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1、第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数(在正整数范围内整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为a,b的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。1. 求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把一样的因数连乘起来。例如：，所以；短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：，所以；辗转相除法：每一次都用除数与余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个
2、数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600与1515的最大公约数：；所以1515与600的最大公约数是15。2. 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以。3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数
3、的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求。二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m，能被n整除n/m,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。1. 求最小公倍数的方法分解质因数法求最小公倍数例如：，所以；短除法求最小公倍数例如： ，所以；公式法：2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。两个数具有倍数关系，那么它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。3. 求一组分数的最小公倍数
4、方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求。例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些根本关系：，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是、及最小公倍数的约数。2. 两个数的最大公约与最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即。3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：奇偶奇，那么这
5、三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：，210就是567的最小公倍数。偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：，而6,7,8的最小公倍数为几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。【例题解析】【A组根底夯实】例1 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？解：由ab=a，ba，b可得：另一个数为，252428=36答：另一个数是36。例2 求437与323最大公约数是多少？解：运用辗转相除法：437323=1114；323114=295；11495=119,9519=5， 那么437,323=19答：437与323的最大公约数是19
6、。例3 两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？解：由题意可得：56020=28=128=47，显然4与7之间差最小，207=140,204=80答：符合条件的两个数中差最小的数是80与140。例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 解：最多可以分成份 每份中有苹果33642=8个 每份中有桔子25242=6个 每份中有梨21042=5个答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个。【B组能力提升】例1 两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数
7、之间差为142，求这两个自然数。解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2 1当两个数互质时，11+142=1143=1113； 2当两个自然数最大公约数为2时，2142+2=2144=1618， 所以这两个自然数是11与13或者16与18。答：略。例2 两个自然数的与是60，它们的最大公约数与最小公倍数之与是84，求这两个自然数。例3 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长
8、应该是长方形的长与宽的公约数。由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长与宽的最大公约数，1米3分米5厘米135厘米，1米5厘米105厘米，正方形的边长为，长方形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平方厘米)，共可裁成正方形纸块 块。答：正方形的边长是15厘米，一共可以裁成63块。例4 两个自然数的与是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差。解：设这两个自然数为：，其中与互质，那么有，所以a=9，b=1或a=7，b=3，所以这两个两个自然数为59=45，51=5或57=35，53=15。它们的差分别是：45540，351520答：所求这两个数的差是4
9、0或者20。例5 大雪后的一天，小明与爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点与步行方向完全一样，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长。 解：两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是一样的，是两人步长的最小公倍数，为厘米，在216厘米里，两人留下的脚印数分别是： (个)， (个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有 (个)脚印。，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为： (厘米)答：花圃周长是2160厘米。【习题精选】【A组根底夯实】1. 用短除法求120、48与56的最小公倍数； 用分解质因数法求35
10、、98、112的最大公约数与最小公倍数。2. a=44，b=12，c=82，求a，b，c与a，b，c。3. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是 。4. 8路车每隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过_分钟这两路车才又同时发车。5. 甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是_。6. 四个连续自然数的与等于54，那么这四个连续自然数的最小公倍数是 。7. 一个房间长450厘米，宽330厘米。现方案用方砖铺地，需要用边长最大为_厘米的方砖 块(整块)，才能正好把房间地面铺
11、满。8. 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成_份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)。在每份礼物中，苹果有_个，桔子有_个，鸭梨有_个。9. 三个质数的与是62，这三个质数的积是_。10. 一包糖，平均分给2人，3人，4人，或5人，正好都余一块，这包糖至少有_块。 【B组能力提升】1. 有三根绳子，第一根长12米，第二根长18米，第三根长24米，现在要把它们剪成同样长的小段，每段最长_米。2. 有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗在150200
12、之间。共有_棵树苗。3. 同学们训练播送操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且没有多余的学生，至少有_人参加了播送操训练。4. 两个自然数的积为240，最小公倍数为60，这两个数为_。5. 两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，这两个数的与是_。 6. 一个长方形的周长是40厘米，它的长与宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成，它的面积最大是_，最小是_。 7. 幼儿园一个班节约图书，如借35本，平均发给每个小朋友后还差1本；如借56本，平均分发给每个小朋友；如借69本，平均分发给每个小朋友后那么差3本，问这个班的小朋友最多有_人。 8. 一个数分别被2、4、5除都余1，这个数在100-130之间，这个数是_。第 9 页