《2022年高中数学圆锥曲线重要结论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学圆锥曲线重要结论.docx（45页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线重要结论1.|椭圆2b2 tan2.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角,就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.假设P x 0,y 0在椭圆x2y21上,就过0P 的椭圆的切线方程是x xy y1. P1P2的直线方程是x xy y1. a22 b2 ya2b26.假设P x 0 0,y 0在椭圆x2
2、1外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦a22 ba2b27.椭圆x2y21ab 0的左右焦点分别为F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点F PF 2,就椭圆的焦点角形的面积为SF PF 1a2b28.椭圆221ab0的焦半径公式：xy22abM 、N 两点,就 MFMF 1|aex , 0|MF 2|aex 0F 1c ,0, F c 2 ,0M x 0,y 0. 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于NF. 名师归纳总结 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A
3、 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MF NF. 第 1 页,共 23 页11.AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦,Mx 0y0为 AB 的中点,就kOMkABb2,a2b2a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即K ABb2x 0；a2y0双曲线1. 2. 3.4.5.6.7.8.9.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 . PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角,就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个
4、端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .内切： P 在右支；外切：P 在左支假设P x 0 0,y 0在双曲线2 xy21 a0,b0上,就过P 的双曲线的切线方程是 0x xy y1. a2b2a22 b假设P x 0,y 0在双曲线2 xy21a0,b 0外 ,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的直线方程是x xy y1. a2b2a2b2双曲线x2y21 a 0,b o的左右焦点分别为F1, F 2,点P 为双曲线上任意一点F PF 1 2,就双曲线的焦点角形的面积为a22 bSF P
5、F 122 b cot2. 双曲线x2y21a0,b o的焦半径公式：F 1c ,0, F c 2 ,0a2b2当M x 0,y 0在右支上时,|MF 1|ex 0a ,|MF 2|ex 0a . 当M x 0,y 0在左支上时,|MF 1|ex 0a,|MF2|ex 0a设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点,就 MF NF. 名师归纳总结 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A 1、A 2 为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点 M ,A 2P 和
6、 A 1Q 交于点 N,就 MF NF. 第 2 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11.AB 是双曲线x2y21a0,b0的不平行于对称轴的弦,Mx0y 0为 AB 的中点,就KOMKABb2x0,即K ABb2x 0；a2b2a2y0a2y 0名师归纳总结 12.假设P x 0 0,y 0在双曲线2 xy21 a0,b0内,就被Po 所平分的中点弦的方程是x xy yx02y02. 第 3 页,共 23 页a2b2a2b2a2b213.假设P x 0,y 0在双曲线2 xy21 a0,b0内,就过Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x
7、 x 0y y 0. a2b2a2b2a2b21.椭圆与双曲线的对偶性质-椭圆椭圆x2y21ab o的两个顶点为A 1a ,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是x2y21. a2b2a2b22.过椭圆x2y21a0, b0上任一点A x 0,y0任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点, 就直线 BC 有定向且kBCb x 20常数 . a2b22 a y 03.假设 P 为椭圆x2y21ab 0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点 , PF F 2, PF F 1,就actan2cot2. a2b2ac4
8、.设 椭 圆x2y21 a b 0 的 两 个 焦 点 为F1 、 F2,P 异 于 长 轴 端 点 为 椭 圆 上 任 意 一 点 , 在 PF1F2 中 , 记F PF 1 2, a2b25.PF F 1 2,F F P 1 2,就有sinsinsince. a假设椭圆2 xy21ab0的左、右焦点分别为F1、 F2,左准线为L,就当 0e21时,可在椭圆上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 准线距离 d 与 PF2 的比例中项 . 名师归纳总结 6.P 为椭圆x2y21ab0上任一点 ,F1,F2 为二
9、焦点, A 为椭圆内肯定点,就2 a|AF 2| |PA|PF 1| 2 a|AF 1|,当且仅当A F P 三第 4 页,共 23 页a2b27.点共线时,等号成立. 椭圆xax 02yby 021与直线AxByC0有公共点的充要条件是2 A a22 B b2Ax 0|By 0|C2. 11;2|OP| 2+|OQ|2 的228.已知椭圆2 xy2a b0, O 为坐标原点, P、Q 为椭圆上两动点,且OPOQ .1|1212 |1a2b2OPOQa2b2最大值为2 4a b2;3SOPQ的最小值是a2 a b2. 9.a2b222 b过椭圆x2y21ab0的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M
10、,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P,就| |PF|e. a2b2MN|210.已知椭圆2 xy21 ab0,A、 B、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P x 0,0, 就a2ab2x 0a2ab2. a2b211.设 P 点是椭圆x2y21a b 0上异 于长轴端点的任一点,F1、 F2 为 其焦点记F PF 2,就 1|PF 1|PF 2|12b2.2 a2b2cos12.SPF F 1 2b2 tan2. 设 A 、B 是椭圆x2y21 ab0的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB, PBA,BPA,c、e 分别是椭圆的半焦距a22 b离心率,就有 1
11、|PA|2 2 ab|cos|.2 tantan12 e .3 SPAB22 a b2cot. a22 c co2 sb2a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13.已知椭圆2 xy21 ab0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且 BCxa2b2轴,就直线AC 经过线段 EF 的中点 . . . 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦
12、半径相互垂直16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 . 注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- 双曲线名师归纳总结 1.双曲线x2y21a 0,b0的两个顶点为A 1a,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是第 5 页,共 23 页a2b2- - - - - - -精选学习资料
13、- - - - - - - - - x2y21. a2b22.过双曲线x2y21a0,bo上任一点A x 0,y 0任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,就直线 BC 有定向且k BCb x 20a2b2a y 20常数 . 名师归纳总结 3.假设P 为双曲线x2y21 a 0,b 0 右或左支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点 , PF F 2, PF F 1,就第 6 页,共 23 页a22 bcatan2cot2或catan2cot2. 4.caca设双曲线x2y21 a 0,b 0的两个焦点为F1、 F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点,在PF1F2 中,记F P
14、F 2, a2b2PF F 2,F F P,就有sinsince. 5.sina假设双曲线x2y21a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,就当 1e21时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1a2b26.是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 . P 为双曲线x2y21a0,b0上任一点 ,F1,F2 为二焦点, A 为双曲线内肯定点,就|AF 2| 2 a|PA|PF 1|,当且仅当A F P 三点a22 b共线且 P 和A F 在 y 轴同侧时,等号成立. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7.双曲线x2y21a0,b0与直线
15、AxByC0有公共点的充要条件是2 A a22 B b2C2. a2b2名师归纳总结 8.已知双曲线x2y21ba 0, O 为坐标原点, P、Q 为双曲线上两动点,且OPOQ . 第 7 页,共 23 页a2b21|12 |12 |11;2|OP| 2+|OQ|2 的最小值为2 4a b2;3SOPQ的最小值是2 a b22. OPOQa2b2b2a2b2a9.过双曲线x2y21a0,b0的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P,就| |PF|e. a2b2MN|210.已知双曲线x2y21 a0,b0,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂
16、直平分线与x 轴相交于点P x 0,0, 就x0a2ab2或a2b2x 0a2ab2. 11.设 P 点是双曲线x2y21 a 0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记F PF 1 2,就 1|PF 1|PF2|12b2.2 a2b2cosSPF F 1 2b2 cot2. 12.设 A、B 是双曲线x2y21a0,b0的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB, PBA,BPA,c、e 分别是双a2b2曲线的半焦距离心率,就有1|PA|2 ab2| cos|. 2 a2 c co2 s2 tantan12 e .3 SPAB22 a b2cot. 2 ba213.已知双曲线x
17、2y21a0,b 0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点 ,点 C 在右准线 la2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上,且 BCx 轴,就直线AC 经过线段 EF 的中点 . 名师归纳总结 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. . 第 8 页,共 23 页15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
18、数e 离心率 . 注 : 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的学问综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础学问、采纳多种数学手段来处理问题；熟记各种定义、基本公式、法就当然重要,但要做到快速、精确解 题,仍须把握一些方法和技巧；一. 紧扣定义,敏捷解题 敏捷运用定义,方法往往直接又明白；例 1. 已知点
19、 A 3, 2, F 2, 0,双曲线 x2y21, P 为双曲线上一点；3求 |PA|1|PF|的最小值；2解析：如下图,双曲线离心率为2,F 为右焦点,由其次定律知1|PF 即点 P 到准线距离；2|PA|1|PF| |PA| |PE|AM522二. 引入参数,简捷明快 参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决；名师归纳总结 例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程；M t,0t 为参数第 9 页,共 23 页解：取如下图的坐标系,设点F 到准线 l 的距离为 p定值,椭圆中心坐标为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
20、 pb2,而 ctcb2pcpt再设椭圆短轴端点坐标为 P x, y,就x c ty b pt消去 t,得轨迹方程 y 2 px三. 数形结合,直观显示将“ 数” 与“ 形” 两者结合起来,充分发挥“ 数” 的严密性和“ 形” 的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简洁化,抽象问题形象化；娴熟的使用它,常能奇妙地解决很多貌似困难和麻烦的问题；名师归纳总结 例 3. 已知 x yR,且满意方程 x2y 23 y0 ,又 my3,求 m 范畴；第 10 页,共 23 页x3解析：my3的几何意义为,曲线x2y23 y0 上的点与点3, 3连线的斜率,如下图x3- - - - - -
21、-精选学习资料 - - - - - - - - - kPAmkPB323m325四. 应用平几,一目了然用代数讨论几何问题是解析几何的本质特点,因此,很多“ 解几” 题中的一些图形性质就和“ 平几” 学问相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解；例 4. 已知圆 x3 2|y24和直线 ymx的交点为 P、Q,就| OP OQ 的值为 _；解：OMPOQN5|OP OQ| |OMON|五. 应用平面对量,简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面对量成为解决解析几何学问的有力工具；2 例 5. 已知椭圆：x24y21,直线 l ：x 12y1 , P 是 l 上一点,射线
22、OP 交椭圆于一点R,点 Q 在 OP 上且满意 | OQ OP | |OR | 2 ,当点 P 在 l 上移动时,求点168Q 的轨迹方程；分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而假如用向量共线的条件便可简便地解出；名师归纳总结 解：如图, OQ,OR,OP共线,设 OROQ , OPOQ , OQx,y,就 ORx,y, OPx,y第 11 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - | OQ OP| |OR2 | OQ2 |2|OQ2 |2点 R 在椭圆上, P 点在直线 l 上12x上方部分2x22y21,x
23、y24161282 即x24y2xy16128化简整理得点Q 的轨迹方程为：x1 2y51 21直线 y5323六. 应用曲线系,事半功倍 利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效；所以敏捷运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一；例 6. 求经过两圆 x2y26 x40 和 x2y26 y280 的交点,且圆心在直线xy40 上的圆的方程；解：设所求圆的方程为：名师归纳总结 x2y226x4yx2xy26y28 00第 12 页,共 23 页 1x 1266y284 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就圆心为 13,13,在直线 xy04
24、0上解得7y2x7y32故所求的方程为 x2七. 巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采纳点差法,此法比其它方法更简捷一些；名师归纳总结 例 7. 过点 A 2,1的直线与双曲线x2y21 相交于两点P1、P2,求线段 P1P2中点的轨迹方程；第 13 页,共 23 页2解：设 P x 1,y 1, P x2,y2,就x 12y 12112x 22y22122得x 2x1x1x 2y2y 1y1y 22即y x2y 12x 1x22x 1y1y2设 P1P2的中点为 M x0,y 0,就kP P 1 2y2y12x0x2x1y0又 kAMy01,而 P1、 A、 M 、P2
25、共线x02kP P 1 2kAM,即y 0x 012x02y0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P P 2中点 M 的轨迹方程是 22 xy24xy0解析几何题怎么解名师归纳总结 高考解析几何试题一般共有4 题 2 个挑选题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 , 共计 30 分左右 , 考查的学问点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 挑选题和第 14 页,共 23 页填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础学问. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点, 通过学问的重组与链接, 使学问形成网
26、络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 求解有时仍要用到平几的基本学问,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点, AB=2 、OT=t 0t1 ,以 AB 为直腰作直角梯形AABB,使AA垂直且等于AT,使BB垂直且等于BT,AB交半圆于 P、 Q 两点,建立如下图的直角坐标系. 1 写出直线AB的方程； 2运算出点P、Q 的坐标； 3证明：由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出A ,B点的坐标 . 1 明显 A1,1t, B1,t,于是直线AB的方程为ytx1；2由方程组x2y21 ,解出P0, 1、
27、Q12t2,1t2；12ytx1 ,tt3k PT101, k QT12t20t1t21. 1t t20tt2t12tt1t由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知,由点P 发出的光线经点T 反射,反射光线通过点Q. 需要留意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 好玩吗 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 已知直线 l 与椭圆x2y21 ab0 有且仅有一个交点Q,且与 x 轴、 y 轴分别交于R、S,求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程a2b2讲解：从直线 l 所处的位置 , 设出直线 l 的
28、方程 , 由已知,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为ykxmk0 .3.代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2k2x22kmx2 ma2b2.化简后,得关于 x 的一元二次方程a2k2b22 x2ka2mxa2m2a2b2.0于是其判别式2 ka2m 24a2k2b2a2m2a2b24a2b2a2k2b2m2.由已知,得=0即a2k2b2m2.在直线方程ykxm中,分别令y=0 ,x=0 ,求得R m, 0,S ,0m .k令顶点 P 的坐标为 x,y,由已知,得xm,ky,kx解得ym .my .b的直线到原点的距离是代入式并整理,得a22 b1 , 即为所求顶
29、点P 的轨迹方程2x2 y方程2 ab21形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗. 2x2y例 3 已知双曲线x2y21的离心率e233,过Aa ,0 ,B0 ,a2b22 1求双曲线的方程；名师归纳总结 2已知直线ykx5 k0交双曲线于不同的点C,D 且 C, D 都在以 B 为圆心的圆上,求k 的值 . 第 15 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 讲解： 1c233,原点到直线AB ：xy1的距离dbaabb23.ab3. 2c2aaba1,故所求双曲线方程为x2y21.0. 90 ,直线 l 过左焦点F1 与椭圆交于A、B 两
30、点, ABF2 的面积32把ykx5代入x23y23中消去 y,整理得13 k2x230kx78设Cx 1,y 1,Dx2,y2,CD的中点是Ex0y0,就1 k.x0x12x2115k2y0kx0515k2,kBEy001x3k3,k27x0ky 0k,0即115k215kk2k0,又k03k3故所求 k= 7.为了求出 k 的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 . F1PF2 的最大值为例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且最大值为 12名师归纳总结 1求椭圆 C 的离心率；2求椭圆 C 的方程,由余弦定理 , 得112 e20,第 16 页,共 23 页讲解：1设|PF 1|r 1,|PF 2|r 2,|F F 2|2 c , 对PF 1F 2cosF1PF21 r 1r2r24 c2r 1r222r 1r24 c24 a24c214 a224 c222r 12r 1r 22 r1r22r 1r 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解出e2.2 2考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情形：名师归纳总结 i 当 k 存在时,设l 的方程为ykxc 2. c 1k2,第 17 页,共 23 页椭圆方程为x2y2,1A x 1,y1,Bx2,y