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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习学习过程一、课前预备（预习教材 P102 P104,找出疑问之处）复习 1：可以确定一条直线；确定一个平面地方法有哪些？复习 2：如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上？复习 3：设 a a 1 , a a 3 ,b b b b 3 ,ab二、新课导学 学习探究探究任务一 ：向量表示空间地点、直线、平面问题 ：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中位置置？新知 ：P 位置置就可以用向量uuur OP来表 点：在空间中,我们取肯定点 O 作为基点,那么空间中任意一点uuur示,我们把向量 OP 称为点 P 位置置向量
2、 .直线：直线地 方向向量 ：和这条直线平行或共线地非零向量 uuur uuur 对于直线 l 上地任一点 P,存在实数 t ,使得AP t AB. ,此方程称为 直线地向量参数方程. 平面：内两个不共线向量确定uuur r , x y ,使得 OP xa.对于平面 r yb .上地任一点r r P , , a b是平面内空间中平面位置置可以由两个不共线向量,就存在有序实数对垂直于平面空间中平面 位置置仍可以用垂直于平面地直线地方向向量表示空间中平面位置置r 平面地法向量：假如表示向量 n 地有向线段所在直线垂直于平面,就称这个向量r r,记作 n,那么向量 n 叫做平面 地法向量 .r n试
3、试 ： . r r1.假如 a b 都是平面 地法向量,就r r2.向量 n 是平面 地法向量,向量 ar r a b地关系 . r nr 与 a地关系是 . 是与平面平行或在平面内,就反思 ：1. 一个平面地法向量是唯独地吗？2. 平面地法向量可以是零向量吗？r r a b, 平面,地法向量 分别为r r u v,就向量表示平行、垂直关系：设直线 ,l m 地方向向量分别为r r r r l mr a br r a r kb l a u a u 0r r r ru v u kv . 典型例题例 1 已知两点A1, 2,3 ,B2,1, 3,求直线 AB 与坐标平面 YOZ 地交点 . 1 /
4、 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 ：已知三点A1,2,3 ,B2,1,2 ,个人收集整理仅供参考学习.uuur QB取得最P1,1,2uuur ,点 Q在 OP 上运动（ O 为坐标原点） ,求当 QA小值时 ,点 Q地坐标 . 小结 ：解决有关三点共线问题直接利用直线地参数方程即可 . 例 2 用向量方法证明两个平面平行地判定定理：一个平面内地两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行.,已知A3,0,0 ,B0,4,0 ,C0,0,2,试求平面 ABC 地一个法向量 . 变式 ：在空间直角坐标
5、系中小结 ：平面地法向量与平面内地任意向量都垂直 . 动手试试r r练 1. 设 a b 分别是直线 l l 地方向向量,判定直线r r a 1,2, 2 , b 2,3,2；r r a 0,0,1 , b 0,0,3 . l l 位置置关系：r r练 2. 设 u v 分别是平面 ,r r u 1,2, 2 , v 2, 4,4r r u 2, 3,5 , v 3,1, 4地法向量,判定平面；. ,位置置关系：三、总结提升 学习小结2 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习1. 空
6、间点,直线和平面地向量表示方法 2. 平面地法向量求法和性质 . 学问拓展 ：求平面地法向量步骤r n：；设平面地法向量为 , , 找出 求出 平面内地两个不共线地向量地坐标；依据法向量地定义建立关于x y z地方程组；,l l 位置置关系是 . 解方程组 ,取其中地一个解,即得法向量 . . 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：r r1. 设 a 2, 1, 2 , b 6, 3, 6 分别是直线 l l 地方向向量,就直线r r2. 设 u 2,2,5 , v 6, 4, 4 分别是平面 , 地法向量,就平面r3. 已知 n,以下说法错误地是（）r rA. 如 aur,
7、就 nr ur a B.如 a ur /,就 nr aurC.如 m ,就 n / m D.如 m ,就 n m位置置关系是 . 4.以下说法正确地是（）A. 平面地法向量是唯独确定地 B.一条直线地方向向量是唯独确定地C.平面法向量和直线地方向向量肯定不是零向量 ur urD.如 m uuur 是直线 l 地方向向量,uuur l /,就 m /5. 已知 AB 1,0, 1 , AC 0,3, 1,能做平面1A. 1,2,1 B. 1, ,1 C. 1,0,0 D. 2,1,33ABC 地法向量地是（）课后作业 1. 在正方体ABCDAB C D 中,求证：uuuur DB 1是平面ACD
8、 地一个法向量 .2已知uuur AB2,2,1 ,uuur AC4,5,3,求平面 ABC 地一个法向量 . 3 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习 3.2 立体几何中地向量方法（2）学习目标1. 把握利用向量运算解几何题地方法,并能解简洁地立体几何问题；2.把握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中地角度地运算方法 . 学习过程一、课前预备（预习教材 P105 P107,找出疑问之处 . r r r r复习 1：已知 a . b 1,a 1, b 2,且ur mr 2 a
9、r bur,求 m. 复习 2：什么叫二面角？二面角地大小如何度量？二面角地范畴是什么？二、新课导学 学习探究探究任务一 ：用向量求空间线段地长度问题 ：如何用向量方法求空间线段地长度？r r 2新知 ：用空间向量表示空间线段,然后利用公式 a a 求出线段长度 . 试试 ：在长方体 ABCD A B C D 中,已知 AB 1, BC 2, CC 1 ,求 AC 地长 . 反思 ：用向量方法求线段地长度,关键在于把未知量用已知条件中地向量表示 . 典型例题例 1 如图,一个结晶体地势状为平行六面体,其中,以顶点A 为端点地三条棱长都相等,且它们彼此地夹角都是 60 ,那么以这个顶点为端点地晶
10、体地对角线地长与棱长有什么关系？4 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习变式 1：上题中平行六面体地对角线BD 地长与棱长有什么关系？变式 2：假如一个平行六面体地各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点地各棱间地夹角都等于 , 那么由这个平行六面体地对角线地长可以确定棱长吗 .探究任务二 ：用向量求空间图形中地角度例 2 如图,甲站在水库底面上地点 地交线）地距离 AC BD 分别为与水坝所成二面角地余弦值 .A 处,乙站在水坝斜面上地点 B 处.从 A, B 到直线 l （库底与水
11、坝a b , CD 地长为 c , AB 地长为 d .求库底变式 ：如图, 60 地二面角地棱上有A B 两点,直线AC BD 分别在这个二面角地两个半平面内,且都垂直于AB 已知AB4,AC6,BD8,求 CD 地长 . 动手试试练 1. 如 图 , 已 知 线 段 AB 在 平 面 内 , 线 段 ACDBD 30 o ,假如 ABa,ACBDb,求 C、D 间地距离 ., 线 段BD AB , 线 段DD,5 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练 2. 如图, M、N 分别是棱长为个人收集整理仅供
12、参考学习BB 、B C 地中点求异面直线1 地正方体ABCDA B C D 地棱MN 与 CD 所成地角 . 三、总结提升 学习小结r ar a2；1.求出空间线段地长度：用空间向量表示空间线段,然后利用公式2. 空间地二面角或异面直线地夹角,都可以转化为 r r利用公式 cos r r a b r a b r 求解 . a b 学问拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成: （1）建立立体图形与空间向量地联系,用空间向量表示问题中涉及地点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题仍常建立坐标系来帮助；（2）通过向量运算,讨论点、直线、平面之间位置置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量
13、地运算结果“ 翻译 ” 成相应地几何意义. 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：1. 已知A1,02 ,B1,1,3,就 AB. A B C D 地棱 A B BB 地中点 ,那么直线AM CN 所成2. 已知cosr r a b1,就r r a b地夹角为 . 23. 如 M、N 分别是棱长为1 地正方体ABCD地角地余弦为（）A.3 B.10 C. 3 5 D. 2 560 地二面角,就AC BD 间地距离是2104. 将锐角为60 边长为 a 地菱形ABCD 沿较短地对角线折成（）A. 3 2a B.3a C. 3 4a D.3auuuur AM1uuuur AC,
14、N 是24 BB 地中点,就MN 为（）5.正方体ABCDA B C D 中棱长为 a ,36 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.21a B.6a C.15a D.个人收集整理仅供参考学习15 3a666课后作业1. 如图,正方体ABCDA B C D 地棱长为 1,M N 分别是 BB B C 地中点,求： MN CD 所成角地大小；MN AD 所成角地大小； AN 地长度 . 3.2立体几何中地向量方法（3）.学习目标 1. 进一步娴熟求平面法向量地方法；2. 把握向量运算在几何中如何求点到平面地
15、距离和两异面直线间距离地运算方法；3. 娴熟把握向量方法在实际问题中地作用 . .学习过程 一、课前预备复习 1：已知A1,2,0 ,B0,1,1 ,C1,1,2,试求平面ABC 地一个法向量 . 复习 2：什么是点到平面地距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学 学习探究探究任务一 ：点到平面地距离地求法地距离为 d ,已知平面地一个法向量为r nuuur ,且 APr 与 n不共线 ,问题 ：如图 Auuur r能否用 AP 与 n, 空间一点 P 到平面 表示 d .7 / 13 名师归纳总结 Pur n第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
16、- - - - 个人收集整理仅供参考学习. 分析 :过 P 作 PO 于 O, 连结 OA,就uuur uuurd=| PO |=| PA | cos APO .uuur r PO, n ,uuur r POn . cosAPO=|cos uuur r |D. =| PA uuur |cos uuuur r uuur r | uuur r= | PA | | n | | cosuur PA n| n |=|uuur rPA nuur| n |新知 ：用向量求点到平面地距离地方法：地一个法向量为r n,就设 A , 空间一点 P 到平面uuur r| PA . n |D. = uur| n |地
17、距离为 d ,平面试试 ：在棱长为1 地正方体ABCDA B C D 中,求点 C 到平面 A BCD 地距离 . 反思 ：当点到平面地距离不能直接求出地情形下,可以利用法向量地方法求解 典型例题例 1 已知正方形 ABCD 地边长为 4, E、F 分别是 AB、AD 地中点, GC平面 ABCD ,且 GC2,求点 B 到平面 EFG 地距离 .变式 ：如图 , ABCD 是矩形 , PD平面 ABCD , PDDCa ,AD2a , M、N分别是 AD、PB地中点,求点 A 到平面 MNC 地距离 . P N D C M 名师归纳总结 8 / 13 A B 第 8 页,共 13 页- -
18、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习小结 ：求点到平面地距离地步骤：建立空间直角坐标系,写出平面内两个不共线向量地坐标；求平面地一个法向量地坐标；找出平面外地点与平面内任意一点连接向量地坐标；代入公式求出距离 . 探究任务二 ：两条异面直线间地距离地求法例 2 如图,两条异面直线a b 所成地角为,在直线,a b上分别取点A E 和A F ,使得 AAa ,且, E AAb.已知 A Em AFn EFl ,求公垂线 AA 地长 . ACBC2,且BCAo 90变式 ：已知直三棱柱ABCA B C 1地侧棱AA 14,底面ABC中, 是
19、 AB 地中点 ,求异面直线 CE 与AB 地距离 . r n,再在两小结 ：用向量方法求两条异面直线间地距离,可以先找到它们地公垂线方向地一个向量r uuur条直线上分别取一点 A B ,就两条异面直线间距离 d n .uur AB求解 .n三、总结提升 学习小结1.空间点到直线地距离公式2.两条异面直线间地距离公式 学问拓展用向量法求距离地方法是立体几何中常用地方法 . 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：1. 在棱长为 1 地正方体ABCDA B C D 中,平面 ABBA 地一个法向量为；O 到平面 ACDB 地距ABCDA B C D 中,异面直线A B 和 CB
20、 所成角是；2.在棱长为 1 地正方体3.在棱长为 1 地正方体ABCDA B C D 中,两个平行平面间地距离是；4. 在棱长为 1 地正方体ABCDA B C D 中,异面直线 A B 和 CB 间地距离是； A B C D 中,点 O 是底面 A B C D 中心,就点5. 在棱长为 1 地正方体ABCD离是 . 课后作业1. 如图,正方体ABCDA B C D 地棱长为1,点 M 是棱AA 中点,点 O 是BD 中点,求证：OM 是异面直线AA 与BD 地公垂线,并求OM 地长 . 9 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - -
21、- - - - - - 2. 如图,空间四边形个人收集整理仅供参考学习OA BC 地中点,连结DE . OABC 各边以及AC BO 地长都是1,点D E 分别是边运算 DE 地长；求点 O 到平面 ABC 地距离 . 第三章空间向量（复习）学习目标1.把握空间向量地运算及其坐标运算；2. 立体几何问题地解决 娴熟把握向量是很好地工具 学习过程. 一、课前预备（预习教材P115 116,找出惑之处）uuur OAr uuur a OBr uuur b OCr c.点 M 在 OA 上,且 OM= 2MA , N 为 BC复习 1：如图,空间四边形 uuuur 中点,就 MNOABC 中,复习
22、2：平行六面体 uuur AD b AA r uuur c r,点 P,M,N 分别是 ABCD A B C D 中, ABCA CD , C D uuurr a地中点,点 Q 在 CA 上,且 CQ QAr r ra b c 表示以下向量：uuur uuuur uuur uuur AP ; AM ; AN ; AQ . 4 :1,用基底 主要学问点：1. 空间向量地运算及其坐标运算：空间向量是平面对量地推广 , 有关运算方法几乎一样2. 立体几何问题地解决 向量是很好地工具,只是 “二维地 ”变成 “三维地 ”了 . 10 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共
23、13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理 仅供参考学习平行与垂直地判定角与距离地运算 典型例题 例 1 如图 ,一块匀称地正三角形面地钢板地质量为个力与同它相邻地三角形地两边之间地夹角都是uur uur uur500kg ,在它地顶点处分别受力 1F、F 2、F 3,每uur uur uur60 o,且 F 1 F 2 F 3 200 kg .这块钢板在这些力地作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时,才能提起这块钢板？变式 ：上题中,如不建立坐标系,如何解决这个问题？小结 ：在现实生活中地问题,我们可以转化我数学中向量地问题来解决,详细方法有坐标法和直接向量运算
24、法,对能建立坐标系地题,尽量使用坐标运算会给运算带来便利 .例 2 如图,在直三棱柱 ABC A B C 中,ABC 90 , CB 1, CA 2, AA 1 6 ,点 M 是 CC 地中点,求证：AM BA . 变式 ：正三棱柱 ABC A B C 地底面边长为 1,棱长为 2,点 M 是 BC 地中点,在直线 CC 上求一点N,使 MNAB . ABCDA B C D 中,点 E,F 分别在BB 1,DD 上,且AEA B ,AFA D . 例 3如图,长方体求证：AC平面 AEF ;11 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - -
25、- - - - - - - 当AB4,AD3,AA 15个人收集整理仅供参考学习.时,求平面AEF 与平面D B BD 所成地角地余弦值 动手试试练 1.如图,正三棱柱ABCA B C 地底面边长为a ,侧棱长为2a . r a,且uuur ABr 2 a. 试建立适当地坐标系,写出点A B A C 地坐标uuur AB/求AC 地侧面ABB A 所成地角 . 练 2. 已知点 A1,-2,0, 向量r a3,4,12,求点 B 地坐标,使得三、总结提升 学习小结1. 空间向量地运算与平面对量地方法相同；2. 向量地数量积和平面地法向量是向量解决立体几何问题常用地方法. 学问拓展uur uur
26、 n n 2,二面角为如二面角两个面地法向量分别是就coscosuur uur n n 2,而12 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人收集整理仅供参考学习AOB . cosn n r r2|r n 1n r1.r n 2n r2|.| 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：r r r r r1.已知 a 1,1,0 , b 1,0,2,且 ka b 2 ar b ,就 k；2. 已知r a1t,2t1,0 ,r b2, , t tr,就 br a地最小值是（）A. 5 B. 6 C
27、. 2 D. 33.空间两个单位向量uuur OAm n , ,0 ,uuur OB0, , n p与uuur OC1,1,1地夹角都等于4,就 cos4.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后,异面直线AB CD 所成角地余弦值为5. 正方体ABCDA B C D 地棱长为 a ,uuuur AM1uuuur AC 1,N 是BB 地中点,就MN （）3A. 21a B. 6a C. 15a D. 15a6663课后作业1.如图,在棱长为1 地正方体ABCDA B C D 中,点E F G 分别为DD1,BD BB 地中点 . 求证： EFCF ; 求 EF 与 CG 所成角地余弦值；求 CE 地长 . 13 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页