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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立体几何初步与解析几何初步1、圆柱是由矩形旋转得到,圆锥是由直角三角形旋转得到,圆台是由直角梯形旋转得到,球是由半圆旋转得到 . 2、中心投影的投影线相交于一点,平行投影的投影线相互平行 . 3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆 . 4、空间几何体的表面积：（1）直棱柱的侧面绽开图是矩形；设棱柱的高为h ,底面多边形的周长为c,就直棱柱的侧面积S直棱柱侧面积ch；（2）正棱锥的侧面绽开图是全等的等腰三角形；设正棱
2、锥底面正多边形的边长为的侧面积S正棱锥侧面积1nah1ch；22a,底面周长为 c,斜高为 h ,就正 n棱锥（3）正棱台的侧面绽开图是全等的等腰梯形；设正 n棱台的上底面、下底面边长分别为 a 、 a,对应的周长分别为 c 、 c,斜高为h,就正n棱台的侧面积 S 正棱台侧面积 12 n a a h 12 c c h；2（4）圆柱的侧面绽开图是矩形；设圆柱的底面半径为 r ,母线长为l,就圆柱的底面面积为 r,侧面积为 2 rl ,圆柱的表面积 S圆柱表面积 2 r r l；（5）圆锥的侧面绽开图是扇形；设圆锥的底面半径为 r ,母线长为l,就圆锥的侧面积为 rl ,表面积 S圆锥表面积 r
3、 r l；（6）圆台的侧面绽开图是扇环；设圆台的两底面半径分别为 r 、 r ,母线长为 l ,就圆台的侧面积为 r r l ,表面积2 2S 圆台表面积 r r r l rl；2（7）设球的半径为R,就球的表面积 S 球表面积 4 R . 5、空间几何体的体积：（1）设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为S,高为 h ,就柱体的体积V柱体Sh；V台体1 3h SSSS；第 1 页,共 7 页（2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S,高为 h ,就锥体的体积V锥体1Sh；3（3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为S 、 S,高为 h ,就台体的体积（4）设圆柱的底面半径为r ,高为h,就圆柱的体积
4、V圆柱r2h；r2rrr2；（5）设圆锥的底面半径为r ,高为h,就圆锥的体积V圆锥1r2 h；3（6）设圆台的上、下底面半径分别为r 、 r ,高为 h ,就圆台的体积V圆台1h3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （7）设球的半径为R,就球的体积V球43 R. 36、平面的特点：平的,无厚度,可以无限延展 . 7、平面的基本性质：公理 1、假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. . . . . 第 2 页,共 7 页数学符号表示：l,l,l公理 2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 数学符号表示：, ,C
5、三点不共线有且只有一个平面 使,C公理 3、假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 数学符号表示：l且l公理 4、平行于同一条直线的两条直线相互平行. 数学符号表示：a/ , /ca/c推论 1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2、经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3、经过两条平行直线,有且只有一个平面. 8、等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 9、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条
6、直线平行,就该直线与此平面平行. 数学符号表示：a, b, / a ba/直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行数学符号表示：a/ ,a,ba b10、平面与平面平行的判定定理： （1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行数学符号表示：a, b, ab, / , /（2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号表示：a,a/（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 数学符号表示：/ ,/平面与平面平行的性质定理： （1）假如两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面数学符号表示：/ ,aa /（
7、2）假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 数学符号表示：/ ,a ,ba b11、直线与平面垂直的判定定理： （1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直数学符号表示：m,n,m n,lm lnl（2）假如两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 数学符号表示：a b ab名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）假如一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面 . 数学符号表示：/ ,aa. . 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
8、 数学符号表示：a, ba b12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直. 数学符号表示：a,a平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示：,b a,aba13、三垂线定理：在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 数学符号表示：,为在 内的射影,a,aa三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线, 假如它与这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直数学符号表示：,为在 内的射影,a,aa14、求异面直线所成的角（090 ）的步骤：（1）挑选适当的
9、点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中,运算这个角的大小,如该三角形为直角三角形,等腰三角形等特别三角形,便易求此角大小. 15、求直线与平面所成的角（090 ）的步骤：（1）在斜线上找适当的点 ,过该点作平面的垂线 ,连结垂足和斜足 ,就斜线与射影的夹角就是直线与平面所成的角. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中,运算这个角的大小,如该三角形为直角三角形,等腰三角形等特别三角形,便易求此角大小. 16、求二面角的平面角（0180 ）的步骤：（1）在二面角的棱上找适当的点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,
10、这两条射线所成的角,即为二面角的平面角（2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中,运算这个角的大小,如该三角形为直角三角形,等腰三角形等特别三角形,便易求此角大小. 17、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为0180 ,斜率为 k ,就ktan. 2. 当2 时,斜率不存在 . 0；当90180 时,k0. （2）当090 时,k（3）过1x 1 ,y 1,2x 2 ,y2的直线斜率ky x x 2 y x x 1 218、两直线的位置关系：两条直线l1:yk 1 xb l2:yk2 xb 斜率都存在,就：第 3 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学
11、习资料 - - - - - - - - - （1）l l2k k b b 2；（2）l1l2k k 21当 的斜率不存在 的斜率为 时 l 1 l 2 , l1l2；（3）l1 与 2l 重合k k b b 2. 19、直线方程的形式：（1）点斜式：yy 0k xx 0（定点,斜率存在）（2）斜截式：y ykx b （斜率存在,在 y 轴上的截距）y 1x x y 1x x 1y x x 2（两点）（3）两点式：y2y 1xy1（在x轴上的截距,在y轴上的截距）（4）截距式：ab（5）一般式：xy C022020、直线的交点坐标：设l1:1 x1yC 10, l2:2 x2yC20,就联立方程
12、组1 x1 yC 102 x2y0C2（1）当方程组有惟一解时,两条直线相交,此解是交点的坐标；（2）当方程组无解时,两条直线平行；（3）当方程组有很多组解时,两条直线重合. x 0x 2x 12y 2y 12第 4 页,共 7 页设l1:1 x1yC 10, l2:2 x2yC20,就：11（1）1l 与2l相交22 ；（2）l l211C 1C ；22（3）1l 与2l重合11C 1C . 2221、两点1x 1 ,y 1,2x 2 ,y2间的距离公式12原点0,0 与任一点,x y 的距离x2 y22y 0C22、点0x 0 ,y0到直线:xyC0的距离d2名师归纳总结 - - - -
13、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）点0x 0,y 0到直线l:xC0的距离dx 0C（2）点0x 0,y 0到直线:yC0的距离dy0CC C 2220交点的直线方程为（3）点0,0 到直线 :xy C0的距离dC2223、两条平行直线xy C 10与xy C 20间的距离d24、过直线l1:1 x1 yC 10与l2:2 x2yC21 x1 yC 12 x2yC20RD25、与直线l:xyC0平行的直线方程为xyD0C与直线:xy C0垂直的直线方程为xy D026、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点x 1 ,y 2,x 2,y2关于点x 0x x 22x
14、 0 ,y0对称,就y0y 1y 22（2）轴对称：设x 1 ,y 1,x 2,y 2关于直线l:xyC0对称,就：a、0时,有x x 22C且y 1y ；a b ,半径长为 r ）b、0 时,有y y2C且x x 22y y 2x x 2c、0时,有x x 22y y2C0227、圆的标准方程：x a2y b22 r （圆心圆心0,0 ,半径长为 r 的圆的方程2 x2 yr228、点与圆的位置关系：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设圆的标准方程x a2y b22 r ,点x 0 , y 0,就：（1）当点在圆上
15、时,x 0a2y0b22 r ；4 F02E24 F为半径的圆；（2）当点在圆外时,x 0a2y 0b22 r ；（3）当点在圆内时,x 0a2y 0b22 r . 27、圆的一般方程：2 x2 yDxEy F0D22 E（1）当2 2D E4 F0时,表示以D,E为圆心,1D222（2）当2 2D E4 F0时,表示一个点D,E；22（3）当2 D E2 4 F0时,不表示任何图形 . 28、直线与圆的位置关系：设 直 线l:xy C0与 圆C x a2y b2r2, 圆 心 到 直 线 的 距 离da2bC, 方 程 组2xy2C0r2,为方程组消去一元后得到的方程的判别式,就：y b2x
16、 a（1）相交dr0方程组有两组实数解；（2）相切dr0方程组有一组实数解；（3）相离dr0方程组无实数解 . 29、圆与圆的位置关系：设圆C 的半径为1r ,圆C 的半径为2r ,就：1r ；第 6 页,共 7 页（1）C 与C 相离CC2r1r2；（2）C 与C 相切CC2r1r ；r1r2CC2r（3）C 与C 相交（4）C 与C 内切C C 2r1r2；（5）C 与C 内含C C 2r1r2. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 30、过两圆2 x2 yD 1 xEy 1F10与2 xy2D2 xE 2 yF20交点的圆的方程x2y
17、2D1 xE 1 yF12 x2 yD2 xE 2yF2021y2y 12z 2z 12第 7 页,共 7 页当1 时,即两圆公共弦所在的直线方程. 31、点a b c 关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标：（1）关于xoy平面的对称点坐标为a b , ,c ；（2）关于xoz平面的对称点坐标为a ,b c ；（3）关于yoz平面的对称点坐标为a b c ；（4）关于x轴的对称点坐标为a ,b ,c ；（5）关于y轴的对称点坐标为a b , ,c ；（6）关于 z 轴的对称点坐标为a ,b c ；（7）关于原点的对称点坐标为a ,b ,c ；32 点1x 1 ,y 1 ,z 1,2x 2,y2 ,z 2间的距离12x 2x 1点10,0,0 ,2x y z 间的距离122 x2 y2 z名师归纳总结 - - - - - - -