《大一高数函数与极限18普通班.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一高数函数与极限18普通班.ppt（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第八节第八节 函数的连续性函数的连续性 与间断点与间断点函数的函数的连续连续函数的函数的间断点间断点1.函数的增量函数的增量自变量自变量称差称差为自变量在为自变量在的增量的增量;函数随着从函数随着从称差称差为函数的为函数的增量增量.如图如图:一、函数的连续性一、函数的连续性连续连续,2.连续的定义连续的定义定义定义1 1 设函数设函数 f(x)在在内有定义内有定义,若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处称称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点.定义定义2 2若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处连续连续.连续函数求极限只要带入就可以了连续函数求极限只要带入就可以了极限与连续之间的关系极
2、限与连续之间的关系:f(x)在在x0点连续点连续 f(x)在在x0点存在极限点存在极限连续性的三种定义形式不同连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有这三种定义中都含有但本质相同但本质相同.f(x)在在内有定义内有定义;(1)(2)(3)三个要素三个要素:定义定义3 3存在存在;则称函数则称函数f(x)在在x0处处连续连续.把极限定义严密化把极限定义严密化,便于分析论证便于分析论证.（或左右极限存在且相等）（或左右极限存在且相等）连绵而不断开的曲线连绵而不断开的曲线.连续函数的图形直观：连续函数的图形直观：例例证证内是连续的内是连续的.类似可证类似可证,连续连续.即即这表明，这表明，sin
3、x在任意一个点处均连续在任意一个点处均连续.例例证证定义定义2试证函数试证函数处连续处连续.3.左、右连续左、右连续左连续左连续右连续右连续左连续左连续右连续右连续定理定理1 此定理常用于此定理常用于判定分段函数在分段点判定分段函数在分段点处的连续性处的连续性.例例解解右不连续右不连续.所以所以左连续左连续,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,称该区间上的称该区间上的连续连续在开区间在开区间右连续右连续左端点左端点右端点右端点称该区间为其称该区间为其连续区间连续区间.左连续左连续函数函数,上
4、连续上连续称称f(x)在在a,b上连续上连续.例例 有理整函数有理整函数(多项式多项式)内是连续的内是连续的.因此因此有理分式函数在其定义域内的每一点均连续有理分式函数在其定义域内的每一点均连续.有理分式函数有理分式函数只要只要都有都有因此有理整函数因此有理整函数在在第五节中已证第五节中已证定义定义4 4出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类无定义无定义;不存在不存在;间断点间断点.三三个个要要素素f(x)在在内有定义内有定义;(1)(2)(3)存在存在;左右极限至少有一个不存左右极限至少有一个不存在，或者都存在但不相等在，或者都存在但不相等
5、.间断点分为两类间断点分为两类:第二类第二类间断点间断点:第一类第一类间断点间断点:及及均存在均存在,及及中至少一个不存在中至少一个不存在.若若称称 为为可去间断点可去间断点.若若称称 为为跳跃间断点跳跃间断点.若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,若其中有一个为若其中有一个为称称 为为无穷间断点无穷间断点.称称 为为振荡间断点振荡间断点.,)0(0+xf例例由于函数由于函数无定义无定义,故故为为f(x)的的 间断点间断点.且且皆不存在皆不存在.第二类第二类且是无穷型间断点且是无穷型间断点.注：注：判断间断点时，一般要指出第几类和哪种判断间断点时，一般要指出第几类和哪种类型的间断点类型的间断点
6、.解解函数无定义函数无定义,是函数的间断点是函数的间断点.由于由于所以所以是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型.例例没有定义没有定义,不存在不存在,故故为为f(x)的的 间断点间断点.第二类第二类且是无穷次振荡型间断点且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡,解：解：例例 讨论函数讨论函数解解为函数的为函数的 间断点间断点.第一类第一类 且是可去间断点且是可去间断点则函数成为连续函数则函数成为连续函数.如果补充或者重新定义函数在如果补充或者重新定义函数在x=1处的值处的值.令令f(x)=2，则可使则可使x0变为连续点变为连续点.注注注注对可去间断点
7、对可去间断点x0,如果如果于于A,(这就是为什么将这种间断点称为这就是为什么将这种间断点称为使之等使之等可去间断点的理由可去间断点的理由.)补充补充 x0的函数值的函数值,或或改变改变只有可去间断点才具有这个特征只有可去间断点才具有这个特征.例例有定义有定义,故故为为f(x)的的 间断点间断点.第一类第一类且是跳跃间断点且是跳跃间断点.可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型无穷型无穷型无穷次振荡型无穷次振荡型第第二二类类间间断断点点无穷型无穷型,无穷次振荡型无穷次振荡型间断点间断点第一类间断点第一类间断点:跳跃型跳跃型,可去型可去型第二类间断点第二类间断点:解解因为因为所以所以是函数
8、的间断点，是函数的间断点，由于由于x0时，函数的解析式为时，函数的解析式为x+1.它们均为连续函数，所以间断点只有它们均为连续函数，所以间断点只有x=0.解解函数无定义函数无定义,是函数的间断点是函数的间断点.由于由于所以所以是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型.并指出其类型并指出其类型.解解由于由于所以所以是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是跳跃型跳跃型.并指出其类型并指出其类型.-1x+1x设设解解 因为因为所以所以必需且只需必需且只需即即设设解解 因为因为所以所以必需且只需必需且只需即即作业作业作业册作业册 本节本节 全部全部课下练习课下练习教材教材 本节本节 1，2，3