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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 排列组合1.分类计数原理 加法原理 完成一件事,有 n 类方法,在第 1 类方法中有 m 种不同的方法,在第 2 类方法中有 m 种不同的方法, ,在第 n 类方法中有 m 种不同的方法,那么完成这件事共有：N m 1 m 2 m 种不同的方法2.分步计数原理乘法原理完成一件事,需要分成 n个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 m 种不同的方法, ,做第 n 步有 m 种不同的方法,那么完成这件事共有：N m 1 m 2 m 种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区分分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这
2、件事；分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成大事的一个阶段,不能完成整个大事一.特别元素和特别位置优先策略例 1、.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由分步计数原理得1 1 3C C A 4288练习题：7 种不同的花种在排成一列的花盆里 问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略,假设两种葵花不种在中间, 也不种在两端的花盆里,例 2、 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：A A A 5 22 2480要求某几个元素必需排在一起的问题 ,可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相邻的元素合并为一个元素 ,再与其它元素一起
3、作排列 ,同时要留意合并元素内部也必需排列 . 练习题：某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例 3.、一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场 ,就节目的出场次序有多少种？解 A A 5 46 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目 .假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例 4.、7 人排队
4、,其中甲乙丙 3 人次序肯定共有多少不同的排法解:倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题 ,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 ,就共有不同排法种数是：A 77 / A 33空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙 7共有 1 种坐法,就共有4 A 种方法；摸索 :可以先让甲乙丙就坐吗 . 方法插入法 先排甲乙丙三个人 ,共有 1 种排法 ,再把其余 4 四人依次插入共有定序问题可以用倍缩法,仍可转化为占位插空模型处理1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资
5、料 - - - - - - - - - 练习题 : 10 人身高各不相等 ,排成前后排, 每排 5 人,要求从左至右身高逐步增加,5 C 10共有多少排法？五.重排问题求幂策略例 5.、把 6 名实习生安排到 7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法答应重复的排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地支配在m 个位置上的排列数为n m 种练习题：1某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为42 782. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 ,他
6、们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略 例 6.、 8 人围桌而坐 ,共有多少种坐法 . 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分, 所以固定一人4 A 并从今位置把圆形展成直线其余7 人共有 8-1！种排法即 7 ！CDBEAABCDEFGHAFGH1Amnn练习题： 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120 七.多排问题直排策略例 7.、8 人排成前后两排 ,每排 4 人,其中甲乙在前排 ,丙在后排 ,共有多少排法3 个座解:,就共有2 1 5A A A 种练习题：有两排座位,前排11 个座位,后排 12 个座位,现支配2 人就座规定前排中间的位不能坐,
7、并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是346 八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.、有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 2 C A4 4练习题：一个班有 6 名战士 ,其中正副班长各1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 ,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1 人参与 ,就不同的选法有192 种九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 数有多少个？解：共有2 2 2A A A 种排法.15243练习题：1,在两个奇数之间 ,这样的五位2 名师归纳总结 - - - -
8、- - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 、方案展出 10 幅不同的画 ,其中 1 幅水彩画 ,幅油画 ,幅国画 , 排成一行陈设 ,要求同一2 5 4品种的必需连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈设方式的种数为 A A A 42 5 52、 5 男生和女生站成一排照像 ,男生相邻 ,女生也相邻的排法有 A A A 种十.元素相同问题隔板策略 例 10.、有 10 个运发动名额,分给7 个班,每班至少一个 ,有多少种安排方案？一 班二 班三 班四 班五 班六 班七 班将 n 个相同的元素分成 入 n 个元素排成一排的m 份 n,m 为正整数 ,每份至
9、少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板,插n-1 个间隙中,全部分法数为Cm1n1练习题： 1、10 个相同的球装 5 个盒中 ,每盒至少一有多少装法？C 103 32、xyzw100求这个方程组的自然数解的组数十一.正难就反总体剔除策略例 11.、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数 ,不同的取法有多少种？解：这问题中假如直接求不小于 10 的偶数很困难 ,可用总体剔除法；这十个数字中有 5 个偶3 1 2数 5 个奇数 ,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C ,只含有 1 个偶数的取法有 C C ,和为偶数1 2 3 1 2 3的
10、取法共有 C C 5 C ；再剔除和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C C 5 C 5 9有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面,再从整体中剔除 . 练习题：我们班里有 43 位同学 ,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 . 十二.平均分组问题除法策略例 12. 、6 本 不 同 的 书 平 均 分 成 3 堆 , 每 堆 2 本 共 有 多 少 分 法 ？2 2 2 3C C C 2 / A 3；n平均分成的组 ,不管它们的次序如何 ,都是一种情形 ,所以分组后要肯定要除以 A n 为均分的
11、组数 防止重复计数；练习题：1 、将 13 个 球 队 分 成 3 组 , 一 组 5 个 队 , 其 它 两 组 4 个 队 , 有 多 少 分 法 ？C C C 5 44 4/ A 22、10 名同学分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 ,有多少种不同的分组方法？15403 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、某校高二年级共有六个班级, 现从外地转 入 4 名同学,要支配到该年级的两个班级且每班安排 2 名,就 不 同 的 安 排 方 案 有 多 少C C A 2 2 26
12、/ A 22 90十三. 合理分类与分步策略例 13.、在一次演唱会上共 10 名演员 ,其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 ,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 ,有多少选派方法解： 10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能演员；选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有2 2C C 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员1 1 2C C C 种,只会唱的5 人中只有2 人选上唱歌人员有2 2C C 种,由分类计数原理共有2 C C21 1C C C22 2C C 种；34解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按
13、大事发生的连续过程分 步,做到标准明确；分步层次清晰,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终；练习题：1、.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参与某个座 生,就不同的选法共有 34 谈会,假设这 4 人中必需既有男生又有女2、 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只 船或 3 只船 ,但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有多少乘船方法 . 27十四.构造模型策略例 14.、 公路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 ,现要关掉其中的3 盏,但不能关掉相邻的2盏或 3 盏,
14、也不能关掉两端的2 盏,求满意条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个间隙中插入 3 个不亮的灯有3 C 5种一些不易懂得的排列组合题假如能转化为特别熟识的模型,如占位填空模型,排队模型,装 盒模型等,可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座位,假设 4 人就坐,每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种？120十五.实际操作穷举策略 例 15.、设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子 ,现将 5 个球投入这五个盒子内 ,要 求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 ,有多少投法解：从 5 个球中
15、取出 2 个与盒子对号有2 C 种仍剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,假如剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,就 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 ,由分步计数原理有2 2C 种对于条件比较复杂的排列组合问题,会收到意想不到的结果不易用公式进行运算, 往往利用穷举法或画出树状图名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来 年卡不同的安排方式有多少种？9 ,然后每人
16、各拿一张别人的贺年卡,就四张贺2.给图中区域涂色 ,要求相邻区域不同色 ,现有 4 种可选颜色 ,就不同的着色方法有72 种13245十六. 分解与合成策略例 16.、 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113,依题意可知偶因数必 先 取 2, 再 从 其 余 5 个 因 数 中 任 取 假 设 干 个 组 成 乘 积 , 所 有 的 偶 因 数 为 ：1 2 3 4 5C 5 C 5 C 5 C 5 C 5十八.数字排序问题查字典策略例 18、由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大
17、的数？,解:N2A 5 52A4A 3 3A2A 1 129742数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数依据分类计数 原理求出其总数；练习:用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140 排列组合易错题正误会析例 1 从 6 台原装电脑和 5 台组装电脑中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装电脑各两台 ,就不同的取法有 种.例 2 在一次运动会上有四项竞赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情形共有种.AA 4 3B4 3C3 4DC 4 3例 3 有大小外形相同的 3 个
18、红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法？例 4 5 本不同的书全部分给 4 个同学,每个同学至少一本,不同的分法种数为A480 种B240 种C120 种D96 种例 5 某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天支配一人值班,每人至少值 2 天,其不同的排法共有种 . 2 2 3A5040 B1260 C210 D630 C 7 C 5 A 32例 6 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有A36 个B48 个C66 个D72 个例 7 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 名师归纳总结 种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有种.以数字作答3 2 4 5 5 1 第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . 例 8 已知ax2b0是关于 x的一元二次方程,其中a 、b ,1 2 , ,3 4 ,求解集不同的一元二次方程的个数 . 例 10 现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有种.6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页