2022年锐角三角函数学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次十八章 锐角三角函数281 锐角三角函数- 正弦函数为了绿化荒山,某地准备从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,.在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30 ,为使出水口的高度为35m,那么需要预备多长的水管？这个问题可以归纳为,在 BRt ABC中, C=90 , A=30 , BC=35m,.求 AB解 ： 根 据 “在 直 角 三 角 形 中 , 30 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的 一 半 ” , 即A 的对边BC1 2AC斜边AB可得 AB=2BC=70m,也就是说,

2、需要预备70m长的水管摸索：.在上面的问题中,.假如使出水口的高度为50m,那么需要预备多长的水管？第 2 个问题：既然直角三角形中,30 角的斜边与对边的比值不变,那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？.我们再换一个试一试. B 如图 281-2 ,在 Rt ABC中, C=90 , A=45 , A 对边与斜边的比值是一个定值吗？ . 解：BC BC 1= 2,AB 2 BC 2 2A C 即在直角三角形中,当一个锐角等于 45 时,不管这个直角三角形的大小如何,.这个角的对边与斜边的比都等于 22从上面这两个问题的结论中可知,.在一个 Rt ABC中, C=90 ,当 A=30

3、时, A 的对边与斜边的比都等于1,是一个固定值；.当 A=45 时, A 的对边与斜边的比都等于 2,也是一个固定值2 2一般地,当 A取其他肯定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图： Rt ABC与 Rt ABC , C=C =90 o, A=A= ,那么 与 有什么关系？分 析 ： 由 于 C=C =90 o , A=A= , 所 以Rt ABCRt ABC,即结论：在直角三角形中,当锐角A 的度数肯定时,不管三角形的大小如何,A的对边与斜边的比也是一个固定值；一 正弦函数的概念a、b、c,AcB如图,在Rt ABC中, C=90 , A、 B、 C 所对的边分别记为

4、我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A的正弦 ；记作 sinA ；a即 sinA A 的对边a斜边cbC 读作 /s in/ 留意 ：1、sinA 不是 sin与 A 的乘积,而是一个整体；B 3 C2、正弦的不同表示方式：sinA 、sin、 sin56 、 sin DEF 、sin 1 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位二 正弦函数的简洁应用 例 1 如图,在 Rt ABC中, C=90 ,求 sinA 和 sinB 的值A41名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1如图 1,已

5、知点 P 的坐标是（ a,b）,就 sin 等于（）Aab Bba Ca 2 ab 2 D .a 2 bb 2AB C（1）（2）2 设直角三角形的两条直角边的比为 5:12 ,就较大锐角的正弦值等于 _3在 Rt ABC中, C=90 , sinA=5,就 sinB 等于（）13A12 B13 C5 D513 12 12 134（2004辽宁大连）在 Rt ABC中, C=90 , a=1,c=4,就 sinA 的值是（）A15B . 1C . 1D . 1515 4 3 45如图 2,在 Rt ABC中, C=90 , AB=10,sinB=2,BC的长是（）5 A 2 21 B .4 C

6、 . 21 D . 215062006 海南 三角形在正方形网格纸中的位置如下列图,就 sin 的值是（）A3 B4 C3 D44 3 5 57（2005 厦门市）在直角ABC中, C90 o,如 AB5,AC4,就 sinA （）3 4 3 4A5 B5 C4 D382006 黑龙江 在ABC中, C=90 , BC=2,sinA= 23,就边 AC的长是 C 4A9如图,已知 13 BAB是 O的直径,点 3 C3 DC、D在 O上,且 AB5, BC35 A O B 就 sin BAC= ；sin ADC= D 10 2006 成都 如图,在 Rt ABC中, ACB90 , CDAB于

7、点 D；已知 CAC= 5 ,BC=2,那么 sin ACD（）A5 B2 C2 5 D53 3 5 2 A11在 ABC中, C=90 , 3a= 3 b,就 sin A_D B12等腰梯形,上底长是 1cm,高是 2cm,底角的正弦是 4 ,就下底 =_,腰长 =_513在 ABC中, C=90 , a=8,b=45 ,就 sin A+sin B=_名师归纳总结 14 等腰三角形底边长是10,周长是40,就其底角的正弦值是（）第 2 页,共 13 页A2 B 32 2 4 2 5 2 C D 3 3 3ABC中, C=90 , CDAB于 D就 sin B=（15如图,在ACD B ABA

8、C C BCBC D ABACAB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 28.1.2 余弦、正切函数学习必备欢迎下载（一）余弦、正切的概念类似于正弦的情形,当锐角A 的大小确定时,A 的邻边与斜边的比、A 的对边与邻边的比也分别是确定的我们把A 的邻边与斜边的比叫做A的余弦 ,记作 cosA,即 cosA= A的邻边 =a（读作 /k us in/ ）；斜边 cA 的对边与邻边的比叫做A的正切 ,记作 tanA ,即 tanA= A 的对边 =a（读作 /t dg. nt/ ）；A 的邻边 b锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数 注：对于锐

9、角 A 的每一个确定的值,sinA 有唯独确定的值与它对应,所以 sinA 是 A 的函数 同样地,cosA,tanA 也是 A 的函数（二）余弦、正切概念的应用 B如图,在 Rt ABC中, C=90 , BC=.6,sinA=3,求 cosA、tanB 的值65A C1. 分别求出以下直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值；C B12B在Rt13A3AC22.ABC中,假如各边长都扩大2 倍,那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？B3.如图在RtABC中,C90,AC8,tanA3,求sinA cosB的值4C8A练习： 1. ABC中, C 90 ,且 c3b, 就 co

10、sA （）22 2110） ,就它们重叠部分（图中阴影BA3B. 3C.3 D.32在 Rt ABC中,各边的长度都缩小一半,那么锐角A 的各三角函数值（A） 都扩大两倍（B）都缩小两倍（C）没有变化（ D）不能确定3如图 1,两条宽度都为1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为部分）的面积为（）A1aB .1a Csina D1 sincosAABDCC 1 2 3 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,就 AB,BC,4如图 2,在四边形ABCD中, BAD=BDC=90 ,且 AD=3,

11、sin ABD=3 5,sin DBC=12 13CD长分别为（） A4,12,13 B4,13,12 C5,12,13 D5,13, 12 5假如 a 是锐角,且cosa=4 5,那么 sin （ 90 -a ）的值等于（）A9 B . 4 C . 325 5 56如图 3,菱形 ABCD中,对角线D . 1625AC=6,BD=8, ABD=a,就以下结论正确选项（） Asina=4 Bcosa=3 Ctana=45 5 37如图 4,为测河两岸相对两杆 A、B间距离,在距B间的距离应为（） Dtana=34A 点 17 米的 C处（ ACAB）测得 ACB=50 ,就 A、 A17sin

12、50 米 B17cos50 米 C17tan50 米 D17 米8在 ABC中, C=90 ,且 ACBC,CDAB于 D,DEAC于 E,EFAB于 F,.如 CD=.4,AB=10,就 EF：AF等于（）5 C5D.2 5 A1 2 B2559在中,那么ABC D10依据图中信息,经过估算运算的结果, 精确到 0.01 是 A0.36 B0.46 C0.90 D2.18 ,于,11已知：如图,O是的外接圆, AD是O的直径,连接CD,如O的半径就的值是 ,AB C D12如图,CD是平面镜, 光线从 A 点动身经 CD上点 E 反射后照耀到B 点,如入射角为于,且,就的值为 AB CD第

13、10 题第 11 题第 12 题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 28.1.3 特别角的三角函数值学习必备欢迎下载（一）特别值的三角函数注：（ sin60 ）2 用 sinsin 304560123cos222321tan 2223 1 3260 表示,即为（3sin60 ） （sin60 ）对于 sina 与 tana ,角度越大函数值也越大；对于cosa ,角度越大函数值越小30 sin 1, 0 cos 1,1 sin +cos 24.0 45, sin cos ；45 cos （二）特别角三角函数的应用（1

14、） cos260 +sin260 （2）cos+cos+sinsin（3）cos45 sin 45-tan45 4（5） 12sin 30 cos30（ 6）3tan30tan452sin60（7）1cos601（8）2sin30cos 30sin60sin60tan30（9）2cos 30tan60（10）sin245cos245（11）cos245tan60cos30（ 12）2sin30 -2cos60 +tan45 （13）sin30 cos45 +cos60（14）2sin60 -2cos30 sin45 （15）cos45sin 30（16）sin 45 cos303 2cos 6

15、0-sin60 （ 1-sin30 ）1 2tan 45cos60名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （17）tan45 sin60 -4sin30 学习必备欢迎下载; cos45 +6 tan30 （ 18）2cos6022sin 30（19）sin 45+cos45 cos30 （20）2sin30 -2cos60 +tan45 tan 30tan 60练习： 1 如下图,在Rt ABC中, C=90,请你依据图中给出的条件求出A的度数AB2232B4AB12ACCC2、填空名师归纳总结 1sin 501,就_2

16、sin21,就_上223cos 903 2,就_4tan33,就_54sin23 tan2 4tan 63 0 , 就-3=0 , 就_7 Rt ABC中, C=90 ,sinA1,就 cosB =_ 223. 如图,钓鱼竿AC长 6m,露在水面上的鱼线BC长32m,某钓者想看看鱼钓就的情形,把鱼竿AC转动到A C的位置,此时露在水面上的鱼线BC为33,鱼竿转过的角度是 A60 B 45 C15 D904m为方程x2x60的根, n 为方程x22x80的根, sinA=m , 就 nA5在ABC中, A、 B 都是锐角,且sinA=1 2,cosB=3,就 ABC的外形是（）2 A直角三角形

17、B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定6. 在 ABC中,三边之比为a：b：c=1：3 ：2,就 sinA+tanA 等于（）A32 3B.13C.3 3D.316222第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7如（3 tanA-3 ）2+ 2cosB-3 =0,就 ABC（） A是直角三角形 B是等边三角形 C是含有 60 的任意三角形 D是顶角为钝角的等腰三角形282 解直角三角形（一）什么是解直角三角形一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角；那么除直角外,假如再知道两个元素（其中至少有

18、一个是边）,这个三角形就可以确定下来；AB在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,就是解直角三角形 解直角三角形时一般要用到下面的某些学问：（1）三边之间的关系 a2+b 2=c2（2）两锐角之间的关系A+B=90 （3）边角之间的关系： （一般ABC中,设 A 对边 a, B 对边 b, C对边 c） sinA=A的对边=a c,sinB=B的对边=b c斜边斜边 cosA=A的邻边=b c,cosB=B的邻边=a c斜边斜边C tanA=A 的对边=a b,tanB=B的对边=a bA 的邻边B的邻边（二）解直角三角形实例1、如图RtABC中,2C90, AB 83 , A60 ,请你

19、解这个直角三角形；BAB30A解：B9090_AC1 AB 21_C2BC=AB2AC_ _解直角三角形留意点解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦）,无弦用切（正切） ,宁乘毋除,取原避中 ” 其意指：当已知或求解中有斜边时,可用正弦或余弦；无斜边时,就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时,就用乘法,不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时,尽量使用原始数据,防止使用中间数据1有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题,题.但可以添加合适的帮助线转化为解直角三角形的问2一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题3解含有非基本元素的直角三角形（即直

20、角三角形中中线、高、角平分线、.周长、面积等） ,一般将非基本元素转化为基本元素,或转化为元素间的关系式,再通过解方程组来解练习 1 ABC中, C90 ,依据表中的数据求其它元素的值：名师归纳总结 a b 12 c A B 第 7 页,共 13 页2 4 30 45 60 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 53 ABC 45 90学习必备欢迎下载8 2 2、如图Rt,a36 , A 30 ,请你解这个直角三角形；中,C3、如图中,a6,b23 ,请你解这个直角三角形RtABCC90AC B4直角三角形中两边的比是 1：2,就较短边所对的角的正弦值是（

21、） A1 B5 C1 或 5 D3 或 52 5 2 5 2 55 ABC中, C=90 , AB=13, BC=5,tanB 的值是（） A5 B . 13C . 12D . 1213 5 13 56在 Rt ABC中, CD为斜边 AB上的高,已知 AD=8, BD=4,那么 tanA 等于（） A2 B2 C2D . 22 3 4 837在ABC中, C=90 ,且 cosA=, B 平分线的长为 26,就 a=_,b=_,c=_28在 Rt ABC中, C=90 , AB=5,sinA=3,就 BC=_59AD为 Rt ABC斜边 BC上的高,已知 AB=5cm,BD=3cm,那么 B

22、C=_cm10 已知 Rt ABC中, C=90 , b=2 5 , A 的平分线 AD=4 15 ,解这个直角三角形3AC B11 ABC中, AD是 BC边上的高, tanB=cos DAC（1）求证： AC=BD;（2）如sinC=12 13,BC=12,求 AD的长6cm,那么这个三角形的面积为（）12、假如等腰三角形的底角为30 ,腰长为 A4.5cm2 B93 cm 2 C183 cm 2 D2 36cm13、如图, 沿 AC方向开山修路, 为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从 AC上的一点 B,取 ABD=145 , BD=500m, D=55 ,要使 A,C,E 成始

23、终线, .那么开挖点E离点 D的距离是（） A 500sin55 m B500cos55 m C500tan55 m D 500m 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 28.2.2解直角三角形的应用学习必备欢迎下载例 3 20XX年 10 月 15 日“ 神舟” 5 号载人航天飞船发射胜利 . 当飞船完成变轨后,就在离地球表面 350km的圆形轨道上运行 . 如图 , 当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时,从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 .这样的最远点与 P 点的距离是多少 . 地球半径约为 6 4

24、00 km,结果精确到 0. 1 km,cos1854 0.9481 一仰角、俯角当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角例 4 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o,看这栋离楼底部的俯角为60o,热气球与高楼的水平距离为120 m. 这栋高楼有多高 结果保留根号 . 练习：1 建筑物 BC 上有一旗杆AB ,由距 BC 40m 的 D 处观看旗杆顶部A 的仰角为 60 ,观看底部的仰角为45 ,求旗杆的高度（结果保留根号）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - -

25、- - - - - 2如图,一只运载火箭从地面学习必备欢迎下载R 处的雷达站测得AR 的距离L 处发射,当卫星到达A 点时,从位于地面是 6km,仰角为45 , 后,火箭到达B 点,此时测得BR 的距离是 8km,仰角为 45 ,这个火箭从A 到 B的平均速度是多少（结果保留根号）3两建筑物的水平距离BC 为 30m,从 A 点测得 D 点的俯角为30,测得点的俯角为45,球这两个建筑物的高度（结果保留根号）4如图,河旁有一座小山,从山顶A 处测得河对岸点C的俯角为 30o,测得岸边点D的俯角为 45o,又知河宽 CD为 50 米,现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求缆绳 AC的长

26、（答案可带根号）. A山C D5、在宽为 30 米的街道东西两旁各有一楼房,从东楼底望西楼顶仰角为 30 ,求东楼高 结果保留根号 45 ,从西楼顶望东楼顶,俯角为6、如图,某幢大楼顶部有一块广告牌 CD,甲乙两人分别在相距 8 米的 A、B两处测得 D点和 C点的仰角分别为 45 和 60 ,且 A、 B、E 三点在一条直线上,如 BE15 米,求这块广告牌的高度 取 31.73 ,运算结果保留整数 CDA 45B 60E名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二方位角与方向角1方向角指北或指南方向

27、线与目标方向所成的小于 90 的角叫做 方向角 如图 28 2-1 中的目标方向线 OA, OB, OC 分别表示 _ ,_ ,_ 如目标方向线与指北或指南的方向线成 45 的角,如图 282-1 的目标方向线 OD与正南方向成 45 角,通常称为西南方向图 282-1 图 282-2 2 方位角从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角,叫做 方位角 如课本图 282-2 中,目标方向线 PA,PB,PC的方位角分别是 40 , 135 , 225 例 5如图,一艘海轮位于灯塔 P的北偏东 60 方向,距离灯塔 80 海里的 A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东

28、30 方向上的 B 处. 这时,海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（结果保留根号）1.海中有一个小岛A ,他的四周8 海里内有暗礁, 渔船跟踪鱼群由西向东航行,在 B 点测得小岛A 在北偏东 60 方向上,航行 12 海里到达 D 点,这时测得小岛 A 在北偏东 30 方向上,假如渔船不转变航线继续向东航行,有没有触礁的危急 . AB D2中华人民共和国道路交通治理条例规定：“ 小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70km/h” ,一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶,在距路边 30m处有“ 车速检测仪 O” ,测得该车从北偏西 60 的 A点行驶到北偏西 30. 的 B 点,所用时

29、间为 3 s（1）试求该车从 A 点到 B 点的平均速度 ; （ 2）试说明该车是否超过限速3如图,某海疆直径为 30 海里的暗礁区中心有一哨所 A ,值班人员发觉有一轮船从哨所正西方向 60 海里的 B 处向哨所驶来, 哨所准时向轮船发出了危急信号,但轮船没有收到信号,又连续前进了 哨所其次次发出紧急信号30 海里到达 C 处,此时名师归纳总结 1如轮船收到第一次信号后,为防止触礁,航向转变角度至少为东偏北 度,求 sin 的值第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2当轮船收到其次次信号时,为防止触礁,轮船航向

30、转变的角度至少应为多少？三坡度与坡角坡面的铅直高度 h 和水平宽度l的比叫做 坡度（或坡比） ,一般用 i 表示,即h,常写成 i=1 ：m的形式,如 i=1:2.5 l坡面与水平面的夹角 叫做 坡角 练习： 1. 一段坡面的坡角为 60 ,就坡度 i=_ ；2. 已知一段坡面上,铅直高度为 3 ,坡面长为 2 3 ,就坡度 i=_, 坡角 _度3. 已知一山坡的坡度为 1:3 ,某人沿斜坡向上走了 100m,就这个人上升了 m 4. 如图 , 水库大坝的截面是梯形 ABCD.坝顶 AD6m,坡长 CD8m.坡底 BC30m, ADC=135 . 1 求 AB坡坡度 结果精确到 0.1 2 如

31、坝长 100 m,求建这个大坝需多少石料？（结果保留根号）5、利用土路修筑一条渠道,在路中间挖去深为 0.6 米的一块 图中阴影部分是挖去部分 ,已知渠道内坡度为 11.5 ,渠道底面宽BC为 0.5 米,求：AB横断面 等腰梯形 ABCD的面积；修一条长为100 米的渠道要挖去的土方数6、斜坡 AC的坡度（坡比）为1:3 ,AC10 米坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与 A 点有一条彩带相连, AB14 米试求旗杆BC的高度BCA7. 如图,渠道横截面为等腰梯形,内坡比为 2：1,渠深为 2m,上口宽为 3.5m,就渠道底宽 _ 8. 如图,某大坝的横断面是梯形,上底 AD为 4 米,近水面（斜坡 AB）的坡度 i=1 ：3 ,斜坡 AB的长度名师归纳总结 为 12 米,背水面（斜坡CD）的坡度为 i=1 ：1,求（1）斜坡 AB的坡角（ 2）坝底宽 BC和斜坡 CD的长；（结第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 果保留根号）学习必备欢迎下载第 13 页,共 13 页- - - - - - -