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1、用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形。 图1中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形。 图2中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图31与32所示的两个形状一样的正方形。 在31中，甲的面积=大正方形面积4个直角三角形面积, 在32中，乙与丙的面积与=大正方形面积4个直角三角形面积, 所以，甲的面积=乙与丙的面积与，即：.方法四：如图4所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。1 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上及A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少2
2、如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米 答案AB=53、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是_。BCBACD4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进展折纸，该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处折痕为AE想一想，此时EC有多长？5如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点及A点重合，那么EB的长是 A3B4 C D5 6：如图，在ABC中，C=90，B=30，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，B
3、D=4cm求AC的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且及AE重合，那么CD的长为 8、如图，在矩形中，将矩形折叠，使点B及点D重合，落在处，假设，那么折痕的长为 。9、如图，：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，那么EBCE_10、如图，AD是ABC的中线，ADC45o，把ADC沿AD对折，点C落在C的位置，假设BC2，那么BC_CBAAFEDCBDC题5图11如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边
4、AB上，且及AE重合，那么CD等于 A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm图1D12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且及AE重合，你能求出CD的长吗？ ADBCEF13、如图，在ABC中，B=，AB=BC=6，把ABC进展折叠，使点A及点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。14，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B及点D重合，折痕为EF，那么ABE的面积为 A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2AB
5、EFDC第11题图15如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D及点B重合，AB3，AD9，求BE的长16、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD的面积。17、如图，：在中，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影局部的面积及直角三角形的面积相等图818如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不及A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B及点C？假设能，请你求出这时 AP 的长；假设不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边
6、PH 始终通过点B，另一直角边PF及DC的延长线交于点Q，及BC交于点E，能否使CE2cm？假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请你说明理由21能.设APx米，由于BP216+x2，CP216+(10x)2，而在RtPBC中，有BP2+ CP2BC2，即16+x2+16+(10x)2100，所以x210x+160，即(x5)29，所以x53，所以x8，x2，即AP8或2，可求得AP4.19.如图ABC中，那么MN= 4 20、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，那么这个三角形周长为 A B C D解:设两直角边分别为,斜边为,那么,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.应选C21在中
7、,边上有2006个不同的点,记,那么=_.解:如图,作于,因为,那么.由勾股定理,得.所以所以.因此.22如下图，在中,且,求的长.解:如右图：因为为等腰直角三角形,所以. 所以把绕点旋转到,那么. 所以.连结. 所以为直角三角形. 由勾股定理,得.所以. 因为所以. 所以. 所以.23、如图，在ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PCPB+PA2的值。ABPC24、如图在RtABC中,，在RtABC的外部拼接一个适宜的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如下图：要求：在两个备用图中分别画出两种及例如图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长请同学
8、们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形解：要在RtABC 的外部接一个适宜的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰及底边确实定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下列图中的四种拼接方法供参考。25如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。26：如图，ABC中，C = 90，点O为ABC的三条角平分线的交点，O
9、DBC，OEAC，OFAB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，那么点O到三边AB，AC与BC的距离分别等于 cmCOABDEF第26题图ABPC第28题图278分如图，在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2AP2=PBPC。28、如图，：，于P求证： AB小河东北牧童小屋29此题总分值6分如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？30. 此题总分值6分如下图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道
10、，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树高多少米32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米33长为4 m的梯子搭在墙上及地面成45角，作业时调整为60角(如下图)，那么梯子的顶端沿墙面升高了_m34：如图，ABC中，C90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DEDF求证：AE2BF2EF235
11、：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE，求证：AFFE36ABC中，a2b2c210a24b26c338，试判定ABC的形状，并说明你的理由37a、b、c是ABC的三边，且a2c2b2c2a4b4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为1cm与3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开场经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长如果从点A开场经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长39、a、b为任意正数，且ab，求证：边长为2ab、 a2b2、a2+b2的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为,那么这个三角形是( )A 等边
12、三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形.41.12分如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ABCD第24题图42.14分ABC中，BC，AC，AB，假设C=90，如图1，根据勾股定理，那么，假设ABC不是直角三角形，如图2与图3，请你类比勾股定理，试猜测及的关系，并证明你的结论. 解：假设ABC是锐角
13、三角形，那么有a2+b2c2 假设ABC是钝角三角形，C为钝角，那么有a2+b20，x02ax0a2+b2c2 当ABC是钝角三角形时，4310分如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域 1A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； 2如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如下图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，那么h的取值范围是Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cm
14、h16cm45如图，：，于P. 求证：. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，那么根据勾股定理有. 又 ，. 在中，根据勾股定理有，. 46【变式2】：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，
15、进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高，宽，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如下图，点D在离厂门中线处，且CD， 及地面交于H解：OC1米(大门宽度一半)，OD卡车宽度一半在RtOCD中，由勾
16、股定理得：CD，C.米.米因此高度上有的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m那么受影响，大于100m那么不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。2要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须
17、找到拖拉机行至哪一点开场影响学校，行至哪一点后完毕影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半 点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开场受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开场脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24
18、s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 一转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进展推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如下图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，假设BE=12，CF=5求线段EF的长。 思路点拨：现BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD解：连接AD因为BAC=90，AB=AC又因为AD为ABC的中线，所以AD=DC=
19、DBADBC且BAD=C=45因为EDA+ADF=90又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF所以AEDCFDASA所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根据勾股定理得：，所以EF=13。总结升华：此题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当的线段与所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50 如图，在等腰ABC中，ACB=90，D、E为斜边AB上的点，且DCE=45。求证：DE2=AD2+BE2。分析：利用全等三角形的旋转变换，进展边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。51 如图，在
20、A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，那么BC边上的高A D= 。答案12。52 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，那么重叠局部AFC的面积是 。设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：1053 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长.答案25或7 54 在A BC中，D是BC所在直线上一点，假设AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面积。答案84或3655. 假设ABC三边a、b、
21、c 满足 a2b2c2338=10a+24b+26c，ABC是直角三角形吗？为什么？56. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，那么ABC是否为直角三角形？为什么？注意BC、AC、AB的大小关系。ABBCAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=19971+1997+1998=19971998+1998=19982= AC2。57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上与蜘蛛相对的顶点C1处，如图，长方形长6cm，宽5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的外表向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有
22、短，蜘蛛终究应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm与50dm，有一70dm的木棒，能放进去吗？请说明理由。59. ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？答案： 是直角三角形。平方差公式的灵活运用60. 如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F，使BF=AB，那么FE及FA 相等吗？为什么？61. 如图，A=60, B=D=90。假设BC=4，CD=6，求AB的长。62如图，xoy=60，M是xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。 .过点作，交的延长线于点，交的平行线于点。，在直角三角形中，角所对的边斜边的一半，。在t中，B=DE+FD=答案.延长交oy于，在t中，第 16 页