《2022年高中数学圆的方程典型例题巨有用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学圆的方程典型例题巨有用.docx（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1 高中数学圆的方程典型例题类型一：A 1圆的方程3,2 且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判定点P2,4 与圆的关例 1 求过两点,4、B系分析： 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判定点 P 与圆的位置关系,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,假设距离大于半径,就点在圆外；假设距离等于半径,就点在圆上；假设距离小于半径,就点在圆内解法一：待定系数法设圆的标准方程为xa2yb2r2圆心在y0上,故b0圆的方程为xa2y2r2又该圆过A 1,4、B3,2 两点1a216r23a 24r220解之得：a1,r2所以
2、所求圆的方程为x1 2y220解法二：直接求出圆心坐标和半径kAB由于圆过A1,4、B3,2两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又由于421,故 l 的斜率为1,又 AB 的中点为2,3 ,故 AB 的垂直平分线l 的方程为：13y3x2即xy10又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C1,0半径rAC 11 24220故所求圆的方程为x1 2y220又点P2,4到圆心C1,0的距离为dPC21 24225r点 P 在圆外说明： 此题利用两种方法求解了圆的方程,都环围着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,假设将点换成直
3、线又该如名师归纳总结 第 1 页 共 21 页 第 1 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 何来判定直线与圆的位置关系呢？例 2 求半径为 4,与圆x2y24x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程分析： 依据问题的特点,宜用圆的标准方程求解a解： 就题意,设所求圆的方程为圆C：xa2yb 2r2,4圆 C 与直线y0相切,且半径为4,就圆心 C 的坐标为C 1a,4或C2a又已知圆x2y24x2y40的圆心 A的坐标为2,1 ,半径为3假设两圆相切,就CA437或CA431 无 解 , 故 可 得1 当C 1a,4时 ,a2241
4、 272, 或a2241 22 12210a所求圆方程为x22102y4242,或x22102y242422 当C2a,4时 ,a2241 272, 或a2 2412 1 无 解 , 故226所求圆的方程为x2262y4 242,或x2262y4 242说明： 对此题,易发生以下误会：由 题 意 , 所 求 圆 与 直 线 y 0 相 切 且 半 径 为 4 , 就 圆 心 坐 标 为 C a , 4 , 且 方 程 形 如2 2 2 2 2 2 2 2 x a y 4 4又圆 x y 4 x 2 y 4 0,即 x 2 y 1 3,其圆心为2 2 2A 2 , 1 , 半 径 为 3 假 设
5、 两 圆 相 切 , 就 CA 4 3 故 a 2 4 1 7, 解 之 得2 2 2a 2 2 10所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 x 2 2 10 y 4 4,或 x 2 2 10 2 y 4 2 4 2上述误会只考虑了圆心在直线 y 0 上方的情形,而疏漏了圆心在直线 y 0 下方的情形另外,误解中没有考虑两圆内切的情形也是不全面的例 3 求经过点A 0,5,且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程又分析：欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上名师归纳总结 解： 圆和直线x2y0与2xy0相切
6、,第 2 页,共 21 页 第 2 页 共 21 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 圆心 C 在这两条直线的交角平分线上,又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等5125x2yx2y55两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy05又圆过点A 0,5 ,圆心 C 只能在直线3xy0上设圆心Ct,3 t C 到直线2xy0的距离等于AC ,2t3tt23 t5 25化简整理得t26 t50解得：t1 或t5圆心是 1,3,半径为5 或圆心是5,15,半径为y152所求圆的方程为x1 2y3 25或x52说明： 此题解决的关键是分析得到圆心在已知两
7、直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到 圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满意： 1截 y 轴所得弦长为2；2被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,在满意条件2y0的距离最小的圆的方程12 的全部圆中,求圆心到直线l：x分析： 要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程满意两个 条件的圆有很多个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,假设能求出这轨迹的方程,便可利用点到直 线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的 方程名师归纳总结 解法一： 设圆心为Pa,b ,半径为 r 2r第 3 页,
8、共 21 页就 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b 和 a 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90 ,故圆截 x 轴所得弦长为r22b2 第 3 页 共 21 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 又圆截 y 轴所得弦长为2或52y1 22r2a21又Pa,b到直线x2y0的距离为da2b55 d2a2 b2a24 b24aba24 b22 a2b22 b2a21当且仅当ab时取“=” 号,此时dmin5这时有a2ba212 ba1或a1b1b1x1 又r22b22故所求圆的方程为x1 2y1 22解法二： 同解法一,得d2a2b5a2
9、 b5da4 b245 bd5d2将a22b21代入上式得：2 b245 bd5d210上述方程有实根,故8 5 d210, 第 4 页 共 21 页 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 d51 22或x1 2y1 225将d5代入方程得b15又2b2a21a1由a2b1 知 a 、 b 同号故所求圆的方程为x1 2y说明： 此题是求点到直线距离最小时的圆的方程,假设变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆O：x2y24,求过点P2,与圆 O 相切的切线解： 点P2,不在圆 O 上
10、,ykx24切线 PT 的直线方程可设为2 kk42依据dr12解得k34所以y3 x 424即3x4y100由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形,要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于 0 解决也要留意漏解仍可以运用 x 0 x y 0 y r 2,求出切点坐标 0x 、y 的值来解决,此时没有漏解例 6 两圆 C ：x 2y 2D 1 x E 1 y F 1 0 与 C ：x 2y 2D 2 x E 2 y F 2 0 相交于 A 、 B 两点,求它们的公共弦
11、 AB 所在直线的方程分析： 第一求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线太繁为了防止求交点,可以采纳“ 设而不求” 的技巧AB的方程,但是求两圆交点坐标的过程名师归纳总结 解： 设两圆C 、C 的任一交点坐标为x0,y 0,就有：第 5 页,共 21 页x 02y 02D 1x 0E 1y 0F 10 第 5 页 共 21 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6 x 02y 02D 2x 0E 2y 0F 2y00F20得：D 1D2x0E 1E 2y 0F 1 A、 B 的坐标满意方程D 1D2xE 1E2yF 1F20方程D 1D2xE 1
12、E2F 1F2是过 A 、 B 两点的直线方程又过 A 、 B 两点的直线是唯独的两圆C 、C 的公共弦 AB 所在直线的方程为D 1D2xE 1E2yF 1F20说明： 上述解法中,奇妙地躲开了求A 、 B 两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念到达了目标从解题的角度上说,这是一种“ 设而不求” 的技巧,从学问内容的角度上说,仍表达了对曲线与方程的关系的深刻懂得以及对直线方程是一次方程的本 质熟悉它的应用很广泛例 7、过圆x2y21外一点M23, ,作这个圆的两条切线MA 、 MB ,切点分别是A 、 B ,求直线 AB 的方程；练习：名师归纳总结 1求过
13、点M3,1,且与圆x2 1y24相切的直线 l 的方程 第 6 页,共 21 页解：设切线方程为y1k x3,即kxy3 k10,圆心 1,0 到切线 l 的距离等于半径2,|k23 k1|2,解得k3,k124切线方程为 y 1 3 x 3,即 3 x4当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为4yx130,2 ,3,圆心 1,0 到此直线的距离等于半径故直线x3也适合题意；所以,所求的直线l 的方程是 3x4y130或x32、过坐标原点且与圆x2y24x2y50相切的直线的方程为2解：设直线方程为ykx,即kxy0.圆方程可化为x2 2y1 25,圆心为 2,2-1,半径为10.依题意有2
14、k110,解得k3或k1,直线方程为y3x或2k2123y1x. 33、已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切,就 a的值为. 第 6 页 共 21 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7 解：圆x1 2y21的圆心为 1,0,半径为1,5a21,解得a8或a18. 5212类型三：弦长、弧问题例 8、求直线l:3xy60被圆C:x22y22x4y0截得的弦 AB 的长 . 例 9、直线3 xy230截圆2y4x得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距d3,故弦长ABy22r2d22,从而OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为xAO
15、B3. x25的公共弦长例 10、求两圆x2y2y20和类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线y3 xxy230和圆x2x2y24,判定此直线与已知圆的位置关系. 例 12、假设直线4有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 . m与曲线y解：曲线 y 4 x 2表示半圆 x 2 y 2 4 y 0 ,利用数形结合法,可得实数 m 的取值范围是 2 m 2 或 m 2 2 . 例 13 圆 x 3 2 y 3 2 9 上到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1l 、2l 的方程,从代数运算中查找解答解法一： 圆 x 3 2 y
16、3 2 9 的圆心为 O 1 3 , 3 ,半径 r 33 3 4 3 11设圆心 O 到直线 3 x 4 y 11 0 的距离为 d ,就 d 2 2 2 33 4如图, 在圆心 O 同侧,与直线 3 x 4 y 11 0 平行且距离为 1 的直线 1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意名师归纳总结 第 7 页 共 21 页 第 7 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8 又rd321与直线 3 x 4 y 11 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线 3 x 4
17、y 11 0,且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为 3 x 4 y m 0,就 d m3 2 114 2 1,m 11 5,即 m 6,或 m 16,也即l ：x 4 y 6 0,或 l ：x 4 y 16 0设圆 O ：x 3 2 y 3 2 9 的圆心到直线 1l 、2l 的距离为 d 、d ,就3 3 4 3 6 3 3 4 3 16d 1 2 2 3,d 2 2 2 13 4 3 41l 与 O 相切,与圆 O 有一个公共点；2l 与圆 O 相交,与圆 O 有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明： 对于此题,假设不留心,就易发生以下误会：设圆心O 到直线3x4y110的距离
18、为 d ,就d0334311233242圆O 到3 x4y110距离为 1 的点有两个的距离,dr,只能说明此直线与圆有明显,上述误会中的d 是圆心到直线3x4y11两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数,一般依据圆与直线的位置关系来判定,即依据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判定练习 1：直线xy1与圆x2y22ay0a0没有公共点,就a 的取值范畴是名师归纳总结 第 8 页 共 21 页 第 8 页,共 21 页- - - - - - -精
19、选学习资料 - - - - - - - - - 9 解：依题意有a1a,解得21a21.a0,0a21 . k 的取值范畴2练习2：假设直线ykx2与圆x22y321有两个不同的交点,就是. 11,解得0k4,k的取值范畴是,04. 解：依题意有2 kk21333、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为2 的点共有rA 1 个B2 个C3 个D4 个21,2, 半 径 为分 析 ： 把x2y22x4y30化 为x12y228, 圆 心 为22,圆心到直线的距离为2 ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2 ,所以选 C4、过点P3,4作直线 l ,当斜率为何值时,直线l 与圆C：x12
20、y24有公共点,如下图分析： 观看动画演示,分析思路解： 设直线 l 的方程为x430P y E x y4kO 即kxy3k依据dr有42k23 k1k2整理得3 k24k0解得0k43类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？名师归纳总结 第 9 页 共 21 页 第 9 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10例 14、判定圆C 1:x2xy22xx6yy2640与圆C2:x2y24x2y40的位置关系,例 15：圆x2y220和圆22y0的公切线共有条；解：圆x1 2O 1y21的圆心为2O 1,10 ,半径1r1
21、,圆x2y224的圆心为O20,2 ,半径2r2,O 25 ,r 1r3 ,r 2r 11.r2r 1O 1O 2r 1r 2,两圆相交 .共有 2条公切线；练习1：假设圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切,就实数m 的取值集合是. y2m 29的圆心为解：圆xm2y24的圆心为O 1m 0,半径1r2,圆x1 2O2,12m, 半 径2r3, 且 两 圆 相 切 , O 1 O 2r 1r2或O 1 O 2r2r 1, m1 22m 25或m1 22m 21,解得m12或m2,或m0或m5,52实数 m 的取值集合是12,5,0,2 . 5220.两圆外切于点P ,2
22、：求与圆x2y25外切于点P ,12 ,且半径为25的圆的方程 . 解：设所求圆的圆心为O 1a,b,就所求圆的方程为xa2yb 2OP1 OO 31,12 1a ,b ,a3 b6,所求圆的方程为x3 2y6 220. 3类型六：圆中的对称问题例 16、圆x2y22x6y90关于直线 2xy50对称的圆的方程是y 名师归纳总结 例 17自点A3,发出的光线 l 射到 x 轴上, 被 x 轴反射,反射光线所在A G O B M x C 的直线与圆C：x2y24x4y70相切N 1求光线 l 和反射光线所在的直线方程 2光线自 A 到切点所经过的路程分析、 略解： 观看动画演示, 分析思路 依据
23、对称关系, 第一求出点 AA图第 10 页,共 21 页 第 10 页 共 21 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11的对称点 A 的坐标为 3,3,其次设过 A 的圆 C 的切线方程为y k x 3 3依据 d r,即求出圆 C 的切线的斜率为k 4或 k 33 4进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30或3 x4y30最终依据入射光与反射光关于4x3y30或3x4y30光路的距离为AM,可由勾股定理求得AM2AC2CM27说明： 此题亦可把圆对称到x 轴下方,再求解类型七：圆中的最值问题例 18：圆x2y24x4y100上的点到直线x
24、y140的最大距离与最小距离的差是解 ： 圆x22y2218的 圆 心 为 2, 2, 半 径r32, 圆 心 到 直 线 的 距 离d1052r, 直 线 与 圆 相 离 , 圆 上 的 点 到 直 线 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是2drdr2r62. 例 191已知圆O ：x3 2y421,Px,y为圆 O 上的动点,求dx2y2的最大、最小值2 已知圆O ：x22y21,Px,y为圆上任一点 求y2的最大、 最小值, 求x2y的x1最大、最小值分析： 1、2 两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决名师归纳总结 解： 1 法 1由圆的标准方程x
25、32y4 214第 11 页,共 21 页可设圆的参数方程为x3cos,是参数y4sin,就dx2y296coscos2168sinsin2266cos8sin2610cos其中tan3所以dmax261036,dmin261016 第 11 页 共 21 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12法 2圆上点到原点距离的最大值 d 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1,圆上点到原点距离的最小值 d 等于圆心到原点的距离 d 1 减去半径 1所以 d 1 3 2 4 2 1 62 2d 2 3 4 1 4所以 d max 36d min 162
26、2 x 2 cos ,2 法 1由 x 2 y 1 得圆的参数方程：是参数y sin ,就 y 2 sin 2令 sin 2 t,x 1 cos 3 cos 3得 sin t cos 2 3 t,1 t 2 sin 2 3 t2 3 t 3 3 3 3sin 1 t1 2t 4 4所以 t max 3 3,t min 3 34 4即 y 2 的最大值为 3 3,最小值为 3 3x 1 4 4此时 x 2 y 2 cos 2 sin 2 5 cos 所以 x 2 y 的最大值为 2 5,最小值为 2 5法 2设 y 2k,就 kx y k 2 0由于 P x , y 是圆上点,当直线与圆有交点时
27、,如x 1下图,两条切线的斜率分别是最大、最小值名师归纳总结 由d2 kk221,得k343第 12 页,共 21 页1k 第 12 页 共 21 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13所以y2的最大值为343,最小值为3438PA2PB2的最小x1令x2yt,同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值由d25m1,得m25所以x2y的最大值为25,最小值为25例 20：已知A 2 ,0 ,B2 ,0 ,点 P 在圆x3 2y4 24上运动,就值是. 28.设圆心2OP解：设Px,y,就PA2PB2x22y2x22y22 x2y2为C,34,就
28、OPminOCr523,PA2PB2的最小值为232826. 练习：2 21：已知点 P x , y 在圆 x y 1 1 上运动 . 1求 y 1 的最大值与最小值； 2求 2 x y 的最大值与最小值 . x 2解：1设 y 1 k,就 k 表示点 P x , y 与点 2,1连线的斜率 .当该直线与圆相切时,k 取得x 2最大值与最小值 .由k 22 k1 1,解得 k3 3,x y2 1 的最大值为3 3 ,最小值为3 3. 2设 2 x y m,就 m 表示直线 2 x y m 在 y 轴上的截距 . 当该直线与圆相切时,m 取得最1 m大值与最小值 .由 1,解得 m 1 5,2 x y 的最大值为 1 5,最小值为 1 5 . 52 设点Px,y是圆x2y21是任一点,求分析一： 利用圆上任一点的参数坐标代替y 2u 的取值范畴x 1x 、 y ,转化为三角问题来解决名师归纳总结 解法一： 设圆x2y21上任一点Pcos,sin第 13 页,共 21 页就有xcos,ysin0,22usin2,ucosusincos1ucossinu2 即u21