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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高三数学专题复习：二次函数的最值问题一、学问要点：一元二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的争论；一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情形 . 设 f x ax 2 bx c a 0 ,求 f 在 x m,n 上的最大值与最小值；b分析：将 f x 配方,得对称轴方程 x2 a当 a 0时,抛物线开口向上如 b m,n 必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值；2 ab如 m,n 2 a当 a 0时,抛物线开口向上,此时函数在 m,n 上具有单调性,故在离对称轴 x b 较2 a远
2、端点处取得最大值,较近端点处取得最小值；当 a 0时,如上,作图可得结论,对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当 a0时fm ,b1mn 如图 1 fx m i nfn,bn 如图3 如图4 2afx max2 a2fb,mb 2 anfn,b1mn 如图 2 2a当 a0时2 a2fm ,b 2 am 如图5 名师归纳总结 fx m a xfn ,b 2 an 如图 6 如图 7 f x minf m ,b1mn 如图9 第 1 页,共 11 页fb,mb 2 an 2a2f n ,b1mn 如图 10 2afm ,b 2 a2 a2m 如图 8 - - - - - - -精选学习资料
3、 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值； 对称轴与定义域区间的相互位置关系的争论往往成为解决这类问题的关键；此类问题包括以下四种情形：（1）轴定,区间定；（2）轴定,区间变；（3）轴变,区间定；（4）轴变,区间变；1. 轴定区间定例 1. （ 20XX 年上海） 已知函数f x 2 x2tanx1,x 1,3,当6时,求函数 fx的最大值与最小值；2. 轴定区间动名师归纳总结 例 2. （20XX 年全国）设a 为实数,函数f x 2 x|xa| 1,aR ,求 fx 的最小值；第 2 页,共 11 页-
4、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. 轴动区间定名师归纳总结 评注：已知f x ax2bxc a0,按对称轴与定义域区间的位置关系,由数形结合可得f x 第 3 页,共 11 页在 m n 上的最大值或最小值；1,1上的最大值；例 3求函数yx xa 在x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4. 轴变区间变例 4. 已知y24 a xa a0,求ux32y 的最小值；2（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中的参数值；名师归纳总结 例 5. 已知函数f x
5、ax22 ax1在区间 3,2 上的最大值为4,求实数 a 的值；第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6. 已知函数f x x2x 在区间 学习必备欢迎下载m ,3 n ,求 m,n 的值；m n 上的值域是 32练习：1、已知二次函数fx满意条件f01及fx1 fx2x3,求实数 a 的值；（1）求fx；1,1上的最大值和最小值3,2上的最大值为（2）求fx在区间2、已知二次函数f x 2 ax2 a1 x1在区间2名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - -
6、- 3、已知函数ysin2xasinxa学习必备欢迎下载1 2的最大值为 2 ,求 a 的值4名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高三数学专题复习：二次函数的最值问题参考答案例题答案：名师归纳总结 例 1.解析：6时,f x3242 a1；当a11 2时,第 7 页,共 11 页33所以x3时,f x min4;x1时,f max2 3. 333例 2.（1）当 xa 时,f x x1 223a4如a1,就f x minf13a ; 224如a1,就f x minf a a212（2）当 xa 时,
7、f x x123a24如a1,就f x minf a a21;；2如a1,就f x minf1 23a24综上所述,当a1时,f x min3a ；当1a1时,f x min2422f x min3a ；a1,a2,a214例 3解析：函数yxa2a2图象的对称轴方程为xa,应分12422即2a2,a2和a2这三种情形争论,以下三图分别为（1）a2；由图可知f x maxf 1（2）2a2 ；由图可知f x maxfa2（3）a2时；由图可知f x maxf1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f1,a2学习必备a欢迎下载21 ,ay最大fa,2a2；即
8、y 最大a2,2a224f1 ,a2a 代入 u 中,得a1a2例 4.解析：将y24 a x,即时,即时,所以例 5. 解析：f x a x2 11a x 3,2名师归纳总结 （1）如a40,f x 1,不合题意；1a第 8 页,共 11 页（2）如a0,就f x maxf28 a由 8a1a,得a3180时,就f x maxf 1（3）如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 1a4,得a3学习必备欢迎下载综上知a3或a3中 1 与m ,m2n,n的位置关系；8例 6.解析 1：争论对称轴如,就f x maxf n 3 nf x minf m 3 m
9、解得如m2n1n ,就f x maxf13 n,无解,1,fx 在 m n 上递增；f x minf m 3 m如m1m2n,就f x maxf13 n,无解f x minf n 3 m如,就f x maxf m 3 n,无解f x minf n 3 m综上,m4,n0解析 2：由f x 1x2 11,知3 n1,n1,就 m n , 2226所以f x maxf n 3 nf x minf m 3 mm,n 的取值范畴,躲开了解得m4,n0评注：解法2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了繁难的分类争论,解题过程简洁、明白；练习答案：名师归纳总结 1、解：（1）设ffx ax2
10、bxc,由f0 1,可知c12 axab第 9 页,共 11 页fx1bxc x ax12bx1 c 2 ax- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故由fx2 fx2x得2a2,学习必备0欢迎下载ab因而 a 1,b 1 所以 f x x 2 x 1（2）f x x 2x 1 x 1 2 32 41 1 , 1 ,所以当 x 1时,f x 的最小值为 32 2 4当 x 1 时,f x 的最大值为 f 1 32、分析：这是一个逆向最值问题,如从求最值入手,需分 a 0 与 a 0 两大类五种情形争论,过程繁琐不堪；如留意到 f x 的最值总是在闭区间的端点
11、或抛物线的顶点处取到,因此先运算这些点的函数值,再检验其真假,过程简明；解：（ 1）令f2aa13,得a13 2,2故a1符22此时抛物线开口向下,对称轴为,且2故a1不合题意；闭区间的右端点距离对称轴远些,2（2）令f23,得a1,此时抛物线开口向上,22合题意；（3）如f12 3a3,得a2,经检验,符合题意；3综上,a或223评注：此题利用特别值检验法,先运算特别点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值,再检验其真假,思路明白、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法；名师归纳总结 3、解：分析：令tsinx ,问题就转二次函数的区间最值问题ta,a3（舍去）第 10 页,共 11 页令tsinx ,t 1,1,yta21a2a2,对称轴为242（1）当1a1,即2a2时,y max1 4a2a22,得a2或2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）当a1,即a2时,函数y学习必备2欢迎下载a2在 1,1单调递增,ta1a2224名师归纳总结 由ymax1a1a122,得a10a21a2a2在 1,1 单 调 递 减 , 由第 11 页,共 11 页423（ 3 ） 当a1, 即a2时 , 函 数yt224ymax1a1a1,得a2（舍去）422或a10综上可得： a 的值为a3- - - - - - -