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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中新课标数学基础学问汇整合第一部分 集合1懂得集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：仍是因变量的取值？仍是曲线上的点？；元素是函数关系中自变量的取值？2数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集；3（1）含 n 个元素的集合的子集数为 2 n,真子集数为 2 n1；非空真子集的数为 2 n-2；（2）A B A B A A B B ; 留意：争论的时候不要遗忘了 A 的情形；（3）C I
2、 A B C I A C I B ; C I A B C I A C I B ；其次部分 函数与导数1映射： 留意 第一个集合中的元素必需有象；一对一,或多对一；2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；2 2换元法；利用均值不等式 ab a b a b； 利用数形结合或几何意义2 2x（斜率、距离、肯定值的意义等）；利用函数有界性（a 、sin x、cos x 等）；导数法3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 如 fx 的定义域为 a,b,就复合函数 fgx 的定义域由不等式 agx b 解出 如 fgx 的定义域为 a,b, 求fx 的定义域,相当于 xa,b
3、时,求 gx的值域；（2）复合函数单调性的判定：第一将原函数 y f g x 分解为基本函数：内函数u g x 与外函数 y f u ；分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性；依据“ 同性就增,异性就减” 来判定原函数在其定义域内的单调性；留意：外函数yfu的定义域是内函数ugx的值域；4分段函数： 值域（最值） 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论；名师归纳总结 5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的fff；第 1 页,共 19 页fx 是奇函数fxfxfxfx0x1；fxfx 是偶函数fxfxfxfx0x1；x奇函数fx在原点有定义,就f00；- - - - -
4、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性；（6）如所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判定其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义：f x 在区间 M 上是增（减）函数 x 1 , x 2 M , 当 x 1 x 2 时f x 1 f x 2 0 0 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 0 f x 1 f x 2 0 0 ；x 1 x 2单调性的判定定义法：留意：一般要将式子 f x 1 f x 2 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判定符号；导数法（见导数部分）；复合函数法（见 2 （2）；图像
5、法；注：证明单调性主要用定义法和导数法；7函数的周期性1周期性的定义： 对定义域内的任意 x ,如有 f x T f x （其中 T 为非零常数） ,就称函数 f x 为周期函数, T 为它的一个周期； 全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有特殊说明,遇到的周期都指最小正周期；（2）三角函数的周期ysinx:T2；ycosx:T2；ytanx:T；|；yAsinx,yAcosx:T2|；ytanx:T|函数周期的判定：定义法（试值）图像法公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论：fxafxa或fx2 afxa0fx的周期为2 ；yfx的图象关于点a,0,b,0中心对称fx周期 2ab
6、；yfx 的图象关于直线xa,xb轴对称fx周期为 2ab；yfx 的图象关于点a ,0 中心对称,直线xb轴对称fx 周期 4ab；8基本初等函数的图像与性质名师归纳总结 幂函数：yyx（xaR,；指数函数：yaxa0 ,a1 ；第 2 页,共 19 页对数函数 :loga0a1 ；正弦函数 :ysinx；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 余弦函数：ycosx；（6）正切函数：ytanx；一元二次函数：ax2bxc0；其它常用函数：正比例函数：ykx kx0；反比例函数：fykk0；特殊x的y1,函数yxaa0 ；ax2bxc；顶点式：xaxh2k,
7、xxfx9二次函数：解析式：一般式：h ,k为顶点；零点式：fxx 1x2；a x二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号；二次函数问题解决方法：数形结合；分类争论；10函数图象 图象作法：描点法（留意三角函数的五点作图）图象变换法导数法 图象变换：平移变换：yfx yfxa,a0左“+” 右“- ” ；yfxyfxk,k0上“+” 下“- ” ；伸缩变换：fx ,（0 纵坐标不变, 横坐标伸长为原先的1 倍；yyfxfyfxyAfx,（A0横坐标不变, 纵坐标伸长为原先的A 倍；y x 0,0yfx；yfxy0yfx；对称变换：y|fxx0yfx
8、 ； yfxyxyf1 x ；翻转变换：fx|右不动,右向左翻（fx在 y 左侧图象去掉） ；yfx yyfxy|fx|上不动,下向上翻（|fx| 在 x 下面无图象） ；11函数图象（曲线）对称性的证明1 证明函数yfx图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；名师归纳总结 （2）证明函数yfx与ygx图象的对称性,即证明yfx图象上任意点第 3 页,共 19 页关于对称中心（对称轴）的对称点在ygx的图象上,反之亦然；注：曲线C1:fx,y=0 关于点（ a,b）的对称曲线C2方程为： f2ax,2by=0; - - - - - - -精选学习资料 - -
9、- - - - - - - 曲线 C1:fx,y=0 关于直线 x=a 的对称曲线C2方程为： f2ax, y=0; 曲线 C1：fx,y=0, 关于 y=x+a 或 y=x+a的对称曲线C2的方程为 fy a,x+a=0 或0；fy+a,x+a=0; fa+x=fb x （xR）y=fx 图像关于直线x=a2b对称；特殊地： fa+x=fa x （xR）y=fx 图像关于直线x=a 对称；函数 y=fx a与 y=fb x的图像关于直线x=a2b对称；12函数零点的求法：直接法（求fx0的根）；图象法；二分法.13导数导数定义： fx 在点 x 0 处的导数记作yxx0fx0lim x0fx
10、0xfxx常见函数的导数公式: C0；xnnxn1；sinxcosx；cosxsinx；axaxlna；exex；logaxx1a；lnlnx1；导数的四就运算法就：xuvuv;uvuvu v;uuv2u v;vv（理科） 复合函数的导数：yxyuux;导数的应用：利用导数求切线：留意：所给点是切点吗？所求的是“ 在” 仍是“ 过” 该点的切线？利用导数判定函数单调性： f x 0 f x 是增函数； f x 0 f x 为减函数； f x 0 f x 为常数；利用导数求极值：求导数 f x ；求方程 f x 0 的根；列表得极值；利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（假如有）；得最
11、值；14（理科） 定积分名师归纳总结 定积分的定义：b afx dxlim ninbnafidx；b；第 4 页,共 19 页1定积分的性质：bkfxdxkbfxdx（ k 常数）；aabf1x f2x dxbf1 xdxbf2xaaabfxdxcfxdxbfxdx（其中acaac- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：bfxdxFxb | aFbFaa定积分的应用：求曲边梯形的面积：Sb|fxgx|dx；a求变速直线运动的路程：Sbvtdt；求变力做功：WbFx dx；aa第三部分三角函数、三角恒等变换与解
12、三角形1角度制与弧度制的互化：弧度180 ,1180弧度, 1弧度1805718弧长公式：lR；扇形面积公式：S1R21Rl；222三角函数定义：角中边上任意一点P 为x,y ,设|OP |r就：siny,cosx,tanyrrx3三角函数符号规律：一全正,二正弦,三两切,四余弦；4诱导公式记忆规律： “ 函数名不（改）变,符号看象限”；5yAsinx对称轴：xk2；对称中心：k0, kZ；yAcos x对称轴：xk；对称中心：k2,0 kZ；6同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x;1sinxtanx；cosx7两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sinsincoscossin;cosc
13、oscossinsin;tantantan；1tantan8二倍角公式：sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan212tan2；tan9正、余弦定理 正弦定理aAbBcC2R（2 R是ABC 外接圆直径）sinsinsin注：a:b:csinA:sinB:sinC；a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；aAbBcCsinAabBcsinC；sinsinsinsin第 5 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 余弦定理：a2b2c22 bccosA等三个；注：cosAb2c2a2等三个；2bc
14、10；几个公式 :三角形面积公式：S ABC 1ah 1ab sin C p p a p b p c , p 1 a b c ；2 2 2内切圆半径 r= 2 S ABC；外接圆直径 2R= a b c ;a b c sin A sin B sin C11已知 a , b , A 时三角形解的个数的判定：C 其中 h=bsinA, A 为锐角时： ah 时,无解；b a=h 时,一解（直角）；hab 时,A 一解（锐角） ；第四部分 立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 2 2 : 1；2表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积： S侧= 2 rh；体积
15、： V=S 底 h 锥体：表面积：S=S 侧+S 底；侧面积： S 侧= rl ；体积： V= 1S底h：3台体：表面积：S=S 侧+S 上底 S 下底；侧面积： S 侧= r r l；体积： V= 13（S+ SS S ）h；球体：表面积：S= 4 R ；体积： V= 2 4 R 3；33位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理 4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行 线面平行；平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同始终线的两平面平行；直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理；平面与平面垂直：定义-两平
16、面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理；注：理科仍可用向量法；4.求角：（步骤 - -；找或作角；求角）异面直线所成角的求法：平移法：平移直线,构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等,发觉两条异面直线间的关系；注：理科仍可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角；名师归纳总结 直线与平面所成的角：直接法 （利用线面角定义） ；先求斜线上的点到平面距离第 6 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - h,与斜线段长度作比,得sin；注：理科仍可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角；二面角的求法： 定义法： 在二面角的棱上取一
17、点（特殊点）,作出平面角, 再求解；三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解；射影法：利用面积射影公式：SScos,其中为平面角的大小；注：对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法；理科仍可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角；5.求距离：（步骤 - - ；找或作垂线段；求距离）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段,再进行运算；点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段,再求解；点到平面的距离：垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键） ,再求解；等体积法；理科仍可用向量法：d|AB|n|；|n
18、球面距离： （步骤）（）求线段AB 的长；（）求球心角AOB 的弧度数； 求劣弧 AB 的长；名师归纳总结 6结论： 从一点O 动身的三条射线OA 、OB 、OC,如 AOB= AOC ,就点 A 在第 7 页,共 19 页平面 BOC 上的射影在 BOC 的平分线上；立平斜公式最小角定理公式：coscos1cos2;正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为,就 S侧cos=S底；长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,就：2 cos+cos22 +cos=1；sin2+sin2+sin2=2 ；长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,就有2 cos2 +cos2
19、+cos2 =2；sin+sin2+sin2=1 ；正四周体的性质：设棱长为a ,就正四周体的：高：h6a；对棱间距离：2a；相邻两面所成角余弦值：1 ；内切球 332半径：6a；外接球半径：6a；124第五部分直线与圆1直线方程 点斜式：yykxx；斜截式：ykxb；截距式：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xy1；两点式：yy 1xx 1；一般式：AxByC0,（A,aby2y 1x2x1B 不全为 0）；（直线的方向向量： （B, A ,法向量（A, B2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件； （ 2）作可行域,写目标函数；3两条直线的位置
20、关系：（3）确定目标函数的最优解；直线方程b 1C 1200平行的充要条件垂直的充要条件0备注l 1:yk 1xk1k2,b 1b2k1k21l1,l2有斜率l2:yk2xb 2l1:A 1xB1yA 1B2A2B 1,且A 1A2B 1B2不行写成l2:A2xB2yCB 1C2B 2C 1（验证）分式4直线系直线方程ykxbmA2xAxByC00平行直线系ykxmAxBym垂直直线系1 kxyBxAym0x相交直线系A 1C 1B2yC20B 1y5几个公式名师归纳总结 设 A （x1,y1）、Bx 2,y2、C（x 3,y3）, ABC 的重心 G：（x 1x2x 3,y1r2y2y 3）
21、；第 8 页,共 19 页33点 P（x 0,y0）到直线 Ax+By+C=0的距离：dAx0A2By02C；BC2两条平行线Ax+By+C 1=0 与 Ax+By+C 2=0 的距离是dC1A2B2y26圆的方程： 标准方程：xa2yb2r2；x2一般方程：x2y2DxEyF0（D2E24F0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆A=C 0 且 B=0 且 D2+E24AF0 ；7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法；8圆系：x2y2D1xE1yF 1x2y2D2xE2yF20,1 注：当1时
22、表示两圆交线；x2y2DxEyFAxByC,01 ；9点、直线与圆的位置关系：（主要把握几何法）点与圆的位置关系： （ d 表示点到圆心的距离）dR点在圆上；dR点在圆内；dR点在圆外；直线与圆的位置关系： （ d 表示圆心到直线的距离）dR相切；dR相交；dR相离；圆与圆的位置关系： （ d 表示圆心距,R,r表示两圆半径,且Rr）dRr相离；dRr外切；RrdRr相交；dRr内切；0dRr内含；10与圆有关的结论：过圆 x 2+y 2=r 2 上的点 Mx 0,y0的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2；过圆 x - a 2+y -b 2=r 2 上的点 Mx 0,y0的切线方程为：x
23、0- ax- a+y0- by- b=r2；以 Ax 1,y2、Bx 2,y2为直径的圆的方程：xx 1x x2+y y 1y y2=0；名师归纳总结 第六部分圆锥曲线第 9 页,共 19 页1定义： 椭圆：|MF1|MF2|2a,2a|F 1F2|；双曲线：|MF1|MF2|2a,2 a|F 1F2|；抛物线：略2结论 焦半径： 椭圆：PF 1aex 0,PF 2aex 0（e 为离心率）； （左“ +”右“-” ）；抛物线：PFx0p2弦长公式：AB1k2x 2x 1 1k2x 1x 224x 1x 211y2y 1 11y1y 224y1y2；k2k2注：（）焦点弦长：椭圆：|AB|2a
24、e x1x2；抛物线：AB x 1+x 2+p=2 p；（）通径（最短弦） ：椭圆、双曲线：2 b2；抛物线： 2p；sin2a过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny21（m,n同时大于 0 时表示椭圆,mn0时表示双曲线） ；椭圆中的结论：内接矩形最大面积：2ab；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P,Q为椭圆上任意两点,且OP0Q,就|1|2|1|211；OPOQa2b2椭圆焦点三角形：SPF 1F2b2tan2,（aF 1PF2）；点 M是PF 1F2内心, PM 交F 1F 2于点 N ,就|PM|；|MN|c当点 P 与椭圆短轴顶点重
25、合时F 1PF2最大；双曲线中的结论：2 2 2 2 双曲线 x 2 y 2 1（a0,b0）的渐近线：x 2 y 2 0；a b a b共渐进线 y b x 的双曲线标准方程为 x 22 y 22 为参数, 0）；a a b2 双曲线焦点三角形：S PF 1 F 2 b 2 cot,（F 1PF 2）；P 是双曲线 x 2 2 a2y 2 =1a0,b0的左（右）支上一点,F 1、F2分别为左、右焦点,就PF 1F 2 的内切 b圆的圆心横坐标为 a , a ；双曲线为等轴双曲线 e 2 渐近线为 y x 渐近线相互垂直；（6）抛物线中的结论：名师归纳总结 抛物线 y2=2pxp0 的焦点弦
26、 AB 性质： x 1x 2=p2；y1y2= p 2；第 10 页,共 19 页4|1|1|2；以 AB 为直径的圆与准线相切；以 AF（或AFBFpBF）为直径的圆与y 轴相切； S AOB2p2；sin抛物线 y2=2pxp0 内结直角三角形OAB 的性质：x 1x24P2,y 1y24P2；lAB恒过定点 p0,；A,B中点轨迹方程：y2px2p；OMAB,就 M 轨迹方程为：xp2y2p2；S AOBmin4p2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线 y2=2pxp0 ,对称轴上肯定点A a0,就：a ；当ap时,抛当0ap时,顶点到点A
27、 距离最小,最小值为物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小,最小值为2app2；3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解；留意以下问题：联立的关于“x ” 仍是关于“y ” 的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：- 处理弦中点问题y1y2；解决问题；步骤如下： 设点 Ax 1,y1、Bx 2,y2；作差得k ABx1x 24求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（ 2）直接法（列等式） ；（ 3）代入法（相关点法或转移法） ；待定系数法； （5）参数法；（6）交轨法；第七部分平面对量
28、b （R x 1y 2x2y 1=0；设 a=x 1,y1,b=x 2,y2,就：a bb 0a= ab a、b 0ab=0x1x 2+y1y2=0 . a b=| a| b|cos=x2+y1y2； 注： | a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ab 的几何意义： ab 等于 | a| 与| b| 在 aa b方向上的投影 | b|cos的乘积； cos=；| a | b |三点共线的充要条件 P,A,B 三点共线 OP x OA y OB 且 x y 1 ；附：（理科） P,A, B,C四点共面 OP x OA y OB z OC 且
29、x y z 1 ；第八部分 数列1定义：名师归纳总结 等差数列anan1andd为常数）2anan1nan1n2,nN*第 11 页,共 19 页anknbs nAn2Bn；an-1an10 ,2,nN0 ；等比数列anann1qq0an2a0 的常数）Snkkqnqq,1kancqnc,q均为不为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2等差、等比数列性质通项公式等差数列dna1n n1d等比数列qna na1n1 ana1qn1前 n 项和S nn a 12an.1 q1 时,S nna 1;.2 q1 时,S na 1 121q性质 an=am+ nmd, a 1anq1qan=amq n-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaq S k,S 2kS k,S