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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX 届高三理科数学（理）学问点、公式总结第一部分 集合1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性；2. 集合的性质：A ；任何一个集合是它本身的子集,记为AA；空集是任何集合的子集,记为空集是任何非空集合的真子集；假如AB,同时BA,那么 A = B. 假如AB,BC,那么 A C2 n 1 个. . 3. n 个元素的子集有 2 n个. n 个元素的非空真子集有2 n2 个. n 个元素的真子集有4. 一个命题为真,就它的逆否命题肯定为真,原命题逆否命题 . 一个命题的否命题为真,它的逆命题肯定为真. 否命题逆命题 .
2、 小范畴推出大范畴；大范畴推不出小范畴. 例：如x5,x5 或x2,反之不行其次部分函数1. 函数的三要素：定义域,值域,对应法就；2. 函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,对于详细的函数来说可能有单调区间,也可能没有单调区间,假如函数在区间（0,1）上为减函数,在区间（1,2）上为减函数,就不能说函数在（0,）（1,）上为减函数 . y=ax 0a1 yy=ax a 13. 指数函数：y a x（a 0, a 1）,定义域 R,值域为（0 ,）. 当 a 1,指数函数：y a x在定义域上为增函数；1x当 0 a 1,指数函数：y a x在定义域上为减函数 . O当 a
3、1 时,y a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴；当 0 a 1 时,就相反 . 4. 对数函数：假如 a（a 0, a 1）的 b次幂等于 N ,就是 ab N,数 b 就叫做以 a为底的 N 的对数,记作 log a N b（a 0, a 1,负数和零没有对数） ；其中 a 叫底数, N 叫真数；对数运算：log a M N log a M log a N log a M log a M log a NNn n 1 log a Nlog a M n log a M log a M log a M a Nn换底公式：log a N log b N 推论：log a b log b c lo
4、g c a 1log b alog a 1 a 2 log a 2 a 3 . log a n 1 a n log a 1 a n（以上 M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a .a n 0 且 1） y a x（a 0, a 1）与 y log a x 互为反函数；当 a 1 时,y log a x 的a值越大,越靠近x轴；当 0 a 1 时,就相反；5. 奇函数,偶函数：偶函数：f x f x ,设（a, b）为偶函数上一点,就（a, b）也是图象上一点 . 偶函数的判定：两个条件同时满意名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选
5、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定义域肯定要关于原点对称,例如：y x 2 1 在 1,1 上不是偶函数；满意 f x f x ,或 f x f x 0奇函数：f x f x ,设（a, b）为奇函数上一点,就（a, b）也是图象上一点 . 奇函数的判定：两个条件同时满意定义域肯定要关于原点对称,例如：yx3在1,1上不是奇函数；x）满意fxfx,或fxfx06. 对称变换： y = f（x）y轴对称yf（x）y =f（x）x 轴对称yf（x）y =f（x）原点对称yf（第三部分直线和圆一、直线方程 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正
6、角叫做这条直线的倾斜角,直线倾斜角的范畴是 0 180 0 . 注：当 90 或 x 2 x 1 时,直线 l垂直于 x轴,它的斜率不存在 . 每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有唯独的斜率,并且当直线的斜率肯定时,其倾斜角也对应确定；2. 把握直线方程的几种形式：点斜式、两点式、斜截式、一般式；3. 两条直线平行：1l l 2 k 1 k 2 两条直线平行的条件是： 1l 和 l 2 是两条不重合的直线 . 在 1l 和 l 的斜率都存在的前提下得到的,因此,应特殊留意,抽掉或忽视其中任一个“前提 ”都会导致结论的错误；推论：假如两条直线l1,
7、l2的倾斜角为1,2就1l l212；两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l 和l 的斜率分别为k 和 1k2,就有l10l2k1k21这2,且1l的斜率不里的前提是l1,l2的斜率都存在；l1l2k10,且l2的斜率不存在或k存在. （即A1B2A2B10是垂直的充要条件）4. 点到直线的距离： 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ： 设 点Px0y0, 直 线l:AxByC0 ,P到 l 的 距 离 为 d , 就 有dAx0By02C. A2B两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10, l2:AxByC20C1C2,它们之间的距离为d ,就有dC1C22. A
8、2B5. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线肯定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等；关于某直线对称的两条直线性质：如两条直线平行,就对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等；如两条直线不平行, 就对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线；名师归纳总结 点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,就中点在对称直线上（方程）,过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1. 圆的标准方程：以点 C a , b 为圆心, r
9、 为半径的圆的标准方程是 x a 2 y b 2r 2；特例：圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是：x 2 y 2 r 2；2. 圆的一般方程：x 2y 2Dx Ey F 02 2当 D 2E 2 4 F 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C D, E,半径 r D E 4 F；2 2 2当 D 2E 2 4 F 0 时,方程表示一个点 D, E . 当 D 2E 24 F 0 时,方程无图形（称虚圆） ；2 2注：圆的参数方程：x a r cos（为参数） . y b r sin方程 Ax 2Bxy Cy 2Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是：B 0 且 A C 0 且 D 2E 2
10、 4 AF 0；3. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C ： x a 2 y b 2r 2 r 0；直线 l ：Ax By C 0 A 2B 20 ；Aa Bb C1圆心 C a , b 到直线 l 的距离 d2 2 . A B d r 时, l 与 C 相切； d r 时, l 与 C 相交； d r 时, l 与 C 相离.2 2 2 x a y b r 2 由代数特点判定：方程组 用代入法,得关于 x （或 y ）的一元二次Ax Bx C 0方程,其判别式为,就：A. 0 l 与 C 相切； B. 0 l 与 C 相交； C. 0 l 与 C 相离. 第四部分 三角函数1. 与（0 360）
11、终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：| k 360 , k Z熟识如终边在 x 轴上的角的集合：| k 180 , k Z2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1 =0.01745 1=57.30 =57 183. 三角函数的公式：（一）基本关系1）同角的三角函数：sin2xcos2x1t a ns i n；c o s2）诱导公式：形如：sink（或 cosk 2）方法： 奇变偶不变,符号看象限2如：sin3cos,tan 3tan；2（二）角与角之间的互换名师归纳总结 公式组一coscossinsins i n公式组二22 c o s1122 s i n第 3 页,共 1
12、4 页cos2s i nc o scoscoscossinsinc o s2 c o s2 s i nsinsincoscossint a n2t a n12 t a nsinsincoscossint a n t a nt a ntantantan1tantan1t a nt a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域 y sin xR y cosR xx | x R 且 yx tank x 12 , k Z值域 ,1 1 ,1 1 R 周期性 2 2奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数2
13、 2 k ,2 2 k 2 2k k, 12 k , 21 k ；上为增函数上为减函数 2 k ,2 k单调性 上为增函数；3（k Z）上为增函数（k Z） 2 k , 2 k 2 2上为减函数（k Z）对称性 对称轴为 x k,对称 对称轴为 x k,对称中心 无对称轴,中心为 k ,0 , k 2Z 为 k2 ,0 k Z 对称中心为 k2 ,0 k Z留意： y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反；y cos 与 y cos 的单调性也同样相反 .一般地,如 y f x 在 a , b 上递增（减）,就 y f x 在 a , b 上递减（增） . y sin x 与 y
14、cos 的周期是 . y sin x 的对称轴方程是 x k（k Z）,对称中心（1 k ,0）；y cos x 2的对称轴方程是 x k（k Z）,对称中心（1 k 1 ,0）；y tan x 的对称中心2（1 k,0）. 2函数 y tan 在 R上为增函数说法是错误的 . 只能在某个单调区间单调递增； 如在整个定义域,y tan 为增函数,同样也是错误的 ； y sin x 为周期函数（ T）；y cos x 为周期函数（ T）；帮助角公式：y a cos b sin a 2b 2 sin 其中 tan b ；a第五部分 向量与解三角形1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量；2 y
15、 1abab2. a =aaaay2abx1x2,y1y2设ax 1,y1,bx2,y2,Rabx1x2,y 1ax1, y2abx 1x2y 1y2a2 x 1（向量的模,针对向量坐标求模）平面对量的数量积：ababcosabbaababababcacbcac. 留意：abcabc不肯定成立；abbc向量无大小（“ 大于” 、“ 小于” 对向量无意义） ,向量的模有大小；名师归纳总结 - - - - - - -长度为 0 的向量叫零向量,记0 , 0 与任意向量平行,0 的方向是任意的,零向量与零向量相等,且00； a a=| a2|,|a =a2（针对向量非坐标求模） ,|ab|a|b|；
16、当a0时,由ab0不能推出b0,这是由于任一与 a 垂直的非零向量 b ,都有 a b=0；第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ba（平行向量或共如 a b, b c ,就 a c 是不成立的,由于当b 等于 0 时,不成立；3. 向量 b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数,使得线向量）；当0,a 与 b 共线同向：当0, a 与 b 共线反向；当0 就为,00与任何向量共线；x 3y 3设 a =x 1, y1,bx2, y2a bx1y2x 2y 10abababa bab0x 1x2y2y 10两个向量 a 、 b的夹角
17、公式：cosx 1x2y1y2y2 2,Cx3,y3,重心坐标Gx,yxx 1x 2x2 12 y 12 x 23三角形重心坐标公式：ABC 的顶点Ax1,y 1,Bx2,y2：yy1y2留意：在 ABC 中,如 0 为重心,就32R；OAOBOC0,这是充要条件；平移公式：如点Px,y按向量 a =h,k平移到 Px, y,就xxhyyk4. 正弦定理： 设 ABC 的三边为 a、b、c,所对的角为 A、B、C,就aAsinbBsincCsina2b2c22bccosA余弦定理：b2a2c22accosBc2b2a22abcosC4三角形的四个“ 心”；重心：三角形三条中线交点外心：三角形三
18、边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点. 第六部分数列1. 定义等差数列n,md*,an1等比数列np等差、an 1andq q0 等比a n递推公式ana n1d；anama n1；anamqnm数列：an看通项公式ana 1 n1da1qn1（a1q0）an数列中项Aank2ankGankankankank0是不（n,kN*,nk0）是等（n,kN*,nk0）前 n 项和差数na1q1S nna1an2Sn列有2a11qna1anqq以下Snna 1nn1d重要性质pqNam1q1qq2三种*,mamanapaqm,n,anapaqm
19、,n ,p,qN方法：mnpqa nan1dn,2d 为常数2anan1an1n2 a nknbn,k为常数 . 看数列是不是等比数列有以下四种方法：名师归纳总结 anan1q n2,q 为常数,且0a2 nan1an1n2,a nan1a n10 第 5 页,共 14 页ac,q为非零常数 . cqnn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载S k,S 3kS 2k.；数列 a 的前 n 项和S 与通项a 的关系：ans 1a1nn121s nsn2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列, 其公差为原公差的 k 2倍S k,S 2k如等
20、差数列的项数为2nnN,就S偶S奇nd,SS奇an1；偶ann如等差数列的项数为2n1nN,就S2n12n1an,且S奇S偶an,S 奇S 偶n1代入n 到2n1 得到所求项数. 5. 数列常见的几种形式：（1）a n Pa n 1 r（P、r 为常数）用构造转化等差,等比数列；逐项选代；转化等差,等比：a n 1 x P a n x a n 1 Pa n Px x x r . P 16. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前 n 项和为 S ,在 d 0 时,有最大值,如何确定使 S 取最大值时的 n 值,有两种方法： 一是求使 a n 0, a n 1 0,成立的 n 值；二是由 Sn
21、dn 2 a 1 d n 利用二次函数的性质2 2求n的值；假如数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法：错位相减求和,例如：1 12 , 3 14 ,. 2 n 1 2 1n ,.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差 d ,d 2 的最小公倍数；第七部分 不等式2 21. 平方平均算术平均几何平均：a b a b ab（当 a = b 时取等）2 22 2 2 2特殊地,ab a b 2 a b（当 a = b 时, a b 2 a b ab）2 2
22、 2 2确定值不等式：a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 , a b a b a b ab 0 时, 取等 算术平均几何平均（ a1、a2 an 为正数）：a 1 a 2 a n n a a 2 a n（a1=a 2 =an 时取n等）5常用不等式的放缩法： 1 1 1 12 1 1 1 n 2n n 1 n n 1 n n n 1 n 1 n n 1 n 1 1 1 n n 1 n 1n n 1 2 n n n 1第八部分 导数1. 导数（导函数的简称）的定义：f x 0 = limx 0 yx limx 0 f x 0 xx f x 0 . 2. 导数的几何意义：函数 y f
23、x 在点 x 处的导数的几何意义就是曲线 y f x 在点 x 0 , f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线 y f x 在点 P x 0 , f x 处的切线的斜率是 f x 0 ,切线方程为 y y 0 f x x x 0 .3 求导数的四就运算法就：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - uv uvyf1xf2学习必备欢迎下载uf 2x 2.vf nxx.fnx yf 1x uvvuvucv cvcvcv（c为常数）uvuvu0vv5. 复合函数的求导法就：f xxfux或yxyux复合函数的求导法就可推广到多个
24、中间变量的情形；6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 y f x 在某个区间内可导,假如 f x 0,就 y f x 为增函数；假如 f x 0,就 y f x 为减函数；常数的判定方法；假如函数 y f x 在区间 I 内恒有 f x =0,就 y f x 为常数 . 注： f x 0 是 f（x）递增的充分条件,但不是必要条件,如 y 2x 3 在 , 上并不是都有f x 0,有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0,同样 f x 0 是 f（x）递减的充分非必要条件；一般地,假如 f（x）在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正（或负）,那么 f（x）在该区间上仍然是单调
25、增加（或单调削减）的；7. 极值的判别方法：（极值是在x 邻近全部的点,都有fxfx0,就fx0是函数fx 的极大值,微小值同理） ,当函数fx在点x 处连续时,是极大值；假如在x 邻近的左侧f x 0,右侧f x0,那么fx0假如在x 邻近的左侧f x f xfx是微小值； c o ss i n x0,右侧0,那么08. 几种常见的函数导数：R）I.C0（ C 为常数） si n c o sxnnxn1（nII. lnx1 l o g a x1l o g aeexexaxaxlnaxx第九部分立体几何一、空间直线 . 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面；相交直线共面有反且有一个公共点
26、；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线相互平行；4. 等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（如下图） . 12方向相同12（二面角的取值范畴00, 180）（直线与直线所成角0, 90）（斜线与平面成角, 90）方向不相同（直线与平面所成角0, 90）（向量与向量所成角0, 180推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角（或直角）相等；二、直线与平
27、面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内；2. 直线与平面平行判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；（“ 线线平行,线面平行”）3. 直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载面相交,那么这条直线和交线平行； （“ 线面平行,线线平行”）直线与平面垂直的判定定理一：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面； （“
28、线线垂直,线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：假如平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；推论：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行；三、平面平行与平面垂直 . 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行；2. 平面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；（“ 线面平行,面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面相互平行；平行于同一平面的两个平面平行；3. 两个平面平行的性质定理： 假如两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行；（“ 面面平行,线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是
29、直二面角,就两个平面垂直；两个平面垂直性质判定二：假如一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面；（“ 线面垂直,面面垂直”）5. 两个平面垂直性质定理：假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面；推论：假如两个相交平面都垂直于第三平面,就它们交线垂直于第三平面；6. 球：球的截面是一个圆面.球的表面积公式：S4 R2.球的体积公式：V4 R 33. 六. 空间向量 . 1. 空间向量基本定理：假如三个向量a , b , c,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯独的有序实数组 x、y、z,使 p x a y b z c；推论：设 O、A、B、C
30、是不共面的四点,就对空间任一点 P, 都存在唯独的有序实数组 x、y、z 使 OP x OA y OB z OC 这里隐含 x+y+z 1；3. （1）空间向量的坐标：可参考平面对量的运算（2）求向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图,设 n 是平面 的法向量, AB是平面 的一条射线,| AB n |其中 A,就点 B 到平面 的距离为；| n |利用法向量求二面角的平面角定理：设 n 1, n 2 分别是二面角 l 中平面 , 的法向量,就 n 1, n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（可观看是锐角仍是钝角）；证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面,A B a
31、 , C D,且 CDE三点不共线,就a的充要条件是存在有序实数对 使 AB CD CE . （常设 AB CD CE 求解 ,如 , 存在即证毕,如 , 不存在,就直线 AB 与平面相交）；第十部分 圆锥曲线一、椭圆方程 . 1. 椭圆方程定义：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - PF1PF22aF F2学习必备欢迎下载方程为椭圆,PF1PF22aF F2无轨迹,PF1PF22aF F2以F1,F2为端点的线段椭圆的标准方程：2 2i. 中心在原点,焦点在 x 轴上：x2 y2 1 a b 0 . ii. 中心在原
32、点,焦点在 y 轴上：a b2 2y2 x2 1 a b 0 . a b2 2一般方程：Ax 2 By 2 1 A ,0 B 0 .椭圆的标准参数方程：a x2b y2 1 的参数方程为 xy ab cossin（一象限 应是属于 0）. 2顶点： a , 0 0 , b 或 0 , a b , 0 .轴：对称轴： x 轴, y 轴；长轴长 2 ,短轴长 2 .焦点： c , 0 c , 0 或 0 , c 0 , c .焦距：F 1 F 2 2 c , c a 2b 2 .准线：x a 2或 y a 2.离心c cc率：ea 0 e 1 . 二、双曲线方程 . 1. 双曲线定义：PF1PF22aF F2方程为双曲线1 a,b0. 一般方程：Ax2Cy21AC0. PF1PF22aF F2无轨迹PF1PF22aF F2以F1,F2 的一个端点的一条射线双曲线 标准方程：x2y21a,b0,y2x2a2b2a2b2i. 焦点在 x 轴上：顶点：a , 0,a , 0焦点： c, 0 ,c, 0 准线方程xa2渐近线方程：