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1、第1讲 向量的概念及线性运算【知识梳理】一、向量的概念(1) 定义:既有 又有 的量叫向量注意向量与数量的区别 (2)向量的表示：几何表示:向量常用 来表示 ；字母表示:或注意: 不能说向量就是有向线段; 向量不能比拟大小. (3)向量的模(长度)：即向量的大小，记作或 (4)零向量： 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的.(5)单位向量： 的向量叫做单位向量.(6)相等向量： 的两个向量叫相等向量. 注意: 相等向量有传递性；任意两个相等的非零向量都可用同一有向线段表示，与起 点无关. (自由向量)(7)相反向量： 的两个向量叫做相反向量.的相反向量是.的相 反向量是.2.平行
2、向量(共线向量)(1) 定义:方向 的非零向量叫做平行(共线)向量, 记作：. 规定 与任何向量平行.(2) 注意:相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！因为有)；三点共线共线；二、向量的线性运算1. 向量的加法：平行四边形法那么；三角形法那么(首尾连，指终点) .性质：；2. 向量的减法：三角形法那么(共起点，指被减)。性质：；。3. 实数与向量的积：是一个向量,满足: 大小：，方向：时,与同向; 时, 与 反向; 时, =。性质：；4重要结论：(1)假设，
3、那么 .(2) 任意向量：；.(3)；.(4)与共线的单位向量是.(5) ，.(6) 四边形为平行四边形.【典例精析】例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)图中与向量相等的向量是 .(2)与向量长度相等的向量有 个.(3)与向量共线的向量有 例2.如图，平行四边形ABCD，例3.计算：例4.梯形ABCD中，,|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点. 用表示.例5.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点， 求证:M、N、C三点共线.例6.用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【过关精练】1正方形ABCD的边长为1，那么( )A1
4、 B. C3 D22ABC与点满足.假设存在实数使得成立，那么等于( )A5 B4 C3 D23向量，且，那么一定共线的三点是() A B C D4如图，在正六边形ABCDEF中， ()A B. C. D.5.如图，向量的终点A，B，C在一条直线上，且.设，那么以下等式中成立的是( )A B C D6在中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.假设，那么 (B)A. B. C. D.7把同一平面内所有模不小于2，不大于4的向量的起点移到同一点O，那么这些向量的终点构成的图形的面积是_8当非零向量满足_时，平分间的夹角9假设向量满足，那么的最小值是_10假设P为ABC的外心，且，那么ACB_120.11如图：三点的坐标依次是当满足什么条件时？12如下列图，.(1)如图，假设C，D是AB的三等分点，求；(2)如图，假设C，D，E是AB的四等分点，求.第 4 页