《2022年高中数学圆锥曲线小结论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学圆锥曲线小结论.docx（52页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角 . 2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角,就焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 . 名师归纳总结 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 第 1 页,共 27 页5. 假设P 0x 0,y 0在椭圆x2y21上,就过P 的椭圆的切线方程是x xy y1 . a22 ba 2b26. 假设P x 0,y0在椭圆x2y21外 ,就过Po 作椭
2、圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦P1P2 的直线方程是a2b2x xy y1. a2b27. 椭圆x2y21ab0的左右焦点分别为F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点F PF2,就椭圆的焦点角形的面a2b2积为SF PF 12b2 tan2.8. 椭圆x2y2|1ab0的焦半径公式：,y . a22 bex ,|MF 1|MF2|aex F 1c,0, F 2 ,0M x 0a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F的椭圆准线于
3、M 、N 两点,就 MFNF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 交于点 N,就 MFNF. P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和 A 2Q 交于点 M,A 2P 和 A 1Q11. AB 是椭圆x2x 0y21的不平行于对称轴的弦,Mx0y 0为 AB 的中点,就k OMkAB2 b a,a22 b即K ABb2；a2y0双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角,就焦点在直线 两个端点 . 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径 PF1为直
4、径的圆必与以实轴为直径的圆PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的相切 .内切： P 在右支；外切： P 在左支名师归纳总结 5. 假设P x 0,y 0在双曲线x2y21a0,b0上,就过P 的双曲线的切线方程是x x 0y y 01 . 第 2 页,共 27 页a2b22 a2 b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 假设P x 0,y 0在双曲线x2y21a0,b0外 ,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,就切点弦 P1P2a2b2的直线方程是x x 0y y 01. F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点a2b
5、2F PF2,就双曲线的7. 双曲线2 xy21a0,bo的左右焦点分别为a2b2焦点角形的面积为 S F PF 1 2 b co 2 t . 22 28. 双曲线 x2 y2 1a0,bo的焦半径公式： a bF 1c,0, F 2 ,0AP 和 AQ 分别交相当M x0,y0在右支上时,|MF 1|ex 0a ,|MF2|ex 0a. 当M x0,y0在左支上时,|MF 1|ex 0a ,|MF2|ex 0a9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P、Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,就 MFNF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直
6、线与双曲线交于两点P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点, A 1P 和 A 2Q 交于点 M,A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MFNF. 名师归纳总结 11. AB 是双曲线x2y21a0,b0的不平行于对称轴的弦, Mx 0y0为 AB 的中点,就KOMKAB2 bx 0,即第 3 页,共 27 页a2b2a2y0K ABb2x0；a2y0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 假设P x 0,y 0在双曲线x2y21a0,b0内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是x xy yx022 y b. a2b2a2b2a2名师归纳总结 1
7、3. 假设P x 0,y 0在双曲线x2y21a0,b0内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x x 0y y 0. 第 4 页,共 27 页a2b2a2b2a2b2椭圆与双曲线的对偶性质-椭圆1. 椭圆x2y21abo的两个顶点为A 1a,0,A 2 ,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P222ab交点的轨迹方程是2 xy21. a2b22. 过椭圆2 xy21a0, b0上任一点A x0,y0任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,就直线 BCa2b2有定向且kBC2 b x a y常数 . 3. 假设 P 为椭圆x2y21ab0上异于长轴
8、端点的任一点,F1, F 2 是焦点 , PF F 2, PF F 1,就2 ab2actan2cot2. ac4. 设椭圆2 xy21ab0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点,在PF1F2 中,记a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F PF2, PF F 2,F F P,就有sinsinsince. a名师归纳总结 5. 假设椭圆x2y21ab0的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,就当 0e21时,可在椭圆上第 5 页,共 27 页22ab求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .
9、 6. P为椭圆x2y21ab0上任一点 ,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内肯定点, 就2a|AF 2| |PA|PF1|2 a|AF ,a22 b当且仅当A F 2,P 三点共线时,等号成立 . 27. 椭圆 x2 x 0 a28. 已知椭圆 x2ayby 021与直线AxByC0有公共点的充要条件是2 A a22 B b2Ax0By0C2. 12 |11 b;y22OQ .1|12 |1ab0,O 为坐标原点, P、Q 为椭圆上两动点, 且 OPb2OP|OQa22|OP|2+|OQ|2的最大值为2 24a ba 2 b;3SOPQ的最小值是a2 a b2 b. 29. 过椭圆2 xy2
10、1ab0的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P,a2b2就| |PF|e. MN|210. 已知椭圆x2y21 ab0,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P x0,0, 就a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2a2 bx0a2ab2. 2 211. 设 P 点 是 椭 圆 x2 y2 1a b 0 上异于 长 轴 端 点 的 任一 点 ,F1、 F2 为 其焦 点 记 F PF 2, 就a b21 | PF 1 | PF 2 | 2 b .2 S PF F 1 2 b
11、 2 tan . 1 cos 22 212. 设 A、B 是椭圆 x2 y2 1 ab0的长轴两端点, P是椭圆上的一点,PAB , PBA , BPA,c、a b2 2 2e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有 1 | PA | 22 ab | cos2 2 | .2 tan tan 1 e .3 S PAB 22 a b2 cot . a c co s b a2 213. 已知椭圆 x2 y2 1 ab0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两a b点,点 C 在右准线 l 上,且 BCx轴,就直线 AC 经过线段 EF 的中点 . 名师归纳总结
12、 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交, 就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 第 6 页,共 27 页15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直. 16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 . 注: 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点
13、到椭圆中心的比例中项 . 椭圆与双曲线的对偶性质- 双曲线名师归纳总结 1. 双曲线x2y21a0,b0的两个顶点为A 1a,0,A 2 ,0,与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A 1P1第 7 页,共 27 页a2b2与 A 2P2交点的轨迹方程是x2y21. a2b22. 过双曲线x2y21a0,bo上任一点A x0,y0任意作 两条倾斜角互补 的直线交双曲线于B,C 两点,就a2b2直线 BC 有定向且kBC2 b x a y常数 . 03. 假设 P 为双曲线x2y21a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点 , PF F 2, a2b2PF F 1,就
14、catan2cot2或catan2cot2. caca4. 设双曲线x2y21a0,b0的两个焦点为 F1、F2,P异于长轴端点 为双曲线上任意一点, 在 PF1F2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 中,记F PF2, PF F 2,F F P,就有sinsinsince. a5. 假设双曲线x2y21a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,就当 1e21时,可在22ab双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 . 名师归纳总结 6. P 为双曲线x2y21a0,b0上任一点 ,F1,F2
15、 为二焦点,A 为双曲线内肯定点, 就|AF2| 2a|PA|PF ,第 8 页,共 27 页a2b2当且仅当A F 2,P 三点共线且 P 和A F 在 y 轴同侧时,等号成立 . 7. 双曲线x2y21a0,b0与直线AxByC0有公共点的充要条件是2 A a22 B b2C . a2b22xy21ba 0,O 为坐标原点, P、Q 为双曲线上两动点,且OPOQ . 8. 已知双曲线a2b21|12 |12 |1b;2|OP|2+|OQ|2 的最小值为2 24a bb 2 a;3SOPQ的最小值是b2 a b2 a. OPOQa229. 过双曲线x2y21a0,b0的右焦点 F 作直线交该
16、双曲线的右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线22ab交 x 轴于 P,就| |PF|e. MN|210. 已知双曲线x2y21a0,b0,A 、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P x 0,0, a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就x 0a2ab2或x0a2ab2. 2 211. 设 P 点是双曲线 x2 y2 1a0,b0上异于实轴端点的任一点 ,F1、F2 为其焦点记 F PF 2,就a b21 | PF 1 | PF 2 | 2 b .2 S PF F 1 2 b 2 cot . 1 cos 22 21
17、2. 设 A、B 是双曲线 x2 y2a0,b0的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PAB , PBA , BPA,a b2c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,就有 1 | PA | 22 ab |cos2 2 | . | a c co s |2 22 tan tan 1 e .3 S PAB 22 a b2 cot . b a2 213. 已知双曲线 x2 y2 1a0,b0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交a b于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BCx轴,就直线 AC 经过线段 EF 的中点 . 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切
18、线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与 切线垂直 . 名师归纳总结 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直. 第 9 页,共 27 页16. 双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注: 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . 名师归纳总结 17. 双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 第 10 页,共 27 页18.
19、 双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的学问综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础学问、采纳多种数学手段来处理问题；熟 记各种定义、基本公式、法就当然重要,但要做到快速、精确解题,仍须把握一些方法和技巧；一. 紧扣定义,敏捷解题 敏捷运用定义,方法往往直接又明白；例 1. 已知点 A 3,2,F2,0,双曲线 x2y21,P 为双曲线上一点；3求 |PA |1|PF|的最小值；1|PF 即点 P 到准线距离；2解析：如下图,双曲线离心率为 2,F 为右焦点,
20、由其次定律知2|PA|1|PF| |PA| |PE|AM522二. 引入参数,简捷明快名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决；例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程；解：取如下图的坐标系,设点F 到准线 l 的距离为 p定值,椭圆中心坐标为Mt,0t 为参数pb2,而 ctcb2pcpt再设椭圆短轴端点坐标为 Px,y,就x c ty b pt消去 t,得轨迹方程 y 2px三. 数形结合,直观显示将“ 数” 与“ 形” 两者结合起来,充分发
21、挥“ 数” 的严密性和“ 形” 的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简洁化,抽象问题形象化；娴熟的使用它,常能奇妙地解决很多貌似困难和麻烦的问题；名师归纳总结 例 3. 已知 x yR,且满意方程 x 2y23 yx20 ,又 my x3 3,求 m 范畴；第 12 页,共 27 页解析：my3的几何意义为,曲线y23 y0 上的点与点 3,3连线的斜率,如下图x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kPAmkPB323m325四. 应用平几,一目了然 用代数讨论几何问题是解析几何的本质特点,因此,很多“ 解几” 题中的一些图形性质就和“
22、 平几” 学问相关 联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解；例 4. 已知圆 x3 2y24和直线 ymx 的交点为 P、Q,就 |OP OQ 的值为 _；解：OMPOQN|OP OQ| | OM|ON|5五. 应用平面对量,简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面对量成为解决解析几何学问的有力工具；名师归纳总结 |2 2例 5. 已知椭圆：x y 1,直线 l ：x y 1,P是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于一点 R,点 Q 在 OP上且满意24 16 12 8OQ OP | | OR | 2 ,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程；第 13 页,共 2
23、7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而假如用向量共线的条件便 可简便地解出；解：如图, OQ,OR,OP共线,设 OROQ , OPOQ , OQx,y,就 ORx,y, OPx,y|OQ OP| |OR |2| OQ2 |2|OQ2 |2点 R 在椭圆上, P 点在直线 l 上名师归纳总结 2x22y21,xy1第 14 页,共 27 页24161282 即x24y2xy16128化简整理得点 Q 的轨迹方程为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
24、- - x1 2y51 21直线 y2x上方部分532 3六. 应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效；所以敏捷运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技 巧之一；例 6. 求经过两圆 x2y26 x40 和 x2y26y280的交点,且圆心在直线xy40 上的圆的方程；解：设所求圆的方程为：2 2 2 2x y 6 x 4 x y6y28 000上 1x2 1y26x6y 284 就圆心为 13,13,在直线 xy4解得7故所求的方程为x2y2x7y320七. 巧用点差,简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采纳点差法,此法比其它方法更简捷一些；名师归纳总结
25、 例 7. 过点 A2,1的直线与双曲线x2y21相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹方程；第 15 页,共 27 页2解：设 P x 1,y 1, P x2,y2,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 12y 12112x22y 22122得x2x 1x1x2y2y 1y 1y2y02即y x2y12x1x22x1y 1y2设 P1P2的中点为 M x 0,y0,就kP P 1 2y 2y12x0x 2x1y 0又 kAMy01 2,而 P1、A、M、P2 共线x0kP P 1 2kAM,即y 0x 012x 02y 0P P 2中
26、点 M 的轨迹方程是 2x2y24x解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题2 个挑选题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 , 共计 30 分左右 , 考查的学问点约为20个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 挑选题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标名师归纳总结 系中的基础学问 . 解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点, 通过学问的重组与链接, 使学问形成网络 , 着重考查第 16 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时仍要用到平几的基本学问,这点值
27、得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t 0t1 ,以 AB 为直腰作直角梯形AABB,使AA名师归纳总结 垂直且等于 AT,使BB垂直且等于 BT,AB交半圆于 P、Q 两点,建立如下图的直角坐标系. Q. 第 17 页,共 27 页1写出直线AB的方程；2运算出点 P、Q 的坐标；3证明：由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. 讲解: 通过读图 , 看出A, B点的坐标 . 1 明显A1 1,t, B1,t,于是 直线AB的方程为ytx1；2由方程组x2y21,解出P0, 1、Q12t2,1t2；ytx1,12tt
28、3k PT101, k QT12t20t1t21. 12t t0tt2t1t2t1t由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通过点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 需要留意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式 , 好玩吗 . 例 2 已知直线 l 与椭圆x2y21 ab0 有且仅有一个交点Q,且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S,求以线段 SR 为a2b2对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线 l 所处的位置 , 设出直线 l 的方程 , 名师归纳总结 由已知,直
29、线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为2y2kxmk0.第 18 页,共 27 页b0 .代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2k2x22 kmxm2a2b2.化简后,得关于x 的一元二次方程 a2k2b2x22 ka2mxa2m2a于是其判别式2ka2m 24a2k2b2a2m2a2b24 a2b2a2k2b2m2.由已知,得=0即a2k2b2m2.在直线方程ykxm中,分别令 y=0,x=0,求得Rm,0 ,S 0,m.k令顶点 P 的坐标为 x,y,由已知,得xm,kyy,kx解得ym .m.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
30、 - 代入式并整理,得2 ab21, 即为所求顶点 P 的轨迹方程2 xy2方程a2b21形似椭圆的标准方程 , 你能画出它的图形吗 . b的直线到原点的距离是3.x2y2例 3 已知双曲线x2y21的离心率e233,过Aa ,0 ,B,0a2b221求双曲线的方程；名师归纳总结 2已知直线ykx5 k0交双曲线于不同的点0C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求k 的值. 第 19 页,共 27 页讲解： 1c233,原点到直线 AB：xy1的距离dbaabb23.ab3. 2c2aab1,a故所求双曲线方程为x2y21. 13 k2x230kx780. 32把ykx5代入x23y2
31、3中消去 y,整理得设Cx 1,y 1,Dx2,y2,CD的中点是Ex 0 y0,就y0011.x0x12x2115k2y0kx0515k2,kBE3k3kxx0ky0k0 ,即115k215kk2k,又k0,k273k3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故所求 k=7 .为了求出 k 的值, 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 . 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点, 且F1PF 2 的最大值为 90 ,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点, ABF 2 的面积最大值为
32、 121求椭圆 C 的离心率；2求椭圆 C 的方程讲解：1设|PF 1|r 1,|PF2|r 2,|F F 2|2 c , 对PF 1F2,由余弦定理 , 得cosF1PF21 r 1r2r24c2r 1r222r 1r 24 c24 a24 c214 a224 c2112 e20,22r 12r 1r22 r 1r 22 r 1r22解出e2.22考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情形：名师归纳总结 i 当 k 存在时,设 l 的方程为ykxc c2,b2c2. 第 20 页,共 27 页e2.得a22椭圆方程为x2y2,1A x 1,y1,Bx2,y2由a2b22于是椭圆方程可转化为x22