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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数与几何综合（讲义）学习好资料欢迎下载F 在抛物线上,且以B、 A、F、E 四点为接 AC、CD , ACD =90 （1）求抛物线的解析式；一、学问点睛（2）点 E 在抛物线的对称轴上,点顶点的四边形为平行四边形,求点F 的坐标“ 二次函数与几何综合” 摸索流程：关键点坐标转几何特点y函数表达式几何图形整合信息时,下面两点可为我们供应便利：_二次函数关注四点一线,一次函数关注k、b；BOAx_找特别图形、特别位置关系,寻求边和角度信息二、精讲精练1.如图,抛物线y=ax2- 5ax+4（a0）经过 ABC 的三个顶点,已知BC x 轴,
2、CD点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,且 AC=BC（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 M,使 |MA- MB |最大？如存在,求出点M 的坐标；如不存在,请说明理由y2.CB3.如图,在平面直角坐标系中,直线y3x3与抛物线y1x2bxc 交AOx如图,已知抛物线y=ax2- 2ax-b（a0）与 x 轴交于 A、B 两点,点A 在点 B424于 A、B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的横坐标为 -8名师归纳总结 的右侧,且点B 的坐标为 - 1,0 ,与 y 轴的负半轴交于点C,顶点为 D连第 1 页,共 14 页（1）求该抛物线的解析式；- - -
3、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2y ,求 y2与（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点A、B 重合）,过点 P 作Q 在线段 MB 上移动,且 MPQ=45,设线段 OP=x,MQ=x 轴的垂线,垂足为C,交直线AB 于点 D,作 PEAB 于点 E设 PDE2的周长为 l,点 P 的横坐标为x,求 l 关于 x 的函数关系式,并求出l 的最大x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范畴B值yMQyPAAOPCOxxEDB4.已知,抛物线y 1ax22 axb 经过 A- 1,0 ,C2,3 2 两点,与x 轴交5.已知
4、抛物线y2 axbxc 的对称轴为直线x2,且与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A 1,0 ,C 0,- 3. 于另一点 B（1）求抛物线的解析式；名师归纳总结 （1）求此抛物线的解析式；（不与点B 重合）,点（2）如点 P 在抛物线上运动（点P 异于点 A）,P 的坐标；第 2 页,共 14 页（2）如抛物线的顶点为M,点 P 为线段 OB 上一动点如图 1,当 PBC 的面积与ABC 的面积相等时,求点如图 2,当 PCB =BCA 时,求直线CP 的解析式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yA图 1PBxyAB学习好资料欢
5、迎下载AyOCBxOxOCC图 2PD6.抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为A m- 4,0 和 B m,0 ,与直线y=- x+p相交于点 A 和点 C 2m- 4,m- 6. 二次函数与几何综合（随堂测试）名师归纳总结 （1）求抛物线的解析式；1.已知二次函数yx22x8的图象与 x 轴的交点分别为A、B点 A 在点 B（2）如点 P 在抛物线上, 且以点 P 和 A、C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形 ACQP 的面积为 12,求 P、Q 两点的坐标；左侧 ,点 M 在直线yx10上,当 MA+MB 最小时, 求直线 AM 的函数解（3）在（ 2）的条件下,如点M 是 x
6、 轴下方抛物线上的一动点,当PQM 的析式 . 第 3 页,共 14 页面积最大时,恳求出PQM 的最大面积及点M 的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y学习好资料欢迎下载yA2.已知：如图,直线AOBxCOBxy=3x+3 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 A,点 B 在 x 轴正半轴上,且OAB 是等腰直角三角形PAB 二次函数与几何综合（作业）y（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式（2）如点 P 是第一象限内抛物线上的一动点,那么是否有最大面积？如有,求出此时点P 的坐标和PAB 的最大面积； 如没有,1.将直角边长为6 的等腰
7、 Rt AOC 放在如图所A请说明理由示的平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点 C、A 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上, 一条名师归纳总结 抛物线经过点A、C 及点 B 3,0 BOCx（1）求该抛物线的解析式；第 4 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料3.欢迎下载3 ,以点 C 为顶点的抛（2）如点 P 是线段 BC 上一动点,过点P 作 AB 的平行线交如图,四边形ABCD 是菱形,点D 的坐标是 0,AC 于点 E,连接 AP,当 APE 的面积最大时,求点P 的物线yax2bxc恰好经过x 轴坐标；上的 A、B 两
8、点yC（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使 AGC 的面积与（ 2）中（1）求 A、B、C 三点的坐标； APE 的最大面积相等.如存在,求出点G 的坐标；如不存在,请说明理由（2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解D析式；（3）如将上述抛物线沿其对称轴向上2.如图,抛物线y=x 2-2x+c 的顶点 A 在直线 l：y=x- 5 上平移后恰好过点D,求平移后抛物线的OAEBx解析式,并指出平移了多少个单位（1）求抛物线的表达式；名师归纳总结 （2）设抛物线与y 轴交于点 B,与 x 轴交于 C、D 两点（点 C 在点 D 的1.二次函数每日一题左侧）,试判定ABD 的外形；（3）在
9、直线 l 上是否存在一点P,使以点 P、A、 B、D 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,求出点P 的坐标；如不存在,如图,已知抛物线y1=- 2x22,直线 y2=2x+2,当 x 任取一值时, x 对应的函请说明理由数值分别为 y1、y2如 y1y2,取 y1、y2 中的较小值记为M；如 y1=y2,记 M=y1=y2例y如：当 x=1 时, y1=0,y2=4,y1y2,此时 M=0有以下结论：当 x0 时, y1y2；当 x0 时, x 值越大, M 值越小；yCODx使得 M 大于 2 的 x 值不存在；y2使 M=1 的 x 值是1或2B2.22其中判定正确选项_对于二次函数yx2
10、2mx3,有以下说法：Oy1xA它的图象与x 轴有两个公共点；假如当 x1时 y 随 x 的增大而减小, 就 m=1；假如将它的图象向左平移3 个单位后过原点,就m1；第 5 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.假如当x4时的函数值与xx2022学习好资料欢迎下载时的函数值相等,就当x2022时的函数值为3 3m 有实数根x 1、x2,且x 1x ,其中正确的说法是如关于 x 的一元二次方程x2有以下结论：4.x 1=2,x 2=3；m1；二次函数yxx 1xx 2m 的图象与【讲义参考答案】,即直线x5第 6 页,共 14 页4x
11、轴交点的坐标为（ 2,0）和（ 3,0）其中正确的结论是_一、学问点睛已知二次函数yx2bxc,当 x1时,总有 y0,当 1x3时,总有 y0,线段长讨论函数表达式关键点坐标转线段长那么 c 的取值范畴是（）. 二、精讲精练1.解：（1）令 x=0,就 y=4,5.A c=3 Bc 3 C1c 3 Dc 3 点 C 的坐标为（ 0,4）,定义 a,b,c 为函数yax2bxc 的特点数, 下面给出特点数为2m,1m,BC x 轴,1m的函数的一些结论：当m=3 时,函数图象的顶点坐标是1 ,38 ；3点 B,C 关于对称轴对称,又抛物线y=ax 2- 5ax+4 的对称轴是直线x5a5名师归
12、纳总结 当 m0 时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于3 ；当 m1 时, y 随 x 的增大而减小；当 4m 0 时,函数图象经过同一个点其AC=BC=5,在 Rt ACO 中, OA=AC2OC23,中正确的结论有点 A 的坐标为 A（3,0）,抛物线 y=ax2- 5ax+4 经过点 A,9a+15a+4=0,解得a1,6抛物线的解析式是y1x25x466- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（2）存在, M（5 2,22 3）理由： B, C 关于对称轴对称,MB =MC,又 ACD +MCD =AOC+ 1, ACD = A
13、OC=90 MCD=1 , AOC CMD ,OA CMOC,DM MAMBMAMCAC ；D（1,4a）, DM =1,OM =4a, CM =a3 a3a,a21, a0, a=1 当点 M 在直线 AC 上时, MAMB值最大,1设直线 AC 的解析式为ykxb ,抛物线的解析式为：yx22x3（2）当 AB 为平行四边形的边时,就b3 kb0,解得k4,yD1Ax就 BA EF,并且 EF= BA =4 1 ByED1AxF第 7 页,共 14 页由于对称轴为直线x=1,点 E 的横坐标为34b4点 F 的横坐标为5 或者3 y4x4将 x=5 代入y2 x2x3得 y=12,3令x5
14、,就y22, M（5 2,22 3）F（ 5,12）将 x=- 3 代入yx22x3得 y=12,232.解：（1）抛物线yax22 axb 过F（ - 3,12）点 B（1,0）,O当 AB 为平行四边形的对角线时,点 Fa+2a- b=0, b=3a,即为点 D,yax22 ax3 aBF（ 1,4）综上所述,点F 的坐标为（ 5,12）,令 y=0,就 x=1或 x=3,CO（3,12）或（ 1,4）A（3,0）, OA=3,令 x=0,就 y=-3a,C（0, 3a）, OC=3aM D 为抛物线yax22ax3 a 的顶点,D（1,4a）C过点 D 作 DM y 轴于点 M,就 AO
15、C=CMD =90 ,名师归纳总结 M- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x第 8 页,共 14 页3解：（1）对于y3x3,当 y=0,x=2；当 x=8 时, y=15. l3 5x3215由题意知：8x2x3 时,l最大15.4解： 1 拋物线 y1=ax2 2ax b 经过 A 1,0,C0,3两点,422A 点坐标为（ 2,0）,B 点坐标为 8,1522由抛物线y1x2bxc 经过 A、B 两点,得a2 3ab0,a31,4201512bcc解得b53bb4168 b22c2拋物线的解析式为y1= 1x 2 x32y1x23
16、x5 . 22244（2）解法一：过点M 作 MN AB 交 AB 于点 N,连接 AM（2）设直线y3x3与 y 轴交于点 M 由 y1= 1 x 2 x23 可知顶点 M1, 2 ,A 1,0,B3, 0,N1, 0 242当 x=0 时, y=3. OM =3 2. AB=4, MN=BN=AN=2,AM=MB = 2 2 . yM2 AMN 和 BMN 为等腰直角三角形. 点 A 的坐标为（ 2,0）, OA=2, AM=OA2OM25. 2 MPA+QPB=MPA +PMA =135QOM ：OA：AM =3：4： 5. QPB=PMAAOPNB由题意得, PDE=OMA, AOM=
17、PED=90 , AOM PED . 又 QBP=PAM=45DE：PE：PD=3：4：5 QPB PMA点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点,AP AMBQ BPPD1x23x53x3=1x23x4将 AM= 2 2 ,AP=x+1,BP=3x,BQ=2 22y 代入,24424242l121x23x43x218x482542555名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料x欢迎下载a13B（3, 0）P3x第 9 页,共 14 页可得x+12 22y2,即y2=1x2x+5. abc022 2322（1）由题意,得c3,解得b
18、4x点 P 为线段 OB 上一动点（不与点 B 重合）b 2 a2c30 x3 就 y2 与 x 的函数关系式为y2=1 x 2 x25 0 x3 2抛物线的解析式为yx24x3. 2（2）令x24x30,解得x 11,x解法二：过点 M 作 MNAB 交 AB 于点 N. 由 y1= 1x2 x3 易得 M1,2,N1,0,A 1,0,B3,0,2就直线 BC 的解析式为yx3P2yP2当点 P 在 x 轴上方时,如图1,AB=4,MN =BN=2,MB =2 2 ,MBN =45 . 依据勾股定理有 BM 2 BN 2=PM 2 PN 2. yMOAB过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物
19、线于点 P,2 222 2 =PM21x2 ,QE设直线 AP 的解析式为 yxn ,又MPQ =45 =MBP ,AOPNB直线 AP 过点 A（1,0）,C MPQ MBP ,直线 AP 的解析式为yx1,交PM2MQMB =2y2 222y 轴于点E0,1. 由、得 y2=1x 2 x5. 22解 方 程 组yxx14 x3, 得图 10 x3, y2 与 x 的函数关系式为y2=1x 2 x50 x3 y222x 11,0x 225解：y 1y 21点P 12 1当点 P 在 x 轴下方时,如图1,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
20、 依据点E0,1,可知需把直线BC 向下平移 2 个单位,学习好资料欢迎下载点 C2m- 4,m- 6,点 E2m-4,0 EC=6- m,AE=OE+EA=m此时交抛物线于点P 2、P 3,3217,x2317BPx又直线 AC：y=- x+p KBx得直线P P 的解析式为 2 3yx5, EAC=45 ,AE=EC即 6m=m,m=3. 解方程组yxx54x3,得x 1A- 1,0,B3,0,C2,- 3 可得抛物线解析式为y=x2-2x-3,直线 AC 解析式为 y= - x- 1 27y2y 1717（2）如图 2,AC=32 ,AC 所在直217y22线的解析式为： y=- x-
21、1,BAC=45y NP 23217,7217,P 33217,7217平行四边形ACQP 的面积为 12. 平行四边形ACQP 中 AC 边上的高综上所述,点P 的坐标为：为12=22AOP 12 1, ,P 23217,7217,P 33217,721732DC过点 D 作 DK AC 与 PQ 所在直线y过点 B 作 AB 的垂线,交CP 于点 F. 相交于点 K,DK = 22 ,K如图 2,B3 0,C0,3OA符合条件的点K 在直线 AC 的两侧NOB=OC, OCB =OBC=45C图2F各有一个,AC 的两图 2 CBF =ABC=45PQ 所在直线可能在直线又 PCB= BC
22、A,BC=BC侧各有一条, ACB FCB又 OAD =45 , DN =4 BF =BA=2,就点 F（ 3, 2）PQ 的解析式为y=- x+3 或 y=- x- 5 又 CP 过点 F,点 Cy2 x2 x3,解得x 13或x 252直线 CP 的解析式为y1x3. yy 10y 2yx336解：（1）如图 1,过点 C 作 CEAB,交 AB 于点 E. 名师归纳总结 AOEBx第 10 页,共 14 页D- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yx22 x3方程组无解 . y学习好资料欢迎下载13）, NG=25 4又 N（0,3）,G（ 0,4x
23、GH =2NG252y5即 P13,0,P2- 2,5 28ACPQ 是平行四边形,A- 1,0 C2,- 3 PQ=AC= 3 2当 P3,0时, Q6,- 3 当 P- 2,5时, Q1,2 lANOBHxS=1 2PQ GH1 23 225 27588满意条件的P,Q 点是 P13,0, Q16,- 3或 P2- 2,5,Q21, 2 M（1 ,215）,最大面积为7 58. （3）如图 3,作直线l 平行于 PQ 所在的D4直线（即 BN）,名师归纳总结 且使得 l 与抛物线只有一个交点, 这个交点GMC【随堂练习参考答案】27 理由 8即为 M（此时以PQ 为底,高最大,面积最大）图
24、31、直线 AM 解析式为：y=-1x-12设 l 的表达式为yxb ,2、解：（1） A、C 分别是直线y=3x+3 与 y 轴和 x 轴的交点就yxxb3,得x2x3b0,由 =0,得 b=13,A（ 0,3）,C（- 1,0）y22 x4又 OAB 是等腰直角三角形yxx133,解得x115, M（1 ,215）B（ 3,0）设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为：y=a（ x+1）（x- 3）2把 A 点坐标代入表达式得：a14y2y42 xy- x 2+2x+3 4（2） PAB 有最大面积,当P 点坐标为（3 ,215 ）时,最大面积为 4设 l 与 y 轴交点为点G,过 G 作
25、 GH BN 于点 H,易得 NGH =45 ,就在 Rt NGH 中, GH=2NG如下：第 11 页,共 14 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yP学习好资料欢迎下载EyAAFESBPOCx,CODBxABC设点P的坐标为m,0,就PC=6- m如图,1BCAO1962722P 点在抛物线上,P（m,- m2+2m+3）PE AB,过 P 作 PD x 轴于点 D,交 AB 于点 E,作 AFPD 于点 F,就 E（m,- m+3） CEP CABS PAB =S APE+S BPE=1 2AFPE1BD PE1PE BDAFSCEPPC2,
26、即SCEP1 6 3m 222SBCABC=12 m+2m +3+m3m3m =3m32 +272228SAPESAPC1PC AO1 6 2m 636m当 m=3 时,2SPAB最大=27 ,此时 P（83 ,215 ）42SAPCSCEP36m 16m21m3227【作业参考答案】33241解：（1）如图,由题意得：A（0,6）、B（- 3, 0）、C（6, 0）当m3时,SAPE有最大面积为27；此时,点P 的坐标为（3 0,）2设抛物线表达式为y=a（x+3）（x- 6）24把 A 点坐标代入表达式得：a1（3）如图,3故此抛物线的解析式为：y1x2+ +63（2）如图,名师归纳总结
27、- - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - yEGCx学习好资料欢迎下载2=3- 12+42=20,DFx BD2=OB2+OD2=18,AB2=4- 32+12=2,AD BD2+AB 2=AD2,y ABD=90 ,即 ABD 是直角三角形A（ 3）存在由题意知：直线y=x- 5 交 y 轴于点 E（ 0,BOD- 5）,交 x 轴于点 F（5,0）COP1OE=OF=5,又 OB =OD =3 G 点在抛物线上 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形BABD EF,即 PA BDE就构成平行四边形只能是PADB 或 PABD,设
28、G n,1n 2+ +6,过 G 作 GDx 轴于 D 点,交 AC 于点 E,就 E（n,- n+6）31 1 2 2 27就 S AGC =S AGE+S CGE= n + +6+ n 6 n 6 n = n 6 =2 3 43 9解得：n 1 =,n 2 =2 2故点 G 的坐标为（3 27,） 或（9 15, ）2 4 2 4如图,P2就 PA=BD,解得： P1（4,- 1）,P2（- 2, -7）存在点 P1（4, - 1）,P2（- 2,- 7）使以点 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形3解：（1）A、B、C 的坐标分别为A 1 0, ,B 3 0, ,C 2,3D0,3
29、,可得（2）y3x223y3x22k ,代入（ 3）设抛物线的解析式为2解：（1）顶点 A 的横坐标为x=1,且顶点 A 在 y=x-5 上,k5 3,平移后的抛物线的解析式为y3x225 3当 x=1 时, y=1- 5=- 4, A（1,- 4）将 A（1,- 4）代入 y=x2- 2x+c,可得c=- 3,平移了 5 334 3 个单位 y=x 2- 2x- 3,（2） ABD 是直角三角形,理由如下：由（ 1）得 B（0,- 3）,C（- 1,0）,D（3,0）名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【每日一题参考答案】1 2. 3.4.B 5.名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页