《2022年高等数学期末复习试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学期末复习试题及答案.docx（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题共21 分每题 3 分处第 1 页,共 24 页1曲线zy21绕 z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为zx2y21x02直线L 1:x2y4z与直线L2:x3t73 t的夹角为2y12532zt3设函数fx,y,z x22y23z2,就grad f ,1,11 2 ,4,6 4设级数n1un收敛,就lim nu n05设周期函数在一个周期内的表达式为fx0,x,0x0,就它的傅里叶级数在 x1x收敛于126全微分方程y dxx dy0的通解为xyC7写出微分方程yy2yex的特解的形式y *axex二、解答题共18 分每题 6 分1求过点
2、 ,12 ,1 且垂直于直线x2yzz30的平面方程xy20ijk解：设所求平面的法向量为n ,就n121,12 ,34 分 111所求平面方程为x2y3z06 分 2将积分fx,y ,zdv化为柱面坐标系下的三次积分,其中是曲面z2x2y2及z2 xy2所围成的区域解：:rz2r2,0r,1023 分fx,y ,z dv2d1rd r2r2frcos,rsin,z dz6 分 00r名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3运算二重积分Ie2 xy2dxdy,其中闭区域D:x2y24.D解I2d2er2rdrv12d2 e0r2dr22122
3、2 d0er2 1e400202三、解答题共35 分每题 7 分zxxyy31设zue v,而ux2y2,vxy,求d解：zzuze v2xue vyexyxuxvx3 分 zzuzvv e2yv uexexy2yx32 xy6 分 ,20到点O0 ,0的有yuyvydzexy2xx2yy3dxexy2yx3xy2dyz y7 分 y由方程ezxyz0所确定,求z , x2函数zz x ,解 ：令Fx,y,z ezxyz,2 分 就Fxyz ,Fyxz ,Fzezxy,5 分 Fxezyz,zFyezxzz7 分 xFzxyyFzxy3运算曲线积分Lydxxdy,其中 L 是在圆周y2xx2上
4、由A 向弧段解 ：添加有向帮助线段 OA ,有向帮助线段 OA 与有向弧段 OA 围成的闭区域记为 D ,依据格林公式LydxxdyxD2 dx d yOAyydxxd yfx 5 分 f0 1,4设曲线积分Le xf220x d与路径无关,其中7 分 是连续可微函数且满意yd xf求fx 第 2 页,共 24 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 由PQ得exfxfx,3 分 上应用yx即fx fxex所以fxe1d xexed xd xCexxC,6 分 7 分 代入初始条件,解得C1,所以fxexx15判定级数n1n .2的敛散
5、性2n.3 分 解：由于lim nunn1lim nn1 .2n .2u 2n2 . 2n.lim n2nn121 116 分 2 2 n4故该级数收敛7 分 四、7 分 运算曲面积分xdydzydz dxz dx dy,其中是上半球面z1x2y2的上侧1和所围成的空间闭区域解 ：添加帮助曲面1:z0 ,x2y21,取下侧,就在由高斯公式得x dydzydz dxz d xdyxdy dzy dz dxz dx dy1x dy dzydz dxz dxdy4 分 131dv026 分 347 分23五、6 分 在半径为 R 的圆的内接三角形中,求其面积为最大的三角形名师归纳总结 解：设三角形各
6、边所对圆心角分别为x,y,z,就xyz2,3 分 第 3 页,共 24 页且面积为A1R 2sinxsinysinz ,2yz2令Fsinxsinysinzx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F x cos x 0由 F y cos y 04 分得 x y z 2此F z cos z 0 3x y z 2时,其边长为 2 3 R 3 R 由于实际问题存在最大值且驻点唯独,故当内接三角形为等边三2角形时其面积最大6 分六、8 分求级数 x n的收敛域,并求其和函数n 1 n解：R lim a n lim n 1 1,故收敛半径为 R 12 分 n a n
7、 1 n n当 x 1 时,依据莱布尼茨判别法,级数收敛；当 x 1 时, 级数为调和级数,发散故原级数的收敛域为 ,1 1 5 分 设和为 S x ,即 S x x n,求导得n 1 nS x x n 1 1,6 分 n 1 1 xx再积分得 S x S x d x00 x1 1x d x ln 1 x , 1 x 1 8 分 七、5 分设函数 f x 在正实轴上连续,且等式x y x y1 f t d t y 1 f t d t x 1 f t d t对任何 x 0 y 0 成立假如 f 1 3,求 f x 解： 等式两边对 y 求偏导得上式对任何xxfxy0xftdtxfy f 13,故
8、有2 分 10 y仍成立令y1,且因3 分 xftdtxfx3x1由于上式右边可导,所以左边也可导两边求导,得名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxxfx fx3即fx 3x0 3e 2x5 分 x故通解为fx3lnxC当x1时,f 13,故C因此所求的函数为fx3 lnx1八 5 分已知ex,y3xe xexy 1xe xe 2x,y2xe x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程解 1：由线性微分方程解的结构定理知 e 2 与 e x 是对应齐次方程的两个线性无关的解,xe是非齐次方程的一个特解,故可
9、设此方程为 xy y 2 y f x 将 y xe x代入上式,得 f x e x2 xe x,因此所求的微分方程为y y 2 y e x 2 xe x解 2：由线性微分方程解的结构定理知 e 2 与 e x 是对应齐次方程的两个线性无关的解,xe是非齐次方程的一个特解,故 x y xe x C 1 e 2 x C 2 e x 是所求微分方程的通解,从而有消去yexxe x2 C1 e2xC2ex,y2 exxex4 C 1 e 2xC2exC 1,C 2,得所求的微分方程为2xexyy2yex06 高数 B 一、填空题共 30 分 每题 3 分1 xoy 坐 标 面 上 的 双 曲 线 4
10、x 2 9 y 2 36 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为4 x 2 9 y 2 z 2 362设函数 f x , y , z 2 x yz z 2,就 grad f ,1 0 , 1 2 , ,1 2 x 3 t3直线 L 1 : x 2 y 4 z 与直线 L 2 : y 1 3 t 的夹角为2 5 3 2z 2 7 t名师归纳总结 第 5 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 设是曲面z2x2y2及zx2y2所围成的区域积分,就fx,y ,z dv化为柱面坐标系下的三次积分形式是2d1 r0
11、drr2r2frcos,rsin,z dz05. 设 L是圆周y2xx2,取正向,就曲线积分Lyd xxd y26. 幂级数n11n1xn的收敛半径R1n7设级数n1un收敛,就lim nun08设周期函数在一个周期内的表达式为fx0,0xx,0就它的傅x,里叶级数在 x处收敛于29全微分方程x dxy dy0的通解为xyC10写出微分方程yy2yex的特解的形式y*axex二、解答题共42 分每题分1求过点 ,12 ,1且垂直于直线xyyzz20的平面方程x230第 6 页,共 24 页ijk解：设所求平面的法向量为n ,就n121,1,234 分 111所求平面方程为x2y3z02 分 2
12、函数zz x,y由方程sinx2y3 z x2y3 z所确定,求z x解：令Fx ,y,z sinx2y3z x2y3z,2 分 就Fxcos x2y3z ,1Fz3cos x2y3z 32 分 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3运算zF x1cosx2y3z 2yx2 分 x2y3z F z33cosxxyd,其中 D 是由直线y,1 x及所围成的闭区域D解法一：原式2x1 xy d yd x2 1112 分 12xy21 xd x2x 3xdx解法二：121224 分 x4x2 1 211. 84822xy d xdyy2y4.同上
13、类似分 原式1y884运算1x2y2d x dy,其中 D 是由x2y21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区D域解： 选极坐标系5运算y2原式2d11r2 drr26,ty3 分 第 7 页,共 24 页002111r2d 13 分 20z2dx2yz dyx2dz,其中t2,是曲线xz3t上由1t0到2t1的一段弧3 分 解： 原式1t4t62 t52 tt23 t2dt013 t62 t4dt3t72t5 1013 分 075356判定级数n12nn1的敛散性3 分2n1lim n2 n12 nn1解：由于lim nun2n12u名师归纳总结 11,2 分2- - - - - - -精选学
14、习资料 - - - - - - - - - 故该级数收敛1 分 1x2y2的上侧7求微分方程y3y4y0满意初始条件yx00 ,yx05的特解解：特点方程r23 r40,特点根r 14,r21通解为yC 1 e4xC2ex,3 分 y4 C 1 e 4xC2ex,代入初始条件得C 1,1C 21,所以特解ye 4xex3 分 三、8 分运算曲面积分x dyd zydz dxz dx dy,其中是上半球面z解：添加帮助曲面1:z0 ,x2y21,取下侧,就在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得x dy dzy dz dxz dx dyx d y dzy dz dxz d x dy1x dy
15、dzy dz dxz d xd y4 分 13d v02 分 x0 内第 8 页,共 24 页3142 2 分23四、8 分 设曲线积分Lyfxd x2xfx x2d y在右半平面与路径无关,其中fx 可导,且满意f 11,求fx 解：由PQ,得fx2fx2fxx2x,yx3 分 即fx1fx1,2x所以fx e1dxe1dxdxC2x2xx1x1dxCx12x3C,223 分 223名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代入初始条件,解得C1,所以fx2x31x2 分3 分 3 分3 分 3 分 33五、6 分 求函数fx ,yx3y33x
16、y的极值解：fxx ,y3x23y0fx ,y3y23x0y得驻点0 ,0,11 f xxx ,y6x ,f xyx,y 3 ,f yyx ,y6y在点0 ,0 处,B2AC90,故f 0 0, 非极值；在点 ,11处,B2AC270 ,故f,111是微小值六、6 分试证：曲面zxfy上任一点处的切平面都过原点x证：因zfyyfy,zfxy1fyxxxxyxxx就取任意点M0x 0,y 0,z 0,有z 0x 0fy 0,得切平面方程为x 0z 0x 0fy 0fy 0y 0fy0xx 0fy0yy 0x 0x 0x 0x 0x 0即fy0y 0fy0xfy0yz0x 0x 0x 0x 0故切
17、平面过原点07A 一、填空题每题 3 分,共 21 分第 9 页,共 24 页1设向量a2 1,3, ,b,15,已知 a 与 b 垂直,就12设a,3b2 ,a,b3,就ab63 yoz坐标面上的曲线y2z21 绕 z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为a2b2x2a2y2z21b2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 2 z 1 04过点 2 , 4 0, 且与直线 垂直的平面方程 2 x 3 y z 8 0y 3 z 2 05二元函数 z x ln x y 的定义域为 D x , y x 0 , x y 0 2 2 26函数 f x ,
18、y , z ln x y z ,就 gradf ,1 0 1, ,1 0 1,xy xy7设 z e,就 dz e ydx xdy 8设 u xf x , y , f 具有连续偏导数,就 u f xf 1 y f 2x x x9曲线 x t , y t 2, z t 上点 1,1,1 处的切向量 T ,1 ,2 3 31 y 1 110交换积分次序：0 dy 0 f x , y dx 0 dx x f x , y dy11闭区域 由曲面 z x y 及平面 z 1 所围成,将三重积分 f x , y , z dv 化为柱面2 2 22 1 1坐标系下的三次积分为 0 d 0 rdr r f r
19、 cos , r sin , z dz2 2 212设 L 为下半圆周 y 1 x,就 L x y ds2 2 213设 L 为取正向圆周 x y 9,就 L 2 xy 2 y dx x 4 x dy 180 x 014设周期函数在一个周期内的表达式为 f x 就它的傅里叶级数在x 0 xx 处收敛于215假设 lim n u n 0,就级数n 1 u 的敛散性是 发散n2 n .16级数 n 的敛散性是 收敛n 1 n17设一般项级数 u ,已知 nu 收敛,就 u 的敛散性是 肯定收敛n 1 n 1 n 1318微分方程 x y 2 y 5 xy 0 是 2 阶微分方程19微分方程 y 4
20、 y 4 y 0 的通解 y C 1 e C 2 xe 2 x 2 x2 x 2 x20微分方程 y 3 y 2 y xe 的特解形式为 x ax b e二、共 5 分名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设zu2lnv ,uux,vxy,求z , xzu2y2 x2lnxy 11yy解：zzzv2 ulnv1xuxvxyvy2zzuzv2 ulnvxu2xx22lnxy yuyvyy2vy3三、共 5 分设x2yx ,z2xyz0,求zx解：令Fy,z x2yz2xyzFxxyzyzFzxyzxyxyzxyzzFx
21、yzxyzxFzxyzxy四、共 5 分运算xdxdydz,其中为三个坐标面及平面xyz1 所围成的闭区域解：:0x1,0y1x,0z1xyxdxdydz1dx1xdy1xyxdz1dx1xx 1xy dy0000011x 1x 2dx11x2x2x3dx1022024五、共 6 分计 算Lexsinyydx excosy1dy, 其 中 L 为 由 点Aa ,0 到 点O,0 0 的 上 半 圆 周x2y2ax解：添加有向帮助线段 OA ,就有向帮助线段 OA 和有向弧段 OA 围成闭区域记为 D ,依据格林公式Lx esinyy dxexcosy1 dyy1dy第 11 页,共 24 页d
22、xdy2 exsinyydxexcosDOA1a022名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 a 83六、共 6 分求幂级数n1x3 n的收敛域n 3n解：对肯定值级数,用比值判敛法lim nun1lim nx3n11x3nlim n1nn1x31x3unn13nn n 333当1 x 331时,即0x6,原级数肯定收敛当1 x 331时,即x0 或x6,原级数发散当x0时,依据莱布尼兹判别法,级数n11 n收敛n当x6时,级数n11发散,故收敛域为,06 n七、共 5 分运算z2dxdy,其中为球面x2yy2z221 在第一卦限的外侧解：
23、在 xoy 面的投影Dxy：x221,1x,0y02 zdxdyrdr218Dxy 1x2y2dxdy2d 1r004八、共 7 分设f 10,求fx使lnx1fxydxfxdy为某二元函数ux ,y的全微分,并求ux,yx解：由PQ,得lnx1fx fx,即fx 1fxlnx第 12 页,共 24 页yxxxx 1ln2xC所以fx e1dxlnxe1dxCxlnx1dxCxxx21xln2带入初始条件,解得C0,所以fxx2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ux,y x,ylnxx1ln2x ydx1 2xln2xdy0,02x 0
24、0y1ln2xdy1xyln2x02207 高数 B 一、共 60 分 每题 3 分得分1. 设向量 a 6 , ,2 4 ,b , ,1 2,已知 a 与 b 平行 , 就 32 2 2 2 22. yoz 坐标面上的曲线 y2 z2 1 绕 z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 x2 y z2 1a c a b3. 设 a ,2 b ,1 a , b ,就 a b 3 3x 2 y 4 04. 设一平面经过点 ,1 ,1 1,且与直线 垂直,就此平面方程为 2 x y 3 z 03 y z 05. 二元函数 z ln y 22 x 1 的定义域为 x , y | y 22 x 1 06. 设
25、z e xy,就 z e xy y d x x d y 7. 函数 f x , y , z ln x 2y 2z 2 ,就 grad f ,1 0 , 1 ,1 0 , 1 8. 设 u xf x , y , f 具有连续导数,就 u f xf 1 y f 2x x x9. 曲面 x 2y 2z 2 1 在点 ,1 0 , 2 处的法向量 n 2 , 0 , 41 x 1 110. 交换积分次序：0 d x 0 f x , y d y 0 d y y f x , y d x11. 闭区域 由曲面 z x 2y 2及平面 z 1 所围成,将三重积 f x , y , z d v 化为柱面坐标系下
26、的三次2 1 1积分为0 d0 r d rr 2 f r cos , r sin , z d z12. 设 是闭区域 的整个边界曲面的外侧 , V 是 的体积,就 x d y d x y d z d x z d x d y = V13. 设 L 为上半圆周 y 1 x 2,就L x 2y 2 d s名师归纳总结 第 13 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14. 设周期函数在一个周期内的表达式为fx0,0xx,0就它的傅里叶级数在x处收敛x,于215.假设lim nun0,就级数n1un的敛散性是发散16.级数n1nn的敛散性是收敛 5nn .