k 3 在 2 k ,2 k kk 上是增函数2 2 上是减函数k 上是减函数对称中心对称中心 k ,0 k对称性 对称轴 x k k k2 ,0 k 对称中心 k2 ,0 k2无对称轴对称轴 x k k14、将函数 y sin x的图象上全部点向左（右） 平移 个单位长度 ,得到函数 y sin x 的图象；15、函数 y sin x k
24、0, 0 的性质：振幅：；周期：2；频率：f 1；相位：x；初相：2函数 y sin x k,当 x x 时, 取得最小值为 y min；当 x x 时,取得最大值为 y max,就 1y max y min,k 1y max y min,x 2 x 1 x 1 x 22 2 2争论函数 y sin x 的性质方法：把 x 当成整体 借助正余弦函数,或运用 五点法216. y A sin x k ,0,A0）的图象：T五点法作图：xx0 02Tx 0T32T2xxx03 T0xx 0424sin0 1 01 0 yk Akk A+k k 快速作图 如：名师归纳总结 - - - - - - -第
25、 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点17.解三角方程18.解三角不等式19.yAsinxk,0,A0）的性质：T2性质：1xR ,y2 kAK AKT20 2 单调性：令22kx22k, kZ 得到增区间；令2x3 22k, kZ 得到减区间；03 对称性：令x2k, kZ 得对称轴方程；令x k, kZ（x0,0）为对称中心；图像变换：名师归纳总结 第一种方案： 函数ysinx 的图象上全部点向左（右） 平移个单位长度, 得到函数ysinx第 10 页,共 14 页的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的1
26、倍（纵坐标不变） ,得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的倍（横坐标不变） ,得到函数ysinx的图象其次种方案：函数ysinx 的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的1 倍（纵坐标不变） ,得到- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数ysinx 的图象；再将函数y名师总结优秀学问点个单位长度,得到sinx 的图象上全部点向左（右）平移函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的倍（横坐标不变） ,得到函数ysinx的图象例如：y3sin 2x图像向右平移6个单位
27、得y=3sin2x-3的图像；20、正余型函数的奇偶性：1yAsinx是 奇 函 数kkkZ； 2yAsinx是 偶 函 数是 偶 函 数k2kZ；2kZ； 4yAcosx3yAcosx是 奇 函 数kkZ；kkZ .3 |sinx| cosx| 1 . 5yAtanx是奇函数221.常见三角不等式：x . （1）如x0,2,就 sinxxtan22 如x0,2,就 1sinxcosx. 必修四其次章平面对量1、向量：既有大小,又有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度单位向量：长度等于 1个单位的向量数量：只有大小,没有方向的量零向量：长度为 0 的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或
28、相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点三角形不等式：ababab a0aa ,y 1y 2aC运算性质：交换律：abba ；a0结合律：abcabc；坐标运算：设ax 1,y 1,bx 2,y 2,就bx 1x 2b名师归纳总结 abC第 11 页,共 14 页 C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点3、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量坐标运算：设ax 1,y 1,bx 2,y 2,就abx 1x 2,
29、y 1y2设、两点的坐标分别为x y 1 1,x 2y 2,就x 1x 2,y 1y 24、向量数乘运算：实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 a a a；当 0时,a的方向与a的方向相同；当 0时,a的方向与a的方向相反；当 0时,a 0运算律： a a ； a a a ； a b a b 坐标运算：设 a x y,就 a x y x , y5、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 b a 设 a x 1 , y 1,b x 2 , y 2,其中 b 0,就当且仅当 x y 2 x y 1 0 时,向量 a 、b b 0 共线6、平面
30、对量基本定理： 假如 1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 1、2,使 a 1 1 e 2 e （不共线的向量 2 1e 、2e 作为这一平面内全部向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点是线段12上的一点,y 21、2的坐标分别是x y 1,x 2,y 2,当12时,点的坐标是x 1x 2,y 1（当1 时,就为中点公式；）118、平面对量的数量积：名师归纳总结 a ba bcosa0,b0,0b180零向量与任一向量的数量积为0 第 12 页,共 14 页性质：设 a 和 b 都是非零向量,就aa b0当 a 与 b 反向时, a
31、ba b ；当 a 与 b 同向时, a ba b ；a aa2a2或 aa a a ba b - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 运算律： a bb a ；ab名师总结优秀学问点b； abca cb c a ba坐标运算：设两个非零向量 a x y 1,b x 2 , y 2,就 a b x x 2 y y如 a x y,就 a 2x 2y ,或 2a x 2y 2设 a x 1 , y 1,b x 2 , y 2,如 a b x x 2 y y 2 0设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ,a x y 1 1,b x 2 , y 2,是 a 与 b
32、 的 夹 角 , 就c o s a ba b x 1 2 x xy 21 2 x y y2 2 2y2 29、设 O 为 ABC所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,就2 2 2 O 为 ABC的外心 OA OB OC . O 为 ABC的重心 OA OB OC 0 . O 为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA . ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 Ax ,y 、1 1 Bx ,y 2 2 、Cx ,y 3 3 , 就 ABC 的 重 心 的 坐 标 是G x 1 x 2 x 3 , y 1 y 2 y 3 . 3 310、“ 按向量平移”
33、 的几个结论点 P x y 按向量 a= , 平移后得到点 P x h y k . 函 数 y f x 的 图 象 C 按 向 量 a= , 平 移 后 得 到 图 象 C , 就 C 的 函 数 解 析 式 为y f x h k . 11、对于平面上任意一点 O ,存在 a b,使 OC aOA bOB ,就 a b 1 A B C 三点共线 .12、在 ABCD 中, 1 AB AD AB AD 0 ABCD 是菱形；2 AB AD AB AD ABCD 是矩形；2 2 2 23平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和 . a b a b 2 a b 13、a b 夹角为锐角 a b 0 且 a b 0 .14、a b 夹角为钝角 a b 0 且 a b 0 .数学重要的思想方法：1数形结合的思想2.函数与方程的思想：函数与方程可以相互转化,留意运用函数与方程的思想解决问题；3.分类争论的思想 在求解数学问题中,遇到以下情形经常要进行分类争论涉及的数学概念是分类定义的；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - -