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1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题,可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题,从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是:(1)直线的斜率不存在,直线的斜率存,(2)联立直线和曲线的方程组;(3)讨论类一元二次方程(4)一元二次方程的
2、判别式(5)韦达定理,同类坐标变换(6)同点纵横坐标变换(7)x,y,k(斜率)的取值范围(8)目标:弦长,中点,垂直,角度,向量,面积,范围等等1:已知椭圆过点,且离心率。 ()求椭圆方程; ()若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围。解:()离心率,即(1);又椭圆过点,则,(1)式代入上式,解得,椭圆方程为。()设,弦MN的中点A由得:,直线与椭圆交于不同的两点,即(1)由韦达定理得:,则,直线AG的斜率为:,由直线AG和直线MN垂直可得:,即,代入(1)式,可得,即,则。题型:动弦过定点的问题例题5、(07山东理)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,
3、椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1;()求椭圆C的标准方程;()若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。分析:第一问,是待定系数法求椭圆的标准方程;第二问,直线与椭圆C相交于A,B两点,并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直,证明直线过定点,就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。解(I)由题意设椭圆的标准方程为(II)设,由得(注意:这一步是同类坐标变换)(注意:这一步叫同点纵、横坐标间的变换)以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且,解得,且满足当时,直线过定点与已知矛盾;当时,直线过定点综上可知,直
4、线过定点,定点坐标为练习2(2009辽宁卷文)已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(1,0)(1,0)。(1) 求椭圆C的方程;(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。解:()由题意,c=1,可设椭圆方程为 ,将点A的坐标代入方程: ,解得 , (舍去)所以椭圆方程为 。 ()设直线AE方程为:,代入得 设,因为点在椭圆上,所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以K代K,可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值,其值为。 12分题型:共线向量问题解析几何中的向量共线,就是将向量问题转化为
5、同类坐标的比例问题,再通过未达定理-同类坐标变换,将问题解决。此类问题不难解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M:于P、Q两点,且,求实数的取值范围。解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即 方法一:方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点消去x2,可得即y2=又2y22,22解之得:则实数的取值范围是。方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为:,由消y整理后,得P、Q是曲线M上的两点,即 由韦达定理得:即 由得,代入,整理得,解之得当直线PQ的斜率不存在,即时,易知或。 总之实数的取值范围是。方法总结:通过比较本题的第二步的两种解
6、法,可知第一种解法,比较简单,第二种方法是通性通法,但计算量较大,纵观高考中的解析几何题,若放在后两题,很多情况下能用通性通法解,但计算量较大,计算繁琐,考生必须有较强的意志力和极强的计算能力;不用通性通法,要求考生必须深入思考,有较强的思维能力,在命题人设计的框架中,找出破解的蛛丝马迹,通过自己的思维将问题解决。(07福建理科)如图,已知点(1,0),直线l:x1,P为平面上的动点,过作直线l的垂线,垂足为点,且()求动点的轨迹C的方程;()过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知,求的值。小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方
7、法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一:()设点,则,由得:,化简得.()设直线的方程为: . 设,又,联立方程组,消去得:,故 由,得:,整理得:,解法二:()由得:,所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.()由已知,得.则:. 过点分别作准线的垂线,垂足分别为,则有:.由得:,即.题型:面积问题练习2、(山东06文)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4。()求椭圆的方程;()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当AOB面积取得最大值时,求直线l的方程。解:设椭圆方程为(I)由已知得 所求椭圆方
8、程为(II)解法一:由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,由 消去y得关于x的方程:由直线l与椭圆相交A、B两点,解得,又由韦达定理得 原点O到直线l的距离 解法1:对两边平方整理得: 整理得:又,.从而的最大值为,此时代入方程(*)得 所以,所求直线方程为: .解法2:令,则, .当且仅当即时,此时.所以,所求直线方程为 .8.4 直线与圆锥曲线的综合应用一、选择题(每小题7分,共35分)1AB为过椭圆1中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则FAB的最大面积为()Ab2 Bab Cac Dbc2过点(0,1)作直线,使它与抛物线y24x仅有一个公共点,这样的直线有()A1条 B2条 C3
9、条 D4条3过抛物线y22px (p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于()A5 B4 C3 D24已知椭圆C的方程为1 (m0),如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为()A2 B2 C8 D25已知双曲线1(a0,b0)的左焦点为F1,左、右顶点为A1、A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交 B相切C相离 D以上情况都有可能二、填空题(每小题6分,共24分)6直线ykx1与椭圆1恒有公共点,则m的取值范围是_7设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0
10、)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为_8如图所示,过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于A,B,C三点,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程是_9如图,在平面直角坐标系xOy中,A1、A2、B1、B2为椭圆1(ab0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为_三、解答题(共41分)10(13分)设AB是过椭圆1的一个焦点的弦,若AB的倾斜角为60,求弦AB的长11(14分)已知直线ykx1与双曲线x2y21的左支交于A、B两点,
11、若另有一条直线l经过P(2,0)及线段AB的中点Q.(1)求k的取值范围;(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围12(14分)已知椭圆P的中心O在坐标原点,焦点在x轴上,且经过点A(0,2),离心率为.(1)求椭圆P的方程;(2)是否存在过点E(0,-4)的直线l交椭圆P于点R,T,且满足.若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由答案1. D 2. C 3. C4. B 5. B 6. m1且m5 7. y28x 8. y23x 9.25 10解依题意,椭圆的一个焦点F为(1,0),则直线AB的方程为y(x1),代入4x25y220,得19x230x50.设A(x1,y1),B(x2,y
12、2),则x1x2,x1x2.|AB|.弦AB的长为.11. 解(1)将ykx1代入双曲线方程x2y21,化简,整理,得(1k2)x22kx20.由题设条件k1.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y),则x,y,直线l的方程为y(x2)令x0,得b.k1,u2k2k2在(,1)上为减函数,1u2.又u0,b2.12. 解(1)设椭圆P的方程为1 (ab0),由题意得b2,e,a2c,b2a2c23c2,c24,c2,a4,椭圆P的方程为1.(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线l的斜率不存在时,0得,(32k)24(34k2)160,解得k2.x1x2,x1x2,y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16,故x1x2y1y216,解得k21,由解得k1,直线l的方程为yx4.故存在直线l:x+y+4=0或x-y-4=0满足题意.第 11 页