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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 5 学问点第一章：解三角形1、正弦定理：在 C 中, a 、 b 、 c分别为角、 C 的对边, R 为 C 的外接圆的半径,就有a b c 2 Rsin sin sin C2、正弦定理的变形公式： a 2 R sin,b 2 R sin,c 2 R sin C ； sin a, sin b, sin C c；正弦定理的变形常常用在有三角函数的等式中2 R 2 R 2 R a b c sin : sin :sin C ； a b c a b csin sin sin C sin sin sin C1 1 13、三角形面积公式：S
2、C bc sin ab sin C ac sin2 2 22 2 2 2 2 24、余 定理：在 C 中,有 a b c 2 bc cos,b a c 2 ac cos,2 2 2c a b 2 ab cos C 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c a a c b a b c5、余弦定理的推论：cos,cos,cos C2 bc 2 ac 2 ab2 2 26、设 a 、 b 、 c是 C 的角、 C 的对边,就：假设 a b c ,就 C 90 为直角三角形；假设 a 2b 2c ,就 2C 90 为锐角三角形；假设 a 2b 2c ,就 2C 90 为钝角三角形其次章：数列1、数列：
3、根据肯定次序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列8、摇摆数列：从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列 a n 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项 a 与它的前一项 a n 1或前几项间的关系的公式11、假如一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,就这个数列称为等差数列,这个常
4、数称为等差数列的公差12、由三个数 a , b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列,就 称为 a 与 b 的等差中项假设a cb,就称 b 为 a 与 c 的等差中项213、假设等差数列 a n 的首项是 1a ,公差是 d ,就 a n a 1 n 1 d 第 1 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通项公式的变形：a na mnm d ；a 1a nn1d ；da na 1；na nda 11；n1danamnm14、假设a n是等差数列,且mnpqq m 、 n、 p 、q*,就a ma nap
5、a ；假设na是等差数列,且 2npq n 、 p 、pa ；下角标成等差数列的项仍是等差数列；*,就 2a na连续 m 项和构成的数列成等差数列；15、等差数列的前n 项和的公式：S nn a 1a n；S nna 1n n1d nnd,2216、等差数列的前n 项和的性质：假设项数为2n n*,就S 2nn a na n1,且 S 偶S 奇1其S 奇a n1假设项数为2n1n*,就S 2n12 n1a ,且 nS 奇S 偶a n,S 奇nS 偶a nS 偶中S 奇na n,S 偶n1a n17、假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,就这个数列称为等比数列,这个常
6、数称为等比数列的公比18、在 a 与 b 中间插入一个数G ,使 a , G , b 成等比数列,就G 称为 a 与 b 的等比中项假设G2ab ,就称 G 为 a 与 b 的等比中项19、假设等比数列a n的首项是1a ,公比是 q ,就a na qn1是等20、通项公式的变形：a nn m a q；a 1a q nn1；qn1a n；qn ma na 1a m21、假设a n是等比数列,且mnpq m 、 n、 p 、q*,就a ma napa ；假设a n比数列,且 2npq n 、 p 、q*,就2 a napa ；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续 m 项和构成的数列成等比数列；
7、22、等比数列a nna 1q1的前 n 项和的公式：S na 11n qa 1a q q q1q1时,1q1S n1a 11a 1qqn,即常数项与n q 项系数互为相反数；q23、等比数列的前n 项和的性质：假设项数为2n n*,就S 偶S 奇qS nmS nqnS S ,S 2nS ,S 3nS 2n成等比数列第 2 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 24、a 与S 的关系：anS nS n1n2S 1n1一些方法：一、求通项公式的方法：1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法假设相邻两项相减后为
8、同一个常数设为anknb,列两个方程求解；假设相邻两项相减两次后为同一个常数设为anan2bnc,列三个方程求解；假设相邻两项相减后相除后为同一个常数设为a naqnb, q 为相除后的常数,列两个方程求解；2、由递推公式求通项公式：假设化简后为a n 1and形式,可用等差数列的通项公式代入求解；假设化简后为a n1anfn ,形式,可用叠加法求解；假设化简后为a n 1anq形式,可用等比数列的通项公式代入求解；假设化简后为a n 1ka nb形式,就可化为an1xkanx ,从而新数列anx 是等比数列,用等比数列求解anx 的通项公式,再反过来求原先那个；其中 x 是用待定系数法来求得
9、3、由求和公式求通项公式：a 1S 1a nS nS n1检验a 是否满意an,假设满意就为a ,不满意用分段函数写；4、其他1a na n1fn 形式, fn 便于求和,方法：迭加；2；例如：a na n1n1有：a na n1n1a 2a 13a 3a24a nan1n1各式相加得ana 134n1a 1n42n12a na n1a a n n1形式,同除以a a n n1,构造倒数为等差数列；例如：a na n12 a a n1,就anan12111,即1为以 -2 为公差的等差数列；a a n1a nana n3a nqa n1m 形式,q1,方法：构造：a nxq a n1x 为等比
10、数列；例如：a n2 a n12,通过待定系数法求得：a n22a n12,即a n2等比,公比为4a nqa n1pnr 形式：构造：a nxnyq a n1x n1y 为等比数列；5anqan1pn形式,同除n p ,转化为上面的几种情形进行构造；第 3 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于a nqa n1n p ,就anqan11,假设q1转化为 1的方法,假设不为1,转化为 3pnp pn1p的方法二、等差数列的求和最值问题：二次函数的配方法；通项公式求临界项法k10假设a 10,就S 有最大
11、值,当n=k 时取到的最大值k 满意ad0a kk0假设a 10,就S 有最小值,当n=k 时取到的最大值k 满意a0d0a k10三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如：na2 n13 n；分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式；如：a n111n11,a n2 n112 n111111等；n nn22 n2 n一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以便利求和的部分,如：a n2nn1等；四、综合性问题中等差数列中一些在
12、加法和乘法中设一些数为ad和ad类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aaq和类型,这样可以相乘约掉；q第三章：不等式1、ab0ab ；ab0ab ；ab0ab 比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等；2、不等式的性质： abba ；ab bcac ； abacbbc ；d ；ab c0acbc ,ab c0acbc ；ab cdacab0,cd0acbd ；ab0anbnn,n1；ab0nanb n,n12 的不等式3、一元二次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是第 4 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - -
13、 - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式yb24acc000二次函数ax2bxa0的图象有两个相异实数根一元二次方程ax2bxc0x 1,2b2 a有两个相等实数根没有实数根x 1x 2ba0的根2ax 1x 2一元二次不ax2bxc0x xx 1 或xx2x xbRa02a等式的解集ax2bxc0x x 1xx 2a01的不等式5、二元一次不等式：含有两个未知数,并且未知数的次数是6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式组的解集：满意二元一次不等
14、式组的 x和 y 的取值构成有序数对 ,x y ,全部这样的有序数对 ,x y 构成的集合8、在平面直角坐标系中,已知直线 x y C 0,坐标平面内的点 x 0 , y 0假设 0 ,x 0 y 0 C 0,就点 x 0 , y 0 在直线 x y C 0 的上方假设 0 ,x 0 y 0 C 0,就点 x 0 , y 0 在直线 x y C 0 的下方9、在平面直角坐标系中,已知直线 x y C 0假设y0 ,就xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xC0下方的区域假设y0 ,就xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xC0上方的区域10、线性约束条件：由 x ,
15、 y 的不等式或方程组成的不等式组,是目标函数：欲到达最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式线性目标函数：目标函数为 x , y 的一次解析式x , y 的线性约束条件线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满意线性约束条件的解,x y第 5 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可行域：全部可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设 a 、 b 是两个正数,就 a b 称为正数 a、 b 的算术平均数,ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数2a b12、均值不等式定理：假设 a 0,b 0,就 a b 2 ab ,即 ab 213、常用的基本不等式： a 2 b 2 2 ab a b R ；2 2 ab a ba b R ；22 2 2 2 ab a b a 0, b 0； a b a b a b R2 2 214、极值定理：设 x 、 y 都为正数,就有2假设 x y s 和为定值,就当 x y 时,积 xy 取得最大值 s 4假设 xy p 积为定值,就当 x y 时,和 x y 取得最小值 2 p 第 6 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页