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1、三维设计(2011新课标高考总复习)数学 第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线直直线线的的倾倾斜角与斜斜角与斜率率1.理解直理解直线线的的倾倾斜角和斜率斜角和斜率的概念，掌握的概念，掌握过过两点的直两点的直线线斜率的斜率的计计算公式算公式.2.能根据两条直能根据两条直线线的斜率的斜率判定判定这这两条直两条直线线平行或平行或垂直垂直.1.直直线线的斜率的斜率问题问题多多融合在直
2、融合在直线线与与圆锥圆锥曲曲线线的位置关系中的位置关系中考考查查，单单独命独命题题很少很少.2.注意注意倾倾斜角与其正斜角与其正切切值值的关系，求的关系，求倾倾斜角或斜率的范斜角或斜率的范围围是考是考试试的的热热点点.知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线直直线线的的方程方程1.掌握确定直掌握确定直线线位置的几位置的几何要素何要素.2.掌握直掌握直线线方程的几种方程的几种形式形式(点斜式、两点式点斜式、两点式及一般式及一般式)，了解斜截，了解斜截式与一次函数的关系式与一次函数的关系.1.在在选择选择填空中多考填空中多考查查平行、垂直的条件，平行、垂直的条件，常与充要条件的判断常与充要条件
3、的判断相相结结合合.2.直直线线方程的点斜式方程的点斜式应应用用较较多，尤其是在解多，尤其是在解答答题题中要注意分中要注意分类讨论类讨论.知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线直直线线的交的交点坐点坐标标与与距离公式距离公式1.能用解方程能用解方程组组的方法的方法求两条相交直求两条相交直线线的交的交点坐点坐标标.2.掌握两点掌握两点间间的距离公的距离公式、点到直式、点到直线线的距离的距离公式，会求两条平行公式，会求两条平行直直线间线间的距离的距离.1.点到直点到直线线距离公式的距离公式的考考查查多数和直多数和直线线与与圆圆的位置关系放在一起的位置关系放在一起考考查查，常以，常以选择题选择
4、题或或填空填空题题形式命形式命题题.2.注意两平行直注意两平行直线间线间的的距离公式适用的条件距离公式适用的条件.知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线圆圆的方程的方程掌握确定掌握确定圆圆的几何的几何要素，掌握要素，掌握圆圆的的标标准方程和一般方程准方程和一般方程.对圆对圆的方程的考的方程的考查查：(1)结结合直合直线线方程，用待定方程，用待定系数法求系数法求圆圆的方程多与的方程多与切切线线有关有关.(2)利用利用圆圆的的几何性几何性质质求求动动点的点的轨轨迹迹方程方程.知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线直直线线、圆圆的位的位置关系置关系1.能根据能根据给给定直定直线线、圆圆的
5、的方程，判断直方程，判断直线线与与圆圆的的位置关系；能根据位置关系；能根据给给定定两个两个圆圆的方程，判断两的方程，判断两圆圆的位置关系的位置关系.2.能用直能用直线线和和圆圆的方程解的方程解决一些决一些简单简单的的问题问题.3.初步了解用代数方法初步了解用代数方法处处理几何理几何问题问题的思想的思想.直直线线与与圆圆的位置关系一直的位置关系一直是命是命题题的的热热点，多在点，多在选择选择、填空填空题题中出中出现现，考，考查查方式方式有：有：(1)动动直直线线与与圆圆的位置的位置关系的判定；关系的判定；(2)利用相切利用相切或相交求或相交求值值或求参数范或求参数范围围；(3)弦弦长问题长问题多
6、用几何法，多用几何法，同同时时注意数形注意数形结结合思想的合思想的运用运用.知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线椭圆椭圆1.了解了解圆锥圆锥曲曲线线的的实实际际背景，感受背景，感受圆锥圆锥曲曲线线在刻画在刻画现实现实世世界和解决界和解决实际问题实际问题中的作用中的作用.2.掌握掌握椭圆椭圆的定的定义义、标标准方程及准方程及简单简单的的几何性几何性质质.1.椭圆椭圆的定的定义义几乎是每年高几乎是每年高考必考内容，要灵活运用考必考内容，要灵活运用.2.利用利用标标准方程研究几何性准方程研究几何性质质，尤其是离心率，尤其是离心率问题问题是是重点重点.3.直直线线与与椭圆椭圆的位置关系，的位置
7、关系，多在解答多在解答题题中考中考查查，涉及，涉及弦弦长长、范、范围围、最、最值值、定点、定点定定值问题值问题.2011年仍年仍为热为热点点.知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线双曲双曲线线了解双曲了解双曲线线的定的定义义、几何、几何图图形和形和标标准方程，知道它准方程，知道它的的简单简单几何性几何性质质.主要在主要在选择选择填空中考填空中考查查双曲双曲线线的定的定义义、离、离心率、心率、渐渐近近线线等等问题问题.注意数形注意数形结结合思想的合思想的运用运用.知知识识点点考纲下载考纲下载考情上线考情上线抛物抛物线线掌握抛物掌握抛物线线的定的定义义、几何、几何图图形和形和标标准方程，知道
8、它的准方程，知道它的简简单单几何性几何性质质.1.多考多考查查抛物抛物线线定定义义的的应应用，常在用，常在选择题选择题、填空填空题题中出中出现现.2.直直线线与抛物与抛物线线位置关位置关系系问题问题是命是命题题的的热热点点.曲曲线线与与方程方程理理掌握方程的曲掌握方程的曲线线与曲与曲线线的方的方程的程的对应对应关系关系.利用定利用定义义法、直接法、法、直接法、代入法求代入法求轨轨迹方程是考迹方程是考查查的的热热点点.第一节 直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角直线的倾斜角(1)定义：当直线定义：当直线l与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，
9、轴作为基准，x轴轴与直线与直线l 方向之间所成的角方向之间所成的角叫做直线叫做直线l的倾斜的倾斜角当直线角当直线l与与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.(2)倾斜角的范围为倾斜角的范围为正向正向向上向上0，)02直线的斜率直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角定义：一条直线的倾斜角的的叫做这条直线叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母的斜率，斜率常用小写字母k表示，即表示，即k，倾斜，倾斜角是角是90的直线斜率不存在的直线斜率不存在(2)过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式经过两点经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公的
10、直线的斜率公式为式为k.正切值正切值tan二、两条直线平行与垂直的判定二、两条直线平行与垂直的判定1两条直线平行两条直线平行对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为，其斜率分别为k1，k2，则，则有有l1 l2.特别地，当直线特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在的斜率都不存在时时l1与与l2的关系为的关系为2两条直线垂直两条直线垂直如果两条直线如果两条直线l1，l2斜率存在，设为斜率存在，设为k1，k2，则，则l1 l2.k1k2平行平行 k1k21两条直线两条直线l1，l2方程分别为方程分别为A1xB1yC10A2xB2yC20，则，则l1 l2的充要条件是什么？的
11、充要条件是什么？提示：提示：A1A2B1B20.1若直线若直线x2的倾斜角为的倾斜角为，则，则 ()A等于等于0B等于等于C等于等于D不存在不存在解析：解析：k不存在，不存在，.答案：答案：C2.过点过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于的直线的斜率等于1，则，则m的值的值为为()A1B4C1或或3D1或或4解析：解析：由由1，4mm2，m1.答案：答案：A3直线直线xay10,2xy30平行，则平行，则a为为()A-B.C2D2解析：解析：由由答案：答案：A4若直线若直线l经过点经过点(a2，1)和和(a2,1)，且与经过点，且与经过点(2,1)，斜率为，斜率为的直线垂直，则实数的直
12、线垂直，则实数a的值为的值为_解析：解析：由条件可知由条件可知即即3a2，a答案：答案：5已知已知l1的倾斜角为的倾斜角为45，l2经过点经过点P(2，1)，Q(3，m)，若若l1 l2，则实数，则实数m_.解析：解析：由已知得由已知得k21，1，m15，m6.答案：答案：61求倾斜角的取值范围的一般步骤：求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率求出斜率ktan的取值范围的取值范围(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角角的取值范围的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在求倾斜角时要注意斜率是否存在直线直线2xcosy30()的倾
13、斜角的变的倾斜角的变化范围是化范围是()先求斜率的范围，再求倾斜角的范围先求斜率的范围，再求倾斜角的范围.【解析解析】直线直线2xcosy30的斜率的斜率k2cos，由于，由于，所以，所以因此因此k2cos 1，设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为，则有，则有tan 1，由于，由于 0，)，所以所以，即倾斜角的变化范围是，即倾斜角的变化范围是【答案答案】B1直线直线2sinxy30()的倾斜角的变化范的倾斜角的变化范围是围是()解析：解析：k2sin，1k，即，即1tan，答案：答案：B1斜率公式：斜率公式：k(x1x2)与两点顺序无关，即两点与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同
14、的横纵坐标在公式中的前后次序相同2求斜率的一般方法：求斜率的一般方法：(1)已知直线上两点，根据斜率公式已知直线上两点，根据斜率公式k(x1x2)求求斜率斜率(2)已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角或或的某种三角函数根据的某种三角函数根据ktan来来求斜率求斜率3利用斜率证明三点共线的方法：利用斜率证明三点共线的方法：已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若，若x1x2x3或或kAB kAC，则有，则有A、B、C三点共线三点共线【注意注意】斜率变化分两段，斜率变化分两段，90是分界线，遇到斜率要谨是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论记，存在与否需讨论已知点已知点A(1
15、，5)，B(3，2)，直线，直线l的倾斜的倾斜角是直线角是直线AB的倾斜角的的倾斜角的2倍，求直线倍，求直线l的斜率的斜率由斜率的定义和斜率公式分别求直线由斜率的定义和斜率公式分别求直线l和和AB的斜率的斜率【解解】由于由于A(1，5)，B(3，2)，kAB设直线设直线AB的倾斜角的倾斜角，即即tan，直线直线l的倾斜角为的倾斜角为2，tan2即即l的斜率为的斜率为2已知点已知点A(2，3)，B(3，2)，直线，直线l过点过点P(1,1)且与线且与线段段AB有交点，设直线有交点，设直线l的斜率为的斜率为k，则，则k的取值范围是的取值范围是()Ak或或k4B4kCk或或kDk4解析：解析：如图所
16、示，过点如图所示，过点B(-3，-2)，P(1,1)的直线斜率为的直线斜率为过点过点A(2，-3)，P(1,1)的直线斜率为的直线斜率为从图中可以看出，过点从图中可以看出，过点P(1,1)的直的直线与线段线与线段AB有公共点可看做直线有公共点可看做直线绕点绕点P(1,1)从从PB旋转至旋转至PA的过程，的过程，k，+)(-，-4答案：答案：A斜截式斜截式一般式一般式方程方程yk1xb1yk2xb2A1xB1yC10A2xB2yC20相交相交k1k2A1B2A2B10垂直垂直k1k21A1A2B1B20平行平行k1k2且且b1b2重合重合k1k2且且b1b2已知两条直线已知两条直线l1：axby
17、40和和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的，求满足下列条件的a，b的值的值(1)l1 l2，且，且l1过点过点(3，1)；(2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，且坐标原点到这两条直线的距离相等由条件可知，直线由条件可知，直线l2的斜率为的斜率为1a，可通过，可通过对对1a的取值情况的讨论来解决该题的取值情况的讨论来解决该题.【解解】(1)由已知可得由已知可得l2的斜率必存在，的斜率必存在，k21a.若若k20，则，则1a0，a1.l1 l2，直线，直线l1的斜率的斜率k1必不存在，即必不存在，即b0.又又 l1过点过点(3，1)，3ab40，即，即b3a410(不合题意不合
18、题意)，此种情况不存在，即此种情况不存在，即k20.若若k20，即，即k1、k2都存在，都存在，k21a，k1，l1 l2，k1k21，即即(1a)1.又又 l2过点过点(3，1)，3ab40.由由联立，解得联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，的斜率存在，l1 l2，直线直线l1的斜率存在，的斜率存在，k1k2，即，即1a.又又 坐标原点到这两条直线的距离相等，且坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1 l2，l1、l2在在y轴上的截距互为相反数，即轴上的截距互为相反数，即b，则联立则联立解得或解得或3直线直线l1：axy3，l2：xbyc0，则，则ab1是是l1 l2的的()A充要条件
19、充要条件B充分不必要条件充分不必要条件C必要不充分条件必要不充分条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：当当ab1且且c3时，虽然满足时，虽然满足ab1，但，但l1与与l2不不平行，而是重合；若平行，而是重合；若l1 l2，则，则a，即，即ab1.答案：答案：C对直线的倾斜角和斜率及两直线位置关系的考查对直线的倾斜角和斜率及两直线位置关系的考查主要有：主要有：（1）求已知直线的倾斜角）求已知直线的倾斜角,特别要注意斜率特别要注意斜率k不存在不存在,即倾即倾斜角为斜角为90的情形的情形.（2）利用斜率知识解决三点共线问题）利用斜率知识解决三点共线问题.（3）将两直线平行或垂直的
20、条件与充要条件的判断相结）将两直线平行或垂直的条件与充要条件的判断相结合合,这是近几年高考的热点这是近几年高考的热点.解决时要注意平行或垂直满足解决时要注意平行或垂直满足的充要条件的充要条件.2009年上海卷考查了两直线平行的条件的应用年上海卷考查了两直线平行的条件的应用.(2009上海高考上海高考)已知直线已知直线l1：(k3)x(4k)y10与与l2：2(k3)x2y30平行，则平行，则k的值是的值是()A1或或3B1或或5C3或或5D1或或2解析解析法一：法一：k3时，时，l1：y10，l2：2y30显然平显然平行；行；k4时，时，l1：x10，l2：2x2y30，显然不平行；，显然不平行；k3，k4时，要使时，要使l1 l2，应有，应有综上所述综上所述k3或或5.法二：法二：由由(k3)(2)2(k3)(4k)0且且21(4k)30知知k3或或5.答案答案C本例主要考查了两直线平行的条件，方法一是利用斜率，本例主要考查了两直线平行的条件，方法一是利用斜率，方法二是利用了系数关系相比较而言，法二比法一少了方法二是利用了系数关系相比较而言，法二比法一少了分类讨论更加简捷，且不易出错分类讨论更加简捷，且不易出错