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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆学问点小结一、圆的概念 :集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；（补充 ）2、垂直平分线： 3到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两
2、条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；ABrddO2、点在圆上dr点 B 在圆上；3、点在圆外dr点 A 在圆外；C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；rd2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；drrdd=r四、圆与圆的位置关系名师归纳总结 外离（图1）无交点dRr；欢乐的考试 . 图5dr- 1 - 外切（图2）有一个交点dRr；R欢乐的学习 , 第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相交（图3）有两个
3、交点RrdRr；内切（图4）r有一个交点dRrr ；RddRr内含（图5）无交点dRr ；RddRr图 1图 2图 3图4五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理： 弧 AC弧 AD 中任意此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD2 个条件推出其他3 个结论；
4、A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；CAOBDCBOD即：在 O中, AB CDE弧 AC弧 BD六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等；此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,ABOBEFD只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,即：AOBDOE； ABDE； OCOF ； 弧 BA弧 BDCC七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角OAOB2ACBA名师归纳总结 欢乐的学习 , 欢乐的考试 . - 2 - 第 2 页,共 6
5、页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；DCAOCA所即：在 O 中,C 、D 都是所对的圆周角CDBO推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,对的弦是直径；即：在 O 中, AB 是直径或C90BC90 AB 是直径C推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形；即：在ABC中, OCOAOBC90BOA ABC 是直角三角形或注：此推论矩形性质的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定
6、理；八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,D180BCDE四边形 ABCD 是内接四边形ACBAD180BDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行 即： MN OA且 MN 过半径 OA外端 MN 是 O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）O 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；MAN以上三个定理及推论也称二推肯定理：名师归纳总结 欢乐的学习 , 欢乐的考试 . - 3 -
7、 第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理 切线长定理：从 圆外 一 点 引圆 的 两 条 切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；BBOD即： PA 、 PB是的两条切线 PAPBPOPO平分BPAA十一、圆幂定理（1） 相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等；PCA即：在 O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P , PA PBPC PDBOECA（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
8、两条线段的比例中项；即：在 O 中,直径 ABCD ,DCE2AE BE（3） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；即：在 O 中, PA 是切线, PB 是割线PDAOEPA2PC PBCB（4） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；即：在 O 中, PB 、 PE 是割线 PC PB PD PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；如图：O O 垂直平分 AB ；欢乐的学习 , 欢乐的考试 . O1AO2- 4 - B名师归纳总结
9、 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即：O 、O 相交于 A 、 B 两点O O 垂直平分 AB十三、圆的公切线两圆公切线长的运算公式：2 CO 1O O222 CO 2；AB（1）公切线长：Rt O O C 中,2 ABC（2）外公切线长：CO 是半径之差；O1O2内公切线长：CO 是半径之和十四、 圆内正多边形的运算C（1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在Rt BOD 中进行：BOACOD:BD OB1:3 : 2；D（2）正四边形B同理,四边形的有关运算在Rt OAE 中进行,OE:AE OA1:1:2：A
10、ODE（3）正六边形同理,六边形的有关运算在Rt OAB中进行,AB OB OA1:3 : 2.AAO十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式B1、扇形：（1）弧长公式：ln R；OSl180B名师归纳总结 欢乐的学习 , 欢乐的考试 . - 5 - 第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）扇形面积公式：Sn R21lR3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面绽开图:S 表S 侧2S 底=2rh2r2（2）圆柱的体积：V2 r hADD1母线长3、圆锥：BC底面圆周长B1C1（1）圆锥侧面绽开图: S 表S 侧S 底=Rrr2O（2）圆锥的体积 ：V12 r h3R欢乐的学习 , ACrB- 6 - 欢乐的考试 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页