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1、1 排列组合1.分类计数原理 (加法原理 ) 完成一件事，有n类方法，在第 1 类方法中有1m种不同的方法，在第2 类方法中有2m种不同的方法， ，在第n类方法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法2.分步计数原理乘法原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第 2 步有2m种不同的方法，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件一.特殊元素
2、和特殊位置优先策略例 1、.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由分步计数原理得113434288C C A练习题：7 种不同的花种在排成一列的花盆里,假设两种葵花不种在中间， 也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2、 7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法 . 解：522522480A A A练习题：某人射击8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20 三.不相邻问题插空策略例 3.、一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场 ,则节目的
3、出场顺序有多少种？解5456A A练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30 四.定序问题倍缩空位插入策略例 4.、7 人排队 ,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法 )对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/AA(空位法 )设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有47A 种方法。思考:
4、可以先让甲乙丙就坐吗 ? 插入法 )先排甲乙丙三个人 ,共有 1 种排法 ,再把其余 4 四人依次插入共有方法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素 ,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 练习题 : 10 人身高各不相等 ,排成前后排， 每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排
5、法？510C五.重排问题求幂策略例 5.、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法练习题：1某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 ,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略例 6.、 8 人围桌而坐 ,共有多少种坐法 ? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分， 所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有 8-1 ！种排法即 7 ！HFDCAABCDEABEGHGF练习题： 6 颗颜色
6、不同的钻石，可穿成几种钻石圈120 七.多排问题直排策略例 7.、8 人排成前后两排 ,每排 4 人,其中甲乙在前排 ,丙在后排 ,共有多少排法解:,则共有215445A A A种练习题：有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是346 八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.、有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 2454C A练习题： 一个班有 6 名战士 ,其中正副班长各1 人现从中选 4人完成四种不同的任务 ,每人完成一种任务,且正副班长有且
7、只有1 人参加 ,则不同的选法有192 种九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间 ,这样的五位数有多少个？解：共有222222A A A种排法.15243练习题：允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm种1mnAn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 、计划展出10 幅不同的画 ,其中 1 幅水彩画 ,幅油画 ,幅国画 ,
8、排成一行陈列 ,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2、 5 男生和女生站成一排照像,男生相邻 ,女生也相邻的排法有255255A A A种十.元素相同问题隔板策略例 10.、有 10 个运发动名额，分给7 个班，每班至少一个 ,有多少种分配方案？一班二班三班四班五班六班七班练习题： 1、10 个相同的球装 5 个盒中 ,每盒至少一有多少装法？2、100 xyzw求这个方程组的自然数解的组数3103C十一.正难则反总体淘汰策略例 11.、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数,不同的
9、取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难 ,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数 ,所取的三个数含有 3个偶数的取法有35C ,只含有 1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C CC。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有1235559C CC练习题：我们班里有43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ? 十二.平均分组问题除法策略例12. 、6本 不 同 的 书 平 均 分 成3堆 , 每 堆2本 共 有 多 少 分 法 ？22236423/C C CA。练习题：1 、将
10、13个 球 队 分 成3组 , 一 组5个 队 , 其 它 两 组4 个 队 , 有 多 少 分 法 ？544213842/C C CA2、10名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法？1540将 n 个相同的元素分成m 份n，m 为正整数 ,每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有分法数为11mnC有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰 . 平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以
11、nnA (n为均分的组数 )防止重复计数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 3、某校高二年级共有六个班级， 现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有多少22224262/90C C AA十三. 合理分类与分步策略例 13.、在一次演唱会上共10 名演员 ,其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 ,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 ,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌， 2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没
12、有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员112534C C C种,只会唱的5 人中只有2 人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有22112223353455C CC C CC C种。练习题：1、.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，假设这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2、 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有多少乘船方法 . 27十四.构造模型策略例
13、14.、 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 ,现要关掉其中的3 盏,但不能关掉相邻的2盏或 3 盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有35C种练习题：某排共有 10 个座位，假设 4 人就坐，每人左右两边都有空位， 那么不同的坐法有多少种？120十五.实际操作穷举策略例 15.、设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子 ,现将 5 个球投入这五个盒子内 ,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个
14、球中取出 2 个与盒子对号有25C 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 ,由分步计数原理有252C 种解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进
15、行运算， 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9) 2.给图中区域涂色 ,要求相邻区域不同色 ,现有 4 种可选颜色 ,则不同的着色方法有72 种54321十六. 分解与合成策略例 16.、 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030分解成质因数的乘积形式30030=2 3 5 7 11 13，依题意可知偶因数必 先 取2,再 从 其
16、 余5 个 因 数 中 任 取 假 设 干 个 组 成 乘 积 ， 所 有 的 偶 因 数 为 ：1234555555CCCCC十八.数字排序问题查字典策略例 18 、由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:297221122334455AAAAAN练习:用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140 排列组合易错题正误解析例 1 从 6 台原装电脑和 5台组装电脑中任意选取5 台,其中至少有原装与组装电脑各两台,则不同的取法有种.例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙
17、三人中产生，那么不同的夺冠情况共有种.A34AB34C43D34C例 3有大小形状相同的3个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？例 4 5 本不同的书全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A480 种B240 种C120 种D96 种例 5 某交通岗共有3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2 天，其不同的排法共有种. A5040 B1260 C210 D630 2332527ACC例 6用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比1000大的奇数共有A36 个B48 个C66 个D72个例 7如图，一个地区分为5 个行政区域
18、，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.以数字作答数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。1 3 2 5 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 . 例 8 已知02bax是关于x的一元二次方程，其中a、4, 3,2, 1b，求解集不同的一元二次方程的个数 . 例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有种.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页