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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第 18 章 勾股定理复习 一学问归纳 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么a2b22 c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾 三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明 勾股定理的证明方法许多,常见的是
2、拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变 依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下：方法一： 4 SS 正方形EFGHS 正方形 ABCD,41abba22 c ,化简可证2DCHAEFcGBba方法二：abcccabbcbaa四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积名师归纳总结 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为ADESS41ab1c22 abc2第 1 页,共 5 页2大正方形面积为S ab 2a22 abb2ABE2ab1c2,化简得证所以a2b2c2方法三：S 梯形1
3、2ab ab,S 梯形2S22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AaD名师总结优秀学问点BccbEabC .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC 中,C90,就ca2b2,bc22 a,ac22 b知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题 .勾股定理的逆定理假如三角形三边长 a , b , c 满意
4、 a 2b 2c ,那么这个三角形是直角三角形,其中 2c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数转化为形 ” 来确定2 2 2三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和 a b 与较长边的平方 c 作比较,如它们相等时,以 a , b, c 为三边的三角形是直角三角形；如 a 2b 2c ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是钝 2角三角形；如 a 2b 2c ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形；2定理中 a , b, c 及 a 2b 2c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长 2a ,
5、b , c2 2 2满意 a c b ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b22 c 中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等m2n22 1,2 , n n1（n2,n为正整数）；2n1,22 n2 ,2n22n1
6、（ n 为正整数）n2,22 mn m2 n （mn m , n 为正整数）勾股定理的应用 勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使 用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）解 .勾股定理逆定理的应用,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形,在详细名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名
7、师总结 优秀学问点推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常见图形：A30CACBBCABDDCBDA题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C290已知AC6,BC8求 AB 的长已知AB17,AC15,求 BC 的长分析：直接应用勾股定理2 a2 b2 c解：ABAC2BC10BCAB2AC28题型二：应
8、用勾股定理建立方程例 . 在ABC 中,ACB90,AB5cm,BC3cm , CDAB 于 D , CD 已知直角三角形的两直角边长之比为3:4 ,斜边长为 15,就这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为 30 cm ,斜边长为 13 cm ,就这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可依据 勾股定理列方程求解 解：ACAB2BC24,CDAC BC2.4ABAD名师归纳总结 BC第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设两直角边的长分别为3k,4k3 2名师总结152
9、优秀学问点3,S542 4 ,k设两直角边分别为a , b ,就ab17,a2b2289,可得ab60S1ab30cm22例 .如图ABC 中,C90,12 ,CD1.5,BD2.5,求 AC 的长CDA1EB2分析：此题将勾股定理与全等三角形的学问结合起来解：作 DEAB 于 E ,DE22242AC312 ,C90DECD1.5在BDE 中BED90 ,BEBD2Rt ACDRt AEDEBAC2ACAE在 Rt ABC 中,C90AB2AC22 BC ,AE例 4.如图 Rt ABC ,C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积CA B答案： 6 题型三：实际问题中应用
10、勾股定理例 5.如图有两棵树,一棵高8 cm,另一棵高2 cm,两树相距8 cm,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了mAE D名师归纳总结 BC第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：依据题意建立数学模型,如图AB8名师总结优秀学问点BC8m ,过点 D 作 DEAB ,垂足为 E ,m ,CD2m ,就AE6m ,DE8mADAE2DE210在 Rt ADE 中,由勾股定理得答案： 10 m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为 a , b , c ,判定 ABC
11、是否为 Rt a 1.5,b 2,c 2.5 a 5,b 1,c 24 3解： a 2b 21.5 22 26.25,c 22.5 26.25ABC 是直角三角形且 C 90 b 2c 2 13,a 2 25,b 2c 2a 2ABC 不是直角三角形9 16例 7.三边长为 a, b , c 满意 a b 10,ab 18,c 8 的三角形是什么外形？解：此三角形是直角三角形理由：2 ab2ab 22ab64,且c264a2b2c2所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8.已知ABC 中,AB13cm ,BC10cm , BC 边上的中线AD12cm,求证： ABAC证明：ABDC名师归纳总结 在AD 为中线,BDDC5cmAB2169AD2BD22 AB ,第 5 页,共 5 页ABD 中,AD2BD2169,ADB90,AC2AD2DC2169,AC13cm,ABAC- - - - - - -