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1、第五章 向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向的量表示：或（几何表示）向量的大小称为向量的模，记作、|a|、1 方向余弦： r（x，y，z）,| r |=2 单位向量 模为1的向量。3 模4 向量加法（减法）5 ab| a | b |cosabab0（abba）6 叉积、外积|ab| =| a | b |sin= a/bab0.( ab= - ba) 7 数乘：例1 ，与夹角为，求。解 例2 设，求。解 根据向量的运算法则例3 设向量，为实数，试证：当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。解 由，得，于是由此可知，当时，模最小，因而故所以，当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。8 向量
2、的投影Prjb|b|为向量b在向量a上的投影。ab| a |Prjb5.2空间平面与直线5.2.1 空间平面点法式方程：与定点连线和非零向量n（a，b，c）垂直的点的集合。平面的一般方程：，n（A，B，C）截距式方程：三点式方程 例1 求过，点的平面方程解（1）点法式n。则平面方程为，即。解（2）设平面方程为，代入得。代入，得解之得代入方程消去A，得方程为例2 一平面通过点，它在正轴，正轴上的截距相等，问此平面在三坐标面上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。解 依题意设所求平面的截距式方程为，由于点在此平面上，故有，解之。四面体之体积，令得。例3 求过点，和
3、三点的平面方程。解 由三点式方程故所求方程为，即5.2.2 空间直线方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.若设已知向量为，则直线的对称式方程为一般式方程：参数式方程：例1 求过点点，且与直线平行的直线方程解 将直线写成，以为参数，则，故直线方程为例2 求过点且平行于平面，又与直线相交的直线方程。解 设Q为两直线的交点，则,即，（1）又Q在L上：（2）令（2）=t 解得x, y, z代入(1)解得，在反代入（2）得Q的坐标为，得直线为5.3点、平面、直线的位置关系1 点到平面的距离点到平面Ax+By+Cz+D=0得距离公式为：d =例
4、1 求平面和平面的交角平分面方程。平分面上的点到两面之间距离相等，故整理得：或例2 求平行于平面且与球面相切的平面方程。解 由于所求平面与平行，故可设其为。因为与球面相切，所以球心到的距离，解之，故所求平面方程为和2 点到直线的距离点到直线L的距离为 例3 求点到直线的距离。解 ，于是所求距离 3. 两平面之间的夹角平面和平面的夹角,cos、互相垂直相当于0；、互相平行或重合相当于.4两直线的夹角两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.直线和的夹角cos=(5)两直线、互相垂直相当于0；两直线、互相平行或重合相当于5. 直线与平面的夹角直线s=(m，n，p)，平面n（A，B，C）
5、夹角为sin直线垂直于平相当于；直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.6平面束过直线L的平面束方程为例1 求直线在平面上的投影直线的方程。解 直线的方程即为，故过的平面束方程为即因为此平面与平面垂直，故有解得，于是与垂直的平面方程为即，从而所求投影直线方程为5.4其它（旋转曲面方程）绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入故绕轴旋转，得为旋转曲面方程。例1 绕x轴转得，绕z轴转得。例2 曲线绕z轴旋转，求旋转曲面方程。解 绕z轴旋转时，代入上式得例3 求 绕z轴旋转所得旋转曲面方程。解 承上题：，令，则例4 求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周所成曲面的方程。解 将直线改写为，所以经过的平面方程可设为，即。由于它与平面垂直，故有，解得。于是经过且垂直于的平面方程为。从而的方程为化为参数方程为于是绕轴旋转一周生成的曲面方程为即。第 8 页