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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点勾股定理学问点与常见题型总结勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么a2b22 c ；勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直 角边的平方和等于斜边的平方； .勾股定理的证明 勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方
2、法；用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变；依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理；常见方法如下：方法一： 4 SGS 正方形 EFGHS 正方形ABCD,a4b1abBba22 c ,化简可证2DbAaCDHacccbEFbccacEabaAcBabbC方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积方法三：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S241ab2 c2ab2 c ,2大正方形面积为Sab2a22ab2 b ,所以ab22 c . S 梯形1 2ab ab,S 梯形2SADESABE21a
3、b1c2,化简得证；22 .勾股定理的适用范畴 勾股定理揭示了直角三角形三条之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和 钝角三角形来说就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形； .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长,求第三边；在ABC 中,C90,就ca2b2,bc2a2,a2 c2 b；知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系；可运用勾股定懂得决一些实际问题； .勾股定理的逆定理名师归纳总结 假如三角形三边长a , b , c 满意2 a2 b2 c ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边；第 1 页,共 5 页勾股定理的
4、逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和a22 b 与较长边的平方2 c 作比较,如它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形；如a22 b2 c ,时,以 a , b , c 为三边的三- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点a , b , c角形是钝角三角形；如a2b22 c ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a , b , c 及a2b22 c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三
5、角形三边长满意a22 c2 b ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边；勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形； .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b22 c 中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数；记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等；n22 1,2 , n n1（n2,n为正整数）；2n1,2n22 ,2n22n1（ n
6、 为正整数）；m2n2,2mn m22 n （mn m , n 为正整数）； .勾股定理的应用 勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什 么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使 用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形,在 详细推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和 与第三边的平方比
7、较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通 过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题 的解决常见图形：A30CACBBCABCABDDD题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C290已知AC6,BC8求 AB 的长；解：ABAC已知AB17,AC15,求 BC 的长；BC210； BCAB2AC28题型二：应用勾股定理建立方程名师归纳总结 例 .在ABC 中,ACB90,AB5cm ,BC3cm , CDAB 于 D , CD ；第 2 页,共 5
8、页；已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4,斜边长为 15 ,就这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为30 cm ,斜边长为 13 cm ,就这个三角形的面积为解：ACAB2BC24,CDAC BC2.4AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AC名师总结优秀学问点DD30；1BCA2EB设两直角边的长分别为3k , 4k3 24 2152,k3,S54设两直角边分别为a, b ,就ab17,2 ab2289,可得ab60S1ab2例 .如图ABC 中,C90,12 ,CD1.5,BD2.5,求 AC 的长；ACAE解：作 DEAB 于 E ,12
9、,C90DECD1.5在BDE中,BED90 ,BEBD2DE22,Rt ACDRt AED ,在 Rt ABC 中,C90,AB2AC22 BC ,AEEB2 AC242AC3例 4. 如图, Rt ABC 中, AB=9,BC=6, B=90 ,将 ABC 折叠,使 A 点与C4 BC 的中点 D 重合,折痕为MN,就线段 BN 的长为（）A BD5 解：设 BN=x,由折叠的性质可得DN =AN=9 x, D 是 BC 的中点, BD=3,在 Rt ABC 中, x 2+3 2=（9 x）2,解得 x=4故线段 BN 的长为 4应选： C例 5.已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC
10、=10cm,在边 CD上取一点 E,将 ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点F,求 CE的长 .解： 依据题意得 Rt ADERt AEF, AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,就 DE=EF=CDCE=8x 在 Rt ABF中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2,即 8 2+BF 2=10 2, BF=6cm, CF=BC BF=10 6=4cm在 Rt ECF中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2,即 8 x 2 =x 2+4 26416x+x 2=2+16, x=3cm, 即 CE=3 cm；题型三：实际问题中应用勾股定理名师归纳总结 - -
11、 - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点例 6.如图,有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上,请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图,然后再求解）解：如下列图,过 D 点作 DEAB ,垂足为 E；AB=13 ,CD=8 又 BE=CD ,DE=BC AE=AB BE=AB CD=13 8=5 2 2 2 2 2在 Rt ADE 中, DE=BC=12 , AD =AE +DE =12 +5 =144+25=169, AD=13 （负值舍去）；答：小鸟飞行的最短路程为 13m例 7.如图,一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别
12、为20、3、2,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,就蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是25解：如下列图,三级台阶平面绽开图为长方形,长为20,宽为（ 2+3）3,蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长2 +（2+3）32 =252,设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x,由勾股定理得：x2=20解得： x=25故答案为25最短的路程是多少？已知长方体例 8.一只蚂蚁假如沿长方体的表面从A 点爬到 B点,那么沿哪条路最近,的长 2cm、宽为 1cm、高为 4cm解：如图：依据题意,如上图所示,最短路径有以下三种情形：2=4+25=29
13、 ；2 =1+36=37 ；（1）沿 AA ,A C,CB, BB 剪开,得图（ 1）AB 2=AB2+BB 2=（2+1）2+42=25；（2）沿 AC ,CC,CB,BD,DA , AA 剪开,得图（ 2）AB 2=AC2（3）沿 AD ,DD ,BD,CB,CA , AA 剪开,得图（ 3）AB =AD2综上所述,最短路径应为（1）所示,所以 AB =25,即 AB =5cm2+BC 2=2 2+（ 4+1）2 2 2+B D =1 +（ 4+2）名师归纳总结 例 9.如图,Rt ABC中,AC=5,BC=12,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,就阴影部分面积为第 4 页,共 5 页-
14、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由勾股定理AB=5 212 2=13,依据题意得：名师总结优秀学问点（5 2）2-1 2（13 2）2-1 2 5 12=30S阴影 = 1 2（12 2）2+1 2例 10.等腰直角ABC中, BC=AC=1,以斜边 AB 和长度为 1 的边 BB1 为直角边构造直角ABB1,如图,这样构造下去 ,就 AB3= ；ABn= 解：等腰直角ABC中, BC=AC=1, AB= 2 , BB1=1, ABB1=90, AB1= 3 ,同理可得： AB2=2, AB3= 5 ； AB、AB1、 AB2、 AB3的值可知 A
15、Bn= n 2题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形；例 11.已知三角形的三边长为a,b,c,判定ABC是否为Rt：90；a1.5,b2,c2.5a5,b1,c243解：a2b21.522 26.25,c22.526.25ABC 是直角三角形且Cb2c213,a225,b22 ca2ABC 不是直角三角形；916例 12.三边长为 a , b , c 满意ab10,ab18,c8的三角形是什么外形？解：此三角形是直角三角形；理由：a22 bab22 ab64,且c264；a2b2c2所以此三角形是直角三角形；题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 13.如图,在单位
16、正方形组成的网格图中标有 形三边的线段是AAB、 CD、EF、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角BDCAC解：设小正方形的边长为1,就 AB 2=2 2+2 2=8, CD 2=22+42=20,EF 2=1 2+2 2=5, GH 2=22+3 2=13由于 AB 2+EF 2=GH 2,所以能 构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、 GH例 14.已知ABC 中,AB13cm ,BC10cm, BC 边上的中线AD12cm,求证： AB证明：AD 为中线,BDDC5cm在ABD 中,AD2BD2169,AB2169AD2BD22 AB ,ADB90,AC2AD2DC2169,AC13cm ,ABAC例 15.如图,在四边形ABCD中, B=90,AB=BC=4,CD=6,DA=2求 DAB的度数解：连结 AC, B=90, AB=BC=4, AC 2=32, DAB=DBA=45, 32+2 2=6 2, AC 2+DA 2=CD 2, ACD 是直角三角形, DAC是 CD 所对的角,DAC=90, DAB=DAC+BAC=90+=135名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页