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1、定义定义,0的某邻域内的某邻域内若在若在x),()(0 xfxf 或或的一个的一个为函数为函数则称则称)()(0 xfxf)()(0 xfxf 极大值极大值 (或极小值或极小值), 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点. .恒有恒有一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1 ,117(1)1,( 0非极值非极值极小值极小值0)1( f极小值极小值2 . 2)117( f极大值极大值 0 不存在不存在极大值极大值
2、驻点驻点:, 1 x导数不存在的点导数不存在的点:,117 x. 1 x.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1( xxx单调增加区间单调增加区间:)., 1 ,117, 1 ,1,( 单调减少区间单调减少区间:).1 ,117(定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证, 0)(0 xf如如果果极大值极大值 (极小值极小值).为为则则)(0 xf0)(0 xf),0( 极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件 )(0 xf, 0 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 因此因此,当当|0 x
3、x 充分小时充分小时,由极限的保号性由极限的保号性. 0)(0 xxxf可见可见,)(xf 与与0 xx 异号异号.,0 xx 当当; 0)( xf,0 xx 当当. 0)( xf所以所以,.)(0处取极大值处取极大值在点在点xxf第一充分条件第一充分条件 对于对于驻点驻点, ,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点. .注注,0)(0时时 xf(1)定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )不能应用不能应用. .事实上事实上, , 0)(0 xf当当,0)(0时时 xf可能有极大值可能有极大值, , 也可能有极小值
4、也可能有极小值, ,也可能没有极值也可能没有极值. .如如, ,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 处处在在0 x分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况. .(2) 已经知道已经知道驻点未必是极值点驻点未必是极值点，第二充分条件实际，第二充分条件实际上指出了，上指出了，二阶导不为零的驻点一定是极值点二阶导不为零的驻点一定是极值点. .例例解解.20243)(23的极值的极值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f18 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f18)2(f故故极极小小值值.48 .
5、2, 421 xx因为因为, 0 , 0 例例解解.)2(1)(32的的极极值值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2时时当当 x时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf1)2( f.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf.)(不存在不存在xf 32)2(1)( xxf所以所以,.)(的的极极大大值值为为xf第一充分条件第一充分条件xyO12极值判别法的两个充分条件极值判别法的两个充分条件第一充分条件第一充分条件对函数在点处是否可导没有要求，只要对函数在点处是否可导没有要求，只要求在点的邻域内可导求在点的邻域内可导. .第二充分条件第二充分条件则要求在
6、该点处二阶可导则要求在该点处二阶可导. .baabab二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法xyOxyOxyO已经知道，已经知道，a, b上的连续函数必定存在最值上的连续函数必定存在最值.最值可能在以下点处取到：最值可能在以下点处取到：驻点驻点端点端点不可导点不可导点(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:将闭区间将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f (x)点点(即为即为极值嫌疑点极值嫌疑点)处的函数值和处的函数
7、值和函数值函数值 f (a), f (b)比较比较,在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值值.上上的的在在求求函函数数4 , 3|23|)(2 xxxf解解 )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf,)4 , 3(内内在在 驻点驻点:,23 x最大值与最小值最大值与最小值. )2 , 1(32)4 , 2()1 , 3(32)(xxxxxf例例在分段点在分段点x=1，x=2是否可导？是否可导？ )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf在在x=1处处1)1()(lim1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 1)1()(li
8、m1 xfxfx10)23(lim21 xxxx1 所以所以x=1是不可导点是不可导点.x=2是否可导？是否可导？同理，同理，x=2也是不可导点也是不可导点,)4 , 3(内内在在 驻点驻点:,23 x2 , 1 x,20)3( f, 0)2( f, 0)1( f,41)23( f最大值最大值最小值最小值, 6)4( f不可导点：不可导点：(2) 对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间区间内部取得内部取得, 如果连续函数在区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点一个极值嫌疑点, 那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值
9、值.Ozyx例例解解hrV22 目标函数目标函数,222Rhr 由由得得,)(222hhRV Rh 0)3(222hRVh h2hrR2. 应用举例应用举例(1)(2) 求最大值点求最大值点半径为半径为R.求内接于球的圆柱体的最大体积求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设球的设圆柱体的高为设圆柱体的高为2h, 底半径为底半径为r, 体积为体积为V, 圆柱体的最大体积一定存在圆柱体的最大体积一定存在, 故故唯一驻点唯一驻点3Rh 就是最大值点就是最大值点, 最大体积为最大体积为3)3(222RRRV 3334R 令令, 0 hV得得3Rh (舍去负值舍去负值)唯一驻点唯一驻点)3(222hRVh
10、 (1) 从实际问题中抽象出数学模型，写从实际问题中抽象出数学模型，写出其目标函数，从而转化为数学问题出其目标函数，从而转化为数学问题.具有实际问题背景的最值问题一般思路：具有实际问题背景的最值问题一般思路：注注(2) 从数学的角度分析最值可能的点，从数学的角度分析最值可能的点，并结合实际背景，判断是否是最值点并结合实际背景，判断是否是最值点.例例 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当租金定为每月当租金定为每月720元时元时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当租金每月增加当租金每月增加40元时元时,就有就有一套公寓租不出去一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费而租
11、出去的房子每月需花费80元元的整修维护费的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入试问房租定为多少可获得最大收入?解解 设房租为每月设房租为每月x 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 每月总收入为每月总收入为)(xL)80( x 4072050 x720 x套套明显，明显，x应该大于应该大于720.40 50)(xL 2070 x 0)( xL1400 x（唯一驻点）（唯一驻点） 40140068)801400()(xL)(43560 元元 )(xL)80( x 4072050 x故每月每套租金为故每月每套租金为1400元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为课下阅读材料：教材例课下阅读材料：教材例4-例例7.是非题是非题极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？驻点是不是极值点？满足什么条件的驻点是极值点？驻点是不是极值点？满足什么条件的驻点是极值点？最值点是不是极值点？满足什么条件的最值点是极值点？最值点是不是极值点？满足什么条件的最值点是极值点？极值点是不是最值点？满足什么条件的极值点是最值点？极值点是不是最值点？满足什么条件的极值点是最值点？分清四类点：驻点分清四类点：驻点极值点极值点拐点拐点最值点最值点.作业作业作业册作业册 本节本节 全部全部课下练习课下练习教材教材 本节本节 1-9