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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（共 4 页）概率统计 公式、符号汇总表及各章要点及复习策略第一章1PABPABPBA与B独立PABPA PB;此时A与B,A 与B,A 与B 均独立； 2 PAB P A PB PAB P ABPAB P B P BA PA P ABP A PAB BAP A PB P A 1P A 3 P A P AB 1P B 1P AB nP BnP B iA PAB iPB iPA 其次、三章一维随机变量及分布：X,iP,f Xx,F Xx二维随机变量及分布：X,Y,P ij,fx,y ,Fx ,y
2、*留意分布的非负性、规范性（1）边缘分布：如：Ppij,f Xx fx,ydyj（2）独立关系：X与Y 独立Y n2P IJP IP J或fx,y与fXx fYy独立X1,Xn 1X1,与 Y 1,独立f,Xn 1gY 1,Y n 2（3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法）一维问题：已知X 的分布以及YgX,求 Y 的分布X,Y、NminX,Y的分布 - 二维问题：已知X,Y的分布,求ZXY、Mmax*f Zz fx,zxdxfzy ,ydyM 、 N 的分布 - 离散型用点点对应法、连续型用分布函数法第四章（1）期望定义：离散：EEXixipixfx ,ydxdy连
3、续：EXxfxdx方差定义：DXEXX2EX2E2X离散：DXxiEX2pii细心整理归纳 精选学习资料 协方差定义：连续：DXExEX2fXxdxEXYEXE Y 第 1 页,共 6 页 COVX,VXEXYEY - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载EXKY；相关系数定义：XYCOVX, YDXD YK 阶原点矩定义：kEXKK 阶中心矩定义：kE X（2）性质：ECC；ECXCEX；EXYEXE2E XYX 与Y 独立EXE YD
4、C0；DCXC2DX；DXYD（X）D（Y）2 COV（X,Y）X 与Y 独立DXD YCOV（aXbY,cXdY）acDXadbc COVX,YbdDYXY1；XY1pYaXb1fx,ydxdyX 与 Y 独立XY0即 X 与 Y 线性无关,但反之不然；EgXg x ip i;EgXgx fx dxiEgX,Ygx i,yjpij;EgX,Ygx,yji* 第五章（ 1）设E X,D X2,就：pX12,亦即：2pX2（2）设X1,Xn独立同分布就XnPEXnEXi；nAPp A n（3）如 X Bn,p就：当 n 足够大时Xnp近似听从N1,0 ；npq（4） 设X1,Xn独立同分布,并设
5、EXi,DXi2就：当 n 足够大时X n近似听从N0 1, n第六章（1）设X1,Xn是来自总体 X 的样本,EXn,DXE22 2 第 2 页,共 6 页 1n2样本均值：XnXi,EX n,DXnni1样本方差：S2n1in1XiXn2n11inX2kS1nX2,1in,X nP2BP2,S2P2EXk1nXkP总体 K 阶原点矩样本 K 阶原点矩Akin细心整理归纳 精选学习资料 i1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载22
6、 n1 ,Xn与2 S 独立（ 2）2X2X2（X 是来自N01, 的简洁样本）1ntXn（ X N0 1, Y 2 n , X 与 Y 独立）YFX/n1（ X 2 n1, Y 2 n2, X 与 Y 独立）Y/n2（ 3）设X1,Xn是来自N,2的简洁样本就 ：X nn N0 1, ,X nn tn1 ,n1 SS2第七章参数估量的问题：F Xx ,的形式为已知,未知待估参数的置信度为1的置信区间概念参数估量方法： （1）矩估量（ 2）最大似然估量似然函数：离散：LPXx1PXxn）连续：LfXx 1fXxn（3）单正态总体、2 的区间估量（见课本P 137 页表 71）点估量评比标准：无
7、偏性, 有效性, 相合性； （Xn、2 S 分别是、2 的无偏、 相合估量量第八章参数假设检验的问题：F Xx,的形式为已知,未知待检假设检验的类（弃真）错误、类（取伪）错误的概念显著性水平为的显著性检验概念单正态总体、2 显著性检验方法： （见课本 P 151 页表 82,P 154 页表 83）* 七个常用分布 （见课本 P 82 页表 41 补充超几何分布）正态分布N,2的性质：（1）X N1,0,aXbNab,a22,3原就（2）X Ni,i2,X 之间相互独立,就：nciXi Nncii,nc2i2ii1i1i1期末复习、练习资料练习册中的综合练习（一、二、三）练习册中的每章小节练习
8、及作业中的错题期中练习看课本例题认真复习上述公式、要点第一章 第八章题型总结一运算或应用题1.概率运算题 如：练习册 P3 二2,期中练习一 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载概率应用题 如：练习册 P8 三1、2、3,期中练习二、三 2. 一、二维联合、边缘分布,独立性求一维分布 如：练习册 P18 三2、3、4 已知联合求边缘如：练习册 P26 二2、3, 期中练习四 ,六,
9、十 已知边缘求联合如：练习册 P25 二1, P61- 四,期中练习九3. 期望、方差、协方差、相关系数如：练习册 P31 二 1,练习册 P34 三2、3, 期中练习五 4.中心极限定理 如：练习册 P38 二1、2, 期中练习八 5.统计学三大分布 如：练习册 P40 1,练习册 P44 3 6.矩估量、似然估量、区间估量如：练习册 P51 二2、3, P45 二1、3、4, 7.点估量评比标准 如：练习册 P47 二1、2,P52 4 8.参数假设检验 如：练习册 P54 二2、3,P55 二1、2、3 二证明题 如：练习册 P10 五、 3,P35 四, P40 三, P44 二3 ,
10、 P47 二1期中练习十一,综合练习中的证明题 三概念题 认真复习概率统计公式、符号汇总表 多做练习册的挑选题、填空题概率统计期中练习（共 5 页）一；设 p A 0 2.,p B 0 . ,3 大事 A、B 相互独立；试求 : p A B , p A B , p A / A B 二；某产品生产要经过 三道工序,它们的工作 情形相互独立,而且三 道工序都合格的产品才是合格品,假如第一 道工序的不合格率为 0 . 5 %,其次道工序的不合格 率为 1 %,第三道工序的不合格率为 2 %；求该产品的不合格率；三；一个盒子装有 6 个乒乓球,其中有 4 个新球；第一次竞赛时 随机取出 2 只球,用后
11、放回原处；其次次竞赛时再随 机取出 2 只球；试求：（1）其次次取出的全是新 球的概率；（2）已知其次次取出的全 是新球,第一次取出的 恰有一只新球的概率；四；设随机变量（X,Y）的分布律如下：Y 0 1 X 细心整理归纳 精选学习资料 0 01 a 第 4 页,共 6 页 1 b 04 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载已知：p X 1 / Y 1 23试求：（1）a , b 的值；（2）判定 X、Y 的独立性；（3）Z min
12、 X , Y 的分布2 e x 2 y x 0 , y 0五；设（X,Y）的概率密度为：f x , y 0 其余求：XY , X , X Y 2 2六；设 X N 1 2, , Y N ,1 3 , X 与 Y 独立；求：p 2 X 3 Y七；设 X,Y 相互独立,X e（）,Y U（0,a ,求 Z X Y 的密度函数八；某城市有 300 万人,每人在单位时间 内使用电话的概率为 0 . 12；问：（1）在单位时间内,同时 使用的最大可能的电话 台数是多少？（2）在单位时间内,同时 使用的电话台数不超过 36 . 18 万台的概率是多少？九；设钻头的寿命 X（钻头直到磨损报废为 止所钻透的地
13、层厚度,以米为单位）听从 e 1000 现要打一口深度为 2000 米的井；求：1 只需一根钻头的概率； 2 需用两根钻头的概率；* 摸索：为保证工程顺当 进行,要求有 99 % 的把握使钻头够用,问 至少应预备多少根钻头？1 y x , 0 x 1十；设（X,Y）的密度为：f x , y 0 其它试验证：X 与 Y 不相关却不独立,2十一；设 X 是随机变量,c 是常数,E X ,E X 均存在；证明：D X E X c 2, 等号当且仅当 c E X 时成立；十二；第 23 页第 21 题十三；第 90 页第 4 题 , 问题改为：求进货量m,使平均利润 E（Q）最大；* 十四； 第 10
14、2 页第 6 题选题说明：挑选所在专业为背景的问题作为讨论对象,讨论问题的侧重点可以是：1.常见分布函数在生产,生活实际中应用举例2.分布函数的估量,如分布函数的表达式的估量3.用方差分析或回来分析法对试验数据进行分析4. 试验目的,方法设计的讨论报告5.相关的自己感爱好的问题数学在人类文明的进展中起着特别重要的作用,数学推动了重大科学技术的进步,在早期社会进展的历史上,限于技术条件,依据数学推理和推算所作的预见,往往要多年之后才能实现,数学为人类生产和生活带来的效益简洁被忽视；进入二十世纪,特殊式到了二十世纪中叶以后,科学技术进展到现在的程度,数学理论讨论与实际应用之间的时间已大大缩短,特殊
15、是当前, 随着电脑应用的普及,信息的数字化和信息通道的大规模联网,依据数学所作的制造设想已达到即时试、即时实施的地步,数学技术将是一种应用最广泛、最直接、最准时、最富制造力和重要的技术,故而当今和将来的进展将更倚重数学的进展；概率论与数理统计”是理工科高校生的一门必修课程,由于该学科与生活实践和科学试验有着紧密的联系,是很多新进展的前沿学科 如掌握论、信息论、牢靠性理论、人工智能等 的基础,因此学好这一学科是特别重要的；“概率论与数理统计”的学习应留意的是概念的懂得,而这正是广高校生所疏忽的,在复习时几乎有近一半以上同学对“什么是随机变量 ”、“为什么要引进随机变量”仍说不清晰；对于涉及随机变
16、量的独立,不相关等概念更是无从着手,这一方面细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载是由于高等数学处理的是“确定 ”的大事；如函数 y=fx ,当 x 确定后 y 有确定的值与之对应；而概率论中随机变量 X 在抽样前是不确定的,我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概率,要建立用“不确定性 ”的思维方法往往比较困难,如果套用确定性的思维方法就会出错；由于基本概念没有搞懂,即使是特别简
17、洁的题目也难以得分；从而造成低分多的现象；另一方面由于概率论中涉及的运算技巧不多,除了古典概型, 几何概型和运算二维随机变量的函数分布时如何确定积分上、下限有一些运算的难点,其他的只是数值或者积分、导数的运算；因而假如概念清晰,那么解题往往很顺当且易得到正确答案,这正是高分较多的缘由；依据上面分析,启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计 ”的学习上来,而应依据概率统计自身的特点提出学习方法,才能取得“事半功倍 ”的成效；下面我们分别对“概率论 ”和“数理统计 ”的学习方法提出一些建议；一、学习 “概率论 ”要留意以下几个要点1. 在学习 “概率论 ”的过程中要抓住对概念的引入和背景的
18、懂得,例如为什么要引进“随机变量 ”这一概念；这实际上是一个抽象过程； 正如学校生最初学数学时总是一个苹果加 2 个苹果等于 3 个苹果, 然后抽象为 1+2=3. 对于详细的随机试验中的详细随机大事,可以运算其概率,但这究竟是局部的,孤立的,能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一,并对整个随机试验进行刻画？随机变量 X 即从样本空间到实轴的单值实函数 的引进使原先不同随机试验的随机大事的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合 B 的概率,不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画；此外如对一切实数集合 B,知道 PX B ； 那么随机试验的任一随机大事的概率也就完全确定了；所以我们只须求出随机
19、变量 X 的分布 PX B； 就对随机试验进行了全面的刻画；它的讨论成了概率论的讨论中心课题；故而随机变量的引入是概率论进展历史中的一个重要里程碑；类似地,概率公理化定义的引进,分布函数、离散型和连续型随机变量的分类,随机变量的数学特点等概念的引进都有明确的背景,在学习中要深化懂得体会；2. 在学习 “概率论 ”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要认真推敲,例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数 有不同的样本空间；而它的取值是不确定的,Xw ,但它不同于一般的函数,第一它的定义域是样本空间,不同随机试验随着试验结果的不同可取不同值,但是它取某一区间的概
20、率又能依据随机试验予以确定,而我们关怀的通常只是它的取值范畴,即对于实轴上任一B,运算概率PX B ,即随机变量X 的分布；只有懂得了随机变量的内涵,下面的概念如分布函数等等才能真正懂得；又如随机大事的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆,前者是大事的运算性质,后者是事件的概率性质,但它们又有肯定联系,假如 相关等概念的联系与差异肯定要真正搞懂；PA ；PB 0,就 A, B 独立就肯定相容；类似地,如随机变量的独立和不 3. 搞懂了概率论中的各个概念,一般详细的运算都是不难的,如Fx=PX x,EX, DX 等按定义都易求得；运算中的难点有古典概型和几何概型的概率运算,二维随机变量的边缘分布
21、fxx=- fx,ydy ,大事 B 的概率 PX ,Y B= Bfx,ydxdy ,卷积公式等的运算,它们形式上很简洁,但是由于 fx,y通常是分段函数,真正的积分限并不再是 实把握；-,或 B,这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键,要切4. 概率论中也有很多习题,在解题过程中不要为解题而解题,而应懂得题目所涉及的概念及解题的目的,至于详细运算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过；因此概率论学习的关键不在于做很多习题,而要把精力放在懂得不同题型涉及的概念及解题的思路上去；这样往往能“事半功倍 ”；二、学习 “数理统计 ”要留意以下几个要点1. 由于数理统计是一门有用性极强的学
22、科,在学习中要紧扣它的实际背景,懂得统计方法的直观含义；明白数理统计能解决那些实际问题；对如何处理抽样数据,并依据处理的结果作出合理的统计推断,该结论的牢靠性有多少要有一个总体的思维框架, 这样, 学起来就不会枯燥而且简洁记忆；例如估量未知分布的数学期望,就要考虑到如何寻求合适的估计量的途径,如何比较多个估量量的优劣？这样,针对按不同的统计思想可推出矩估量和极大似然估量,而针对又可分为无偏估量、有效估量、相合估量,由于不同的估量名称有着不同的含义,一个详细估量量可以满意上面的每一个,也可能不满意；把握了寻求估量的统计思想,详细寻求估量的步骤往往是 懂得,仅死背套路子往往会显现各种错误；“套路子 ”的,并不困难,然而假如没有从根本上 2. 很多同学在学习数理统计过程中往往埋怨公式太多,置信区间, 假设检验表格多而且记不住；事实上概括起来只有八个公式需要记忆,而且它们之间有着紧密联系,并不难记,而区间估量和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已,关键在于懂得区间估量和假设检验的统计意义,在懂得基础上敏捷运用这八个公式,完全没有必要死记硬背；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -