《概率统计》公式符号汇总表及复习策略_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 概率统计 公式、符号汇总表及各章要点及复习策略（共 4 页）第一章均独立。与 与 与 此时 独立 与 B A B A B A B P A P AB P B AB PAB PB A P,);()()()()()(1)()()()()()()()()()3()(1)()()(A B)()()()()()()()()()()()()2(1 1A PB P B A PA B PB P B A P B P B A P A PA P A PB P A P AB P A P B A PA P A B P B P B A P AB PAB P B P A P B A Pi iin n 第二

2、、三章 一维随机变量及分布：X，iP，)(x fX，)(x FX 二维随机变量及分布：),(Y X，ijP，),(y x f，),(y x F*注意分布的非负性、规范性（1）边缘分布：如：jij ip P，dy y x f x fX),()(（2）独立关系：J I IJP P P Y X 独立 与 或)()()(y f x f y x fY X，),(11 nX X 与),(21 nY Y 独立),(11 nX X f 与),(21 nY Y g 独立（3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法）一维问题：已知X的分布以及)(X g Y，求Y的分布 二维问题：已知),(Y

3、X的分布，求Y X Z、Y X M,max、Y X N,min 的分布-*dy y y z f dx x z x f z fZ),(),()(M、N的分布-离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章（1）期望定义：离散：ii ip x X E)(连续：dxdy y x xf dx x xf X E),()()(方差定义：)()()()(2 2 2X E X E X E X E X D 离散：ii ip X E x X D2)()(连续：dx x f X E x X DX)()()(2 协方差定义：)()()()()(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV

4、 学习必备 欢迎下载 相关系数定义：)()(),(Y D X DY X COVXY K 阶原点矩定义：)(KkX E K 阶中心矩定义：)(KkX E X E（2）性 质：C C E)(；)()(X CE CX E；)()()(Y E X E Y X E；)()()(Y E X E Y X XY E 独立 与 0)(C D；)()(2X D C CX D；)()(2)(Y D X D Y X Y X COV Y D X D Y X D 独立 与），（）（）（)(),()()(,Y bdD Y X COV bc ad X acD dY cX bY aX COV）（1 XY；1 1 b aX Y

5、pXY X与Y独立 0 XY 即X与Y线性无关，但反之不然。dx x f x g X g E p x g X g Eii i)()()(;)()(dxdy y x f y x g Y X g E p y x g Y X g Ej iij j i),(),(),(;),(),(*第五章（1）设)(X E，2)(X D，则：221 X p，亦即：22 X p（2）设nX X,1独立同分布则)(nX P)()()(i nX E X E；nnA P)(A p（3）若X),(p n B 则：当 n 足够大时 npqnp X 近似服从)1,0(N；（4）设nX X,1独立同分布，并设)(iX E，2)(i

6、X D 则：当 n 足够大时 nXn)(近似服从)1,0(N 第六章（1）设nX X,1是来自总体X的样本，)(X E，2)(X D 样本均值：nii nXnX1)(1，)()(nX E，nX Dn2)()(样本方差：11)(1112)(212)(2 nin inin iX n XnX XnS，2 2)(S E)(nX P，2B P 2，2S P 2 样本 K 阶原点矩niki kXnA11 P 总体 K 阶原点矩)(kkX E 一维随机变量及分布二维随机变量及分布注意分布的非负性规范性边缘分布如独立关系独立与或与独立与独立随机变量函数的分布离散型用点点对应法连续型用分布函数法一维问题已知的分

7、布以及求的分布二维问题已知的分布求的 必备欢迎下载相关系数定义阶原点矩定义阶中心矩定义性质独立与独立与与独立即与线性无关但反之不然第五章设则亦即设独立同分布则若则当足够大时近似服从设独立同分布并设则当足够大时近似服从第六章设是来自总体的样本 样本则与独立第七章参数估计的问题的形式为已知未知待估参数的置信度为的置信区间概念参数估计方法矩估计最大似然估计似然函数离散连续单正态总体的区间估计见课本页表点估计评选标准无偏性有效性相合性分别是的无偏相学习必备 欢迎下载（2）2 212nX X（iX是来自)1,0(N的简单样本）nYXt（X)1,0(N，Y)(2n，X与Y独立）21/n Yn XF（X)(

8、12n，Y)(22n，X与Y独立）（3）设nX X,1是来自),(2 N的简单样本 则：nXn)()1,0(N，nSXn)()1(n t，22)1(S n)1(2 n，)(nX与2S独立 第七章 参数估计的问题：),(x FX的形式为已知，未知待估 参数的置信度为 1的置信区间概念 参数估计方法：（1）矩估计（2）最大似然估计 似然函数：离散：nx X P x X P L 1)(连续：)()()(1 n X Xx f x f L（3）单正态总体、2 的区间估计（见课本 P 137 页表 71）点估计评选标准：无偏性，有效性，相合性。（)(nX、2S分别是、2 的无偏、相合估计量）第八章 参数假

9、设检验的问题：),(x FX的形式为已知，未知待检 假设检验的 类（弃真）错误、类（取伪）错误的概念 显著性水平为的显著性检验概念 单正态总体、2 显著性检验方法：（见课本 P 151 页表 82，P 154 页表 83）*七个常用分布（见课本 P 82 页表 41 补充超几何分布）正态分布),(2 N的性质：（1）X)1,0(N，b aX),(2 2 a b a N，3原则（2）iX),(2i iN，iX之间相互独立，则：iniiX c 1),(2121inii iniic c N 期末复习、练习资料 练习册中的综合练习（一、二、三）练习册中的每章小节练习及作业中的错题 期中练习 看课本例题

10、 认真复习上述公式、要点 第一章 第八章题型总结(一)计算或应用题 1.概率计算题(如：练习册 P3 二 2,期中练习一)一维随机变量及分布二维随机变量及分布注意分布的非负性规范性边缘分布如独立关系独立与或与独立与独立随机变量函数的分布离散型用点点对应法连续型用分布函数法一维问题已知的分布以及求的分布二维问题已知的分布求的 必备欢迎下载相关系数定义阶原点矩定义阶中心矩定义性质独立与独立与与独立即与线性无关但反之不然第五章设则亦即设独立同分布则若则当足够大时近似服从设独立同分布并设则当足够大时近似服从第六章设是来自总体的样本 样本则与独立第七章参数估计的问题的形式为已知未知待估参数的置信度为的置

11、信区间概念参数估计方法矩估计最大似然估计似然函数离散连续单正态总体的区间估计见课本页表点估计评选标准无偏性有效性相合性分别是的无偏相学习必备 欢迎下载 概率应用题(如：练习册 P8 三 1、2、3,期中练习二、三)2.一、二维联合、边缘分布，独立性 求一维分布(如：练习册 P18 三 2、3、4)已知联合求边缘(如：练习册 P26 二 2、3,期中练习四,六,十)已知边缘求联合(如：练习册 P25 二 1,P61-四，期中练习九)3.期望、方差、协方差、相关系数(如：练习册 P31 二 1，练习册 P34 三 2、3,期中练习五)4.中心极限定理(如：练习册 P38 二 1、2,期中练习八)5

12、.统计学三大分布(如：练习册 P40 1，练习册 P44 3)6.矩估计、似然估计、区间估计(如：练习册 P51 二 2、3,P45 二 1、3、4,)7.点估计评选标准(如：练习册 P47 二 1、2,P52 4)8.参数假设检验(如：练习册 P54 二 2、3,P55 二 1、2、3)(二)证明题(如：练习册 P10 五、3,P35 四，P40 三，P44 二 3，P47 二 1 期中练习十一，综合练习中的证明题)(三)概念题 认真复习概率统计公式、符号汇总表 多做练习册的选择题、填空题 概率统计期中练习（共 5 页）)/(),(),(:,3.0)(2.0)(B A A p B A p B

13、 A p B A B p A p 相互独立。试求、事件，一。设。求该产品的不合格率 序的不合格率为，第三道工 率为，第二道工序的不合格 道工序的不合格率为 才是合格品，如果第一道工序都合格的产品 情形相互独立，而且三 三道工序，它们的工作 二。某产品生产要经过%2%1%5.0 恰有一只新球的概率。是新球，第一次取出的）已知第二次取出的全（球的概率。）第二次取出的全是新 试求：（只球。机取出 处。第二次比赛时再随只球，用后放回原 随机取出 个新球。第一次比赛时 个乒乓球，其中有 三。一个盒子装有2 1 2 2 4 6）的分布律如下：，四。设随机变量（Y X Y X 0 1 0 0 1 a 1 b

14、 0 4 一维随机变量及分布二维随机变量及分布注意分布的非负性规范性边缘分布如独立关系独立与或与独立与独立随机变量函数的分布离散型用点点对应法连续型用分布函数法一维问题已知的分布以及求的分布二维问题已知的分布求的 必备欢迎下载相关系数定义阶原点矩定义阶中心矩定义性质独立与独立与与独立即与线性无关但反之不然第五章设则亦即设独立同分布则若则当足够大时近似服从设独立同分布并设则当足够大时近似服从第六章设是来自总体的样本 样本则与独立第七章参数估计的问题的形式为已知未知待估参数的置信度为的置信区间概念参数估计方法矩估计最大似然估计似然函数离散连续单正态总体的区间估计见课本页表点估计评选标准无偏性有效性

15、相合性分别是的无偏相学习必备 欢迎下载 的分布）的独立性；（、）判断 的值；（）（试求：已知：),min(3 2,1 32)1/1(Y X Z Y X b aY X p)(,)2(,00,0 2),(Y X X XYy xy x ey x f Y X 求：其余）的概率密度为：，五。设（Y X p Y X N Y N X 3 2),3,1(),2,1(2 2 独立。求：与 六。设 的密度函数，求，（），（相互独立，七。设 Y X Z a U Y e X Y X)0 万台的概率是多少？使用的电话台数不超过）在单位时间内，同时（台数是多少？使用的最大可能的电话）在单位时间内，同时 问：（。内使用电话

16、的概率为 万人，每人在单位时间 八。某城市有18.36 2 1 12.0 300？至少应预备多少根钻头 的把握使钻头够用，问 进行，要求有 思考：为保证工程顺利需用两根钻头的概率。只需一根钻头的概率；米的井。求：现要打一口深度为以米为单位）服从 止所钻透的地层厚度，（钻头直到磨损报废为 九。设钻头的寿命%99*)2()1(2000)1000(e X不相关却不独立，与 试验证：其它）的密度为：，十。设（Y X 01 0,1),(x x yy x f Y X 时成立。等号当且仅当 证明：均存在。，是常数，是随机变量，十一。设)(,)()()()(22X E c c X E X DX E X E c

17、 X 十二。第 23 页第 21 题 十三。第 90 页第 4 题,问题改为：求进货量 m，使平均利润 E（Q）最大。*十四。第 102页第 6 题 选题说明：选择所在专业为背景的问题作为研究对象，研究问题的侧重点可以是：1.常见分布函数在生产，生活实际中应用举例 2.分布函数的估计，如分布函数的表达式的估计 3.用方差分析或回归分析法对实验数据进行分析 4.实验目的，方法设计的研究报告 5.相关的自己感兴趣的问题 数学在人类文明的发展中起着非常重要的作用，数学推动了重大科学技术的进步，在早期社会发展的历史上，限于技术条件，依据数学推理和推算所作的预见，往往要多年之后才能实现，数学为人类生产和

18、生活带来的效益容易被忽视。进入二十世纪，尤其式到了二十世纪中叶以后，科学技术发展到现在的程度，数学理论研究与实际应用之间的时间已大大缩短，特别是当前，随着电脑应用的普及，信息的数字化和信息通道的大规模联网，依据数学所作的创造设想已达到即时试、即时实施的地步，数学技术将是一种应用最广泛、最直接、最及时、最富创造力和重要的技术，故而当今和未来的发展将更倚重数学的发展。概率论与数理统计”是理工科大学生的一门必修课程，由于该学科与生活实践和科学试验有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科(如控制论、信息论、可靠性理论、人工智能等)的基础，因此学好这一学科是十分重要的。“概率论与数理统计”的学习应注重的是

19、概念的理解，而这正是广大学生所疏忽的，在复习时几乎有近一半以上学生对“什么是随机变量”、“为什么要引进随机变量”仍说不清楚。对于涉及随机变量的独立，不相关等概念更是无从着手，这一方面一维随机变量及分布二维随机变量及分布注意分布的非负性规范性边缘分布如独立关系独立与或与独立与独立随机变量函数的分布离散型用点点对应法连续型用分布函数法一维问题已知的分布以及求的分布二维问题已知的分布求的 必备欢迎下载相关系数定义阶原点矩定义阶中心矩定义性质独立与独立与与独立即与线性无关但反之不然第五章设则亦即设独立同分布则若则当足够大时近似服从设独立同分布并设则当足够大时近似服从第六章设是来自总体的样本 样本则与独

20、立第七章参数估计的问题的形式为已知未知待估参数的置信度为的置信区间概念参数估计方法矩估计最大似然估计似然函数离散连续单正态总体的区间估计见课本页表点估计评选标准无偏性有效性相合性分别是的无偏相学习必备 欢迎下载 是因为高等数学处理的是“确定”的事件。如函数 y=f(x)，当 x 确定后 y 有确定的值与之对应。而概率论中随机变量 X 在抽样前是不确定的，我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比较困难，如果套用确定性的思维方法就会出错。由于基本概念没有搞懂，即使是十分简单的题目也难以得分。从而造成低分多的现象。另一方面由于概率论中涉及的计算技巧不多，除了

21、古典概型，几何概型和计算二维随机变量的函数分布时如何确定积分上、下限有一些计算的难点，其他的只是数值或者积分、导数的计算。因而如果概念清楚，那么解题往往很顺利且易得到正确答案，这正是高分较多的原因。根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果。下面我们分别对“概率论”和“数理统计”的学习方法提出一些建议。一、学习“概率论”要注意以下几个要点 1.在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加

22、 2 个苹果等于 3 个苹果，然后抽象为 1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随机变量 X(即从样本空间到实轴的单值实函数)的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合 B 的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合 B，知道 P(X B)。那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。所以我们只须求出随机变量 X 的分布 P(X B)。就对随机试验进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。故而随机变量的引

23、入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会。2.在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数 X(w)，但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的，随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一 B，计算概率 P(X B)，即随机

24、变量 X 的分布。只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果 P(A)。P(B)0，则 A，B 独立则一定相容。类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。3.搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F(x)=P(Xx)，EX，DX 等按定义都易求得。计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx(x)=-f(x，y)dy，事件 B 的概率 P(X，Y)B)=Bf(x，y)dxdy，卷积公式等的

25、计算，它们形式上很简单，但是由于 f(x，y)通常是分段函数，真正的积分限并不再是(-，)或 B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。4.概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。这样往往能“事半功倍”。二、学习“数理统计”要注意以下几个要点 1.由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实际问题。对如何处理抽

26、样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到 如何寻求合适的估计量的途径，如何比较多个估计量的优劣？这样，针对按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误。2.许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多，置信区间，假设检验

27、表格多而且记不住。事实上概括起来只有八个公式需要记忆，而且它们之间有着紧密联系，并不难记，而区间估计和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已，关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义，在理解基础上灵活运用这八个公式，完全没有必要死记硬背。一维随机变量及分布二维随机变量及分布注意分布的非负性规范性边缘分布如独立关系独立与或与独立与独立随机变量函数的分布离散型用点点对应法连续型用分布函数法一维问题已知的分布以及求的分布二维问题已知的分布求的 必备欢迎下载相关系数定义阶原点矩定义阶中心矩定义性质独立与独立与与独立即与线性无关但反之不然第五章设则亦即设独立同分布则若则当足够大时近似服从设独立同分布并设则当足够大时近似服从第六章设是来自总体的样本 样本则与独立第七章参数估计的问题的形式为已知未知待估参数的置信度为的置信区间概念参数估计方法矩估计最大似然估计似然函数离散连续单正态总体的区间估计见课本页表点估计评选标准无偏性有效性相合性分别是的无偏相