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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2022 年西城试验考题 某种商品按定价卖出可得利润960元,如按定价的80%出售,就亏损832元问：商品的购入价是_ 元2 2022 年清华附中考题 王老板以 2 元/ 个的成本买入菠萝如干个,依据定价卖出了全部菠萝的45后,被迫降价为：5 个菠萝只卖2 元,直至卖完剩下的菠萝,最终一算,发觉竟然不亏也不赚,3那么王老板一开头卖出菠萝的定价为元/ 个 2022 年清华附中考题 某书店购回甲、 乙两种定价相同的书,其中甲种书占 3,需按定价的 78%5付款给批发商,乙种书按定价的 82%付款给批发商,请算算,书店按定价销售完这两种书后获利的
2、百分率是多少？4 2022 年西城试验考题 将含农药 30% 的药液,加入肯定量的水以后,药液含药24%,假如再加入同样多的水,药液含药的百分比是_ 5 2022 年 101 中学考题 A 种酒精浓度为40%,B种酒精浓度为36%,C种酒精浓度为35%,它们混合在一起得到了11 千克浓度为 38.5%的酒精溶液, 其中 B 种酒精比 C 种酒精多3 千克,就 A名师归纳总结 种酒精有千克第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 利润、浓度问题是学校六年级新学的学问点,与现实生活联系得比较紧密,同时又涉及到百分数和比例,所以是小升初重点考察
3、的对象2022 年的出题方式仍旧可能是大题中显现一道或者两道和本讲内容相关的题目,而且占的分值权重回较大只要仔细复习,把握解题规律,就可以顺当拿下这部分分值利润、浓度问题的内容与生活实际联系很紧密,在经济问题中,要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系,而在浓度问题中就要懂得好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系经济问题主要相关公式：售价成本利润,利润率利润100%售价 成本100%；成本成本售价 =成本 （ +利润率）,成本售价利润率 + 1浓度问题相关公式：溶液溶质溶剂 ；浓度溶质100%溶质100%溶液溶质溶剂常用方法：抓不变量：一般情形下在经济问题中成本是不变量,浓度问题
4、中溶剂是不变量；方程法：对于经济浓度问题,采纳方程来求解是简便、有效的方法；十字交叉法： 甲溶液浓度大于乙溶液浓度 ；甲溶液与混合溶液的浓度差 混合溶液与乙溶液的浓度差形象表达：甲溶液质量AB乙溶液质量BA浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时特别有用；不仅如此,对某些利润问题,有时候也可以奇妙地利用浓度倒三角分析其中的数量关系,从而解决问题混合浓度 z%名师归纳总结 x-z:z-y第 2 页,共 8 页甲溶液乙溶液浓度 x%浓度 y%z-yx-z甲溶液质量乙溶液质量:- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 利润问题【例 1 】李师傅以 1 元钱 3 个苹果的价
5、格买进苹果如干个,以 1 元钱 2 个苹果的价格将这些苹果卖出,卖出一半后, 由于苹果降价只能以 2 元钱 7 个苹果的价格将剩下的苹果卖出不过最终他不仅赚了24 元钱,仍剩下了 1 个苹果,那么他买了多少个苹果？【分析】 经济问题都是和成本、利润相关的,所以只要分别考虑前后的利润即可1 元钱 3 个苹果,也就是一个苹果 1 元； 1 元钱 2 个苹果,也就是一个苹果 1 元；卖出一半后,3 2苹果降价只能以 2 元钱 7 个苹果的价格卖出,也就是每个 2 元7在前一半的每个苹果可以挣 1 1 1 元 ,而后一半的每个苹果亏 1 2 1 元 假设后一半2 3 6 3 7 21也全卖完了,即剩下
6、的 1 个苹果统一按亏的价卖得 2 元,就会共赚取 24 2 元钱7 7假如从前、后两半中各取一个苹果,合在一起销售,这样可赚得 1 1 5 元 ,所以每一半苹6 21 42果有 24 2 5204 个,那么苹果总数为 204 2 408个7 42巩固商店购进 1000 个十二生肖玩具,运途中破旧了一些未破旧的好玩具卖完后,利润率为 50% ；破旧的玩具降价出售,亏损了 10%最终结算,商店总的利润率为 39.2%商店卖出的好玩具有多少个？分析 设商店卖出的好玩具有x 个,就破旧的玩具有1000x 个依据题意,有：第 3 页,共 8 页x50%1000x10%100039.2%,解得x820故
7、商店卖出的好玩具有820 个【例 2 】某店原先将一批苹果按100%的利润 即利润是成本的100% 定价出售由于定价过高,无人购买后来不得不按38% 的利润重新定价,这样出售了其中的40% 此时,因可怕剩余水果腐烂变质,不得不再次降价, 售出了剩余的全部水果结果,实际获得的总利润是原定利润的30.2%那么其次次降价后的价格是原定价的百分之多少？【分析】 其次次降价的利润是：30.2%40%38%140%25% ,价格是原定价的125%1100%62.5% 巩固某商店进了一批笔记本,按30%的利润定价 当售出这批笔记本的80% 后,为了尽早销完,商店把这批笔记本按定价的一半出售问销完后商店实际获
8、得的利润百分数是多少？分析 设这批笔记本的成本是“1” 因此定价是 1130%1.3其中 80% 的卖价是 1.3 80%,20%的卖价是 1.3220% 因此全部卖价是1.3 80%1.3220%1.17 实际获得利润的百分数是1.1710.1717%巩固有一种商品,甲店进货价比乙店进货价廉价10%甲店按 20%的利润来定价,乙店按15%的利润来定价,甲店的定价比乙店的定价廉价11.2元甲店的进货价是多少元？分析 由于甲店进货价比乙店进货价廉价10%,所以甲店进货价是乙店的90%设乙店的进货价为x 元,就甲店的进货价为90%x元名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - -
9、 - - - - - - 由题意可知,甲店的定价为90%x120%元,乙店的定价为x115%元,而最终甲店的定价 比 乙 店的 定 价便 宜 11.2 元, 由 此 可列 方 程：x 1 15% 90% x 1 20% 11.2 解得x 160 元 ,那么甲店的进货价为 160 90% 144 元 【例 3 】 利民商店从一家日杂公司买进了一批蚊香,然后按期望获得的纯利润,每袋加价 40%定价出售但是,按这种定价卖出这批蚊香的 90% 时,夏季即将过去为了加快资金的周转,利民商店依据定价打七折的优惠价,把剩余的蚊香全部卖出这样,实际所得的纯利润比期望获得的纯利润少了 15%按规定,不论按什么价
10、钱出售,卖完这批蚊香必需上缴营业税 300元 税金与买蚊香用的钱一起作为成本 请问利民商店买进这批蚊香时一共用了多少元？【分析】 解法一：设买进这批蚊香共用x 元,那么期望获得的纯利润为“0.4 x300” 元,实际上比期望的少卖的钱数为：x 1 90% 1 40% 1 70% 0.042x 元 依据题意,得：0.042x 0.4 x 300 15%,解得 x 2500故买进这批蚊香共用 2500元解法二：设买进这批蚊香共用 x 元,那么期望获纯利润“0.4 x 300” 元,实际所得利润为“ 0.4 x 300 1 15% 0.34 x 255” 元10%的蚊香打七折,就相当于全部蚊香打九七
11、折卖,这样一共卖得“1.4 x 0.97” 元依据题意,有：1.4 x 0.97 x 300 0.34 x 255,解得 x 2500所以买进这批蚊香共用 2500 元巩固成本 0.25元的练习本 1200 本,按 40%的利润定价出售当销掉 80% 后,剩下的练习本打折扣出售,结果获得的利润是预定的 86% ,问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？分析 先销掉 80% ,可以获得利润 0.25 40% 1200 80% 96 元 最终总共获得 86%的利润,利润共 0.25 40% 1200 86% 103.2 元 ,那么出售剩下的 20%,要获得利润 103.2 96 7.2 元 ,每
12、本需要获得利润 7.2 1200 20% 0.03 元 ,所以现在售价是 0.25 0.03 0.28 元 ,而定价是 0.25 1 40% 0.35 元 售价是定价的 0.28 100% 80%,故出售时是打 8 折0.35【例 4 】 小明到商店买红、黑两种笔共 66 支红笔每支定价 5 元,黑笔每支定价 9 元由于买的数量较多,商店就赐予优惠,红笔按定价 85% 付钱,黑笔按定价 80% 付钱,假如他付的钱比按定价少付了 18%,那么他买了红笔多少支？【分析】 浓度倒三角的妙用红笔按 85%优惠,黑笔按 80% 优惠,结果少付 18%,相当于按 82% 优惠,可类似浓度问题进行配比,得到
13、红、黑两种笔的总价之比为 82% 80% : 85% 82% 2: 3 ,而红、黑两种笔的单价分别为 5 元和 9 元,所以这两种笔的数量之比为 2 3: 6:5,所以他买了5 966 636 支红笔5 6拓展 某商品 76 件,出售给 33 位顾客, 每位顾客最多买三件假如买一件按原定价,买两件降价 10%,买三件降价 20%,最终结算, 平均每件恰好按原定价的分析 假如对于浓度倒三角比较熟识,简单想到 3 1 20%85% 出售那么买三件的顾客有多少人？1 100% 340% 4 85% ,所以 1 个买一名师归纳总结 - - - - - - -件的与 1 个买三件的合起来看,正好每件是原
14、定价的85% 由于买 2 件的, 每件价格是原定价的1 10%90% ,高于 85% ,所以将买一件的与买三件的一一配对后,仍剩下一些买三件的人,由于3290%2380%1285% ,所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2: 3于是 33 个人可分成两种,一种每2 人买 4 件,一种每5 人买 12 件,共买76 件,所以后一种有7633412425 人 其中买二件的有：25315 人 2525前一种有 33258 人 ,其中买一件的有824 人 第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于是买三件的有33 15414 人 浓度问题【例 5 】 2022 年
15、第六届“ 走美” 六年级初赛 A 、 B 两杯食盐水各有 40 克,浓度比是 3: 2 在 B 中加入60 克水,然后倒入 A 中_ 克再在 A 、B 中加入水, 使它们均为 100 克,这时浓度比为 7 :3 【分析】 在 B 中加入 60 克水后, B 盐水浓度削减为原先的 2,但溶质质量不变,此时两杯盐水中的盐的5质量比仍旧为 3: 2 , B 中的盐占全部盐的质量的 2 2,但最终状态下 B 中的盐占全部盐的质3 2 5量的 3 3,也就是说 B 中的盐削减了 1 3 2 1,所以从 A 中倒出了1 的盐水, 即 25 克7 3 10 10 5 4 4拓展A 、 B 、 C 三个试管中
16、各盛有 10克、 20克、 30克水 把某种浓度的盐水 10克倒入 A 中,充分混合后从 A中取出 10克倒入 B 中,再充分混合后从 B 中取出 10克倒入 C 中,最终得到的盐水的浓度是 0.5% 问开头倒入试管 A中的盐水浓度是百分之几？分析 整个过程中盐水浓度在下降倒入 A 中后,浓度变为原先的 10 1；倒入 B 中后,浓度变为10 10 2A 中的 10 1；倒入 C 中后,浓度变为 B 中的 10 1所以对于一开头倒入 A 中的盐水10 20 3 10 30 4浓度可以用倒推的方法,0.5% 1 1 1 12%,即一开头倒入 A 中的盐水浓度为 12%4 3 2拓展 有甲、乙、丙
17、三个容器, 容量为毫升 甲容器有浓度为 40% 的盐水 400 毫升； 乙容器中有清水 400毫升；丙容器中有浓度为 20%的盐水400毫升 先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后,再把乙容器中的盐水 200 毫升倒入甲容器,200 毫升倒入丙容器这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？分析 列表如下：甲开头浓度溶液溶液40%400第一次40%200其次次200 40%200 15%27.5%400400乙丙浓度溶液浓度040020%400200 40%200 20%15%80020%20080015%400200 20%200 15%17.5%400400所以此时甲容器中盐水的浓度是
18、27.5%,乙容器中浓度是15% ,丙容器中浓度是17.5%小结：在做有关浓度的应用题时,为了弄清晰溶质质量、溶液质量的变化,特别是变化多次的,常用列表的方法,使它们之间的关系一目了然【例 6 】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液,第 5 页,共 8 页瓶中的浓度变成了14%已知 A 种酒精溶液浓度是B 种酒精溶液浓度的2倍,那么 A 种酒精溶液名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的浓度是百分之几？【分析】 新倒入纯酒精：1000 100 400 14% 1000 15% 60 克
19、 设 A 种酒精溶液的浓度为 x ,就 B 种为 x 依据新倒入的纯酒精量,可列方程：2100 x 400 x 60,解得 x 20%,即 A 种酒精溶液的浓度是 20%2另解：设 A 种酒精溶液的浓度为 x ,就 B 种为 x 2依据题意, 假设先把 100 克 A 种酒精和 400 克 B 种酒精混合, 得到 500 克的酒精溶液, 再与 1000克 15%的酒精溶液混合,所以 A、B两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为100014% 15% 14% 12%500依据浓度倒三角,有 x 12% : 12% x 400 :100,解得 x 20%2故 A 种酒精溶液的浓度是 20%巩固甲、乙两
20、瓶盐水,甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的 3倍将 100 克甲瓶盐水与 300克乙瓶盐水混合后得到浓度为 15%的新盐水,那么甲瓶盐水的浓度是多少？分析 设乙瓶盐水的浓度是 x %,甲瓶盐水的浓度是 3 %,有 100 3 % 300 x % 100 300 15%,解得 x 10,即甲瓶盐水的浓度是 30%巩固在甲、乙、丙三缸酒精溶液中,纯酒精的含量分别占 48%、 62.5%和2,已知三缸酒精溶液总量3是 100千克,其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量三缸溶液混合后,所含纯酒精的百分数将达 56% 那么,丙缸中纯酒精的量是多少千克？分析 设丙缸酒精溶液的重量为 x 千克,就乙缸为
21、50 x 千克依据纯酒精的量可列方程：50 48% 50 x 62.5% x 2 100 56%,3解得 x 18,所以丙缸中纯酒精的量是 18 2 12 千克 3另解：由于甲缸酒精溶液为 50 千克,乙、丙两缸酒精溶液合起来也是 50 千克,所以假如将乙、丙两缸酒精溶液混合,得到的酒精溶液的浓度为 56% 2 48% 64% 那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：2 64% : 64% 62.5% 32 :18,而它们合起来共 503千克,所以丙缸酒精溶液有 50 1818 千克,丙缸中纯酒精的量是 18 212 千克 32 18 3【例 7 】 甲瓶中酒精的浓度为 70%,乙瓶中酒精的浓度为
22、60%,两瓶酒精混合后的浓度是 66%假如两瓶酒精各用去 5 升后再混合, 就混合后的浓度是 66.25%问原先甲、 乙两瓶酒精分别有多少升？【分析】 依据题意,先从甲、乙两瓶酒精中各取 5 升混合在一起,得到 10 升浓度为 65%的酒精溶液；再将两瓶中剩下的溶液混合在一起,得到浓度为 66.25%的溶液如干升再将这两次混合得到的溶液混合在一起,得到浓度是 66% 的溶液依据浓度三角,两次混合得到的溶液的量之比为：66.25% 66% : 66% 65% 1: 4,所以后一次混合得到溶液 5 2 4 40 升这 40 升浓度为 66.25%的溶液是由浓度为70%和 60%的溶液混合得到的,这
23、两种溶液的量的比名师归纳总结 - - - - - - -为： 66.25%60% : 70%66.25%5: 3 ,所以其中浓度为70%的溶液有4055325升,浓度为 60% 的溶液有4053315升所以原先甲瓶酒精有25530 升,乙瓶酒精有15520升巩固纯酒精含量分别为60% 、 35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40% 假如每种酒精都第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多取 20克,混合后纯酒精的含量变为45%求甲、乙两种酒精原有多少克？分析 原先混合时甲、乙的质量比是：40% 35% 1,60% 40% 4现在混合时甲、乙的质量比是：45
24、% 35% 260% 45% 3由于原先甲、乙的质量差 现在甲、乙的质量差,所以原先甲的质量是该质量差的 1 1 倍,4 1 3现在甲的质量是该质量差的 22 倍于是多取的 20克与 2 1 5 对应3 2 3 3所以,质量差 20 512 克 ,3原先甲的质量是 12 14 克,原先乙的质量是 12 416 克4 1 4 1【例 8 】甲容器中有浓度为 20%的盐水 400 克,乙容器有浓度为 10% 的盐水 600克分别从甲和乙中取出相同重量的盐水,把从甲中取出的倒入乙中,把从乙中取出的倒入甲中现在甲、乙容器中盐水浓度相同 问：从甲 乙容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【分析】 由于两
25、种盐水互换后浓度相等,而在互换的过程中盐的总质量是不变的,所以互换后盐水的浓度为40020%600 10%40060014% ,而甲容器中原先浓度为20% ,所以相互倒了40020%14%20%10%240 克 另解：由于两种溶液的浓度不同,而混合后得到的溶液的浓度相同,只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金 比是相像的 见第 7 讲相关例题 中两种合金的质量假设相互倒了 x 克,那么甲容器中是由 400 x 克 20%的盐水和 x 克 10%的盐水混合,乙容器中是 由 x 克
26、20% 的 盐 水 和 600 x 10% 的 盐 水 混 合 , 得 到 相 同 浓 度 的 盐 水 , 所 以400 x : x x : 600 x ,解得 x 240巩固甲、乙两只装有糖水的桶,甲桶有糖水 60 千克,含糖率为 4% ,乙桶有糖水 40 千克,含糖率为20%,两桶相互交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等？分析 由于两桶糖水互换的量是对等的,故在变化过程中,两桶中糖水的量没有转变,而两桶中糖水的含糖率由原先的不等变化为相等,那么变化后的含糖率为：60 4% 40 20% 60 40 100% 10.4% ,甲桶中原先的含糖率为 4% ,所以相互交换了：60 10.4% 4
27、% 20% 4% 24 千克 【例 9 】甲杯中有纯酒精 12克,乙杯中有水 15 克,第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯,使酒精与水混合 其次次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯,这样甲杯中纯酒精含量为 50% ,乙杯中纯酒精含量为 25%问其次次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？【分析】 第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有：15 1 25% 15 5 克 ,就甲杯中剩纯酒精 12 5 7 克 由于其次次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为 25%,依据浓度倒三角,倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为 100% 50% : 50% 25% 2 :1 ,所以其次次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是 7 2 1
28、4克巩固甲容器中有纯酒精 11 立方分米,乙容器中有水 15 立方分米第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合；其次次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器这样甲容器中的纯酒精含量为 62.5%,乙容器中的纯酒精含量为液是多少立方分米？25%那么,其次次从乙容器倒入甲容器的混合分析 由于其次次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中,所以乙溶液在其次次操作的前后浓度不变,所名师归纳总结 以乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为25%,而在此次倒入之前,甲容器中是纯酒精,浓度为第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 100%,依据浓度倒三
29、角,100%62.5% : 62.5%25%1:1 ,所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的量与甲容器中剩下的量相等而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有 15 1 25% 20 15 5 立方分米, 所以甲容器中剩下的有 11 5 6立方分米,故其次次从乙容器倒入甲容器的混合液是 6 立方分米1 2022 年清华附中考题 某种皮衣定价是 1150 元,以 8 折售出仍可以盈利 15% ,某顾客再在 8 折的基础上要求再让利150 元,假如真是这样,商店是盈利仍是亏损？【分析】 该 皮 衣 的 成 本 为 ： 1150 0.8 1 15% 800 元 , 在 8 折 的 基 础 上 再 让 利 150
30、 元 为 ：1150 0.8 150 770 元,所以商店会亏损 30 元2甲、乙两种商品,成本共 2200 元,甲商品按 20% 的利润定价,乙商品按 15% 的利润定价,后来都按定价的 90%打折出售,结果仍获利 131 元,甲商品的成本是 _元【分析】 设甲成本为 x 元,就乙为 2200 x 元依据条件可以列出方程：90% 1 20% x 1 15% 2200 x 2200 131,解得 x 1200故甲商品的成本为 1200 元另解：甲种商品的实际售价为成本的 1 20% 90% 108% ,所以甲种商品的利润率为 8% ；乙种商品的实际售价为成本的 1 15% 90% 103.5%
31、 ,所以乙种商品的利润率为 3.5%依据“ 鸡兔同笼” 的思想,甲种商品的成本为：131 2200 3.5% 8% 3.5% 1200 元 3100 千克刚采下的鲜蘑菇含水量为 99% ,略微晾晒后, 含水量下降到 98%,那么这 100 千克的蘑菇现在仍有多少千克呢？【分析】 晾晒只是使蘑菇里面的水量削减了,蘑菇里其它物质的量仍是不变的,所以此题可以抓住这个不变量来解名师归纳总结 - - - - - - -原先鲜蘑菇里面其它物质的含量为100199%1 千克,晾晒后蘑菇里面其它物质的含量仍是1 千克,所以晾晒后的蘑菇有1198%50 千克4有 A 、B 两瓶不同浓度的盐水,小明从两瓶中各取1
32、升混合在一起, 得到一瓶浓度为36% 的盐水,他又将这份盐水与2 升 A瓶盐水混合在一起,最终浓度为32%那么 B 瓶盐水的浓度是【分析】 根 据 题 意 ,A瓶 盐 水 的 浓 度 为32%236%28%, 那 么B瓶 盐 水 的 浓 度 是36%228%44%5A 、 B 、 C 三瓶盐水的浓度分别为20% 、18%、16% ,它们混合后得到100克浓度为 18.8% 的盐水假如 B 瓶盐水比 C 瓶盐水多 30 克,那么 A瓶盐水有多少克？【分析】 设 C 瓶盐水有 x 克,就 B 瓶盐水为x30克, A 瓶盐水为 100xx30702x克就702x20%x3018%x16%100 18.8%,解得x10所以 A 瓶盐水为： 702 1050 克 第 8 页,共 8 页