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1、学习必备欢迎下载高三数学专题复习：二次函数的最值问题一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f xaxbxc a( )()20，求fx( )在xmn，上的最大值与最小值。分析：将f x( )配方，得对称轴方程xba2当a0时，抛物线开口向上若bamn2，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若bamn2，当a0时，抛物线开口向上，此时函数在mn，上具有单调性，故在离对称轴xba2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函
2、数图象总结如下：当a0时)(212)()(212)()(21max如图如图，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543m i n如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876m a x如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbamnf nbamn( )( )()()( )()()min，如图如图212212910精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数
3、和定义域区间，求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定例 1. （ 20XX 年上海） 已知函数2( )2tan1, 1,3,f xxxx，当6时，求函数 f(x)的最大值与最小值。2. 轴定区间动例 2. （20XX 年全国）设a 为实数，函数2( )| 1,f xxxaaR，求 f(x)的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载3. 轴
4、动区间定评注：已知2( )(0)f xaxbxc a， 按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得( )f x在, m n上的最大值或最小值。例 3求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载4. 轴变区间变例 4. 已知24 ()(0),ya xa a，求22(3)uxy的最小值。（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例 5. 已知函数2( )21f xaxax在区间 3,2上的最大值为4，求实数a 的值。精选学习资料 - -
5、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 6. 已知函数2( )2xf xx在区间, m n上的值域是3,3 mn，求 m，n 的值。练习：1、已知二次函数)(xf满足条件1)0(f及xxfxf2)()1(（1）求)(xf；（2）求)(xf在区间 1,1上的最大值和最小值2、已知二次函数2( )(21)1f xaxax在区间3,22上的最大值为3，求实数a 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载3、已知函数21sinsin42a
6、yxax的最大值为2，求a的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载高三数学专题复习：二次函数的最值问题参考答案例题答案：例 1.解析：6时，234( )()33fxx所以33x时，min4( );13f xx时，max2 3( )3fx. 例 2.（1）当xa时，213( )()24f xxa若12a，则min13( )()24f xfa; 若12a，则2min( )( )1f xf aa（2）当xa时，213( )()24f xxa若12a，则2min( )( )1f xf aa;；若12a，则mi
7、n13( )( )24f xfa综上所述，当12a时，min3( )4f xa；当1122a时，2min( )1f xa；当12a时，min3( )4f xa。例 3 解析：函数4)2(22aaxy图象的对称轴方程为2ax， 应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2a；由图可知max( )( 1)f xf（2）a22；由图可知max( )()2af xf（3）2a时；由图可知max( )(1)f xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载2,)1 (22,)
8、2(2,) 1(afaafafy最大；即2,122,42,)1(2aaaaaay最大例 4.解析：将24 ()ya xa代入 u 中，得，即时，即时，所以例 5. 解析：2( )(1)1, 3,2f xa xa x（1）若0,( )1,af x，不合题意。（2）若0,a则max( )(2)81f xfa由814a，得38a（3）若0a时，则max( )( 1)1f xfa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载由14a，得3a综上知38a或3a例 6.解析 1：讨论对称轴中 1 与,2mnmn的位置关系。
9、若，则maxmin( )( )3( )( )3f xf nnf xf mm解得若12mnn，则maxmin( )(1)3( )()3f xfnf xf mm，无解若12mnm，则maxmin( )(1)3( )( )3f xfnf xf nm，无解若，则maxmin( )()3( )( )3f xf mnf xf nm，无解综上，4,0mn解析 2：由211( )(1)22f xx，知113,26nn，则, (,1m n，f(x)在, m n上递增。所以maxmin( )( )3( )()3f xf nnf xf mm解得4,0mn评注：解法2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小
10、了m，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。练习答案：1、解： （1）设cbxaxxf2)(，由1)0(f，可知1cbaaxcbxaxcxbxaxfxf2)()1() 1()() 1(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载故由xxfxf2)()2(得22a，0ba因而1a，1b所以1)(2xxxf（2）43)21(1)(22xxxxf1,121，所以当21x时，)(xf的最小值为43当1x时，)(xf的最大值为3)1(f2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a与0
11、a两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到( )f x的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（ 1）令21()32afa，得12a此时抛物线开口向下，对称轴为，且32,22故12a不合题意；（2）令(2)3f，得12a，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故12a符合题意；（3）若2()33f，得23a，经检验，符合题意。综上，12a或23a评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、解：分析：
12、令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题令sintx， 1,1t，221()(2)24aytaa，对称轴为2at，（1）当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在 1,1单调递增，由max111242yaa，得103a（ 3） 当12a， 即2a时 ， 函 数221()(2)24aytaa在 1,1单 调 递 减 ， 由max111242yaa，得2a（舍去）综上可得：a的值为2a或103a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页