《2022年北京四中---高中数学高考综合复习专题二十八简单几何体.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北京四中---高中数学高考综合复习专题二十八简单几何体.docx（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学高考综合复习专题二十八简洁几何体一、学问网络二、高考考点 1.正棱柱或正棱锥的概念与认知；2.棱柱、棱锥的表面积与体积；3.以棱柱、棱锥为载体的垂直关系或平行关系的证明,角与距离的寻求与运算；4.球的有关问题：表面积、体积、球面距离、经纬度以及基本的“接” 与“切 ”问题；三、学问要点 一）棱柱 1、棱柱的概念 有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,这些面围成的几何体叫做 棱柱；在这里,两个相互平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱；其中两个 侧面的公共边叫做棱
2、柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的 对角线；两个底面的距离叫做棱柱的高；点拨：（ 1）依据定义判定一个多面体是否为棱柱,一般是第一看“ 面”,即考察该多面体是否有两个面相互平行,并且除这两个面之处的其余各面都是四边形；其次看“线 ”,即考察每相邻两个四边形的公共边是否平行；在这里,同一棱柱的底面的挑选也会有不同方案,解题时要留意这种特殊棱柱的底面可变性的应用；（ 2）留意区分两个概念： 棱柱的棱与棱柱的侧棱；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 棱柱的对角线与棱柱某一
3、面的多边形的对角线；2、棱柱的分类（ 1）按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、 、n 棱柱；（ 2）按侧棱与底面的关系分类；特例：（）四棱柱的分支（或特殊情形）：循着由一般到特殊的途径其中,特殊留意（）长方体的特性长方体的对角线的平方,等于它的长、宽、高的平方和设对角线与各棱所成的角分别为 ,就 设对角线与各面所成的角分别为 ,就3、棱柱的性质（ 1）侧棱都相等,侧面是平行四边形；（ 2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（ 3）经过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；4、面积与体积（ 1）设柱体（棱柱或圆柱）的底面积为 S,高为 h,就柱体的体积（ 2）设棱柱的侧棱长为,直截面（
4、垂直于侧棱的截面）的周长为C,面积为S,就棱柱的体积：；棱柱的侧面积：；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - （二）棱锥 1、棱锥的定义：有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥；这个多边形叫做棱锥的 底面,其余各面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点究竟面 的距离叫做棱锥的高；提示：由上述定义可知,棱锥有两个本质的特点：（ 1）有一个面是多边形；（ 2）其余各面是有一个公共顶点的三角形,这二者缺一不行；“有一个面是多边形,其余各面都
5、是三角形”的几何体不肯定是棱锥；特例：三棱锥（即四周体）的任何一个面都可以作为底面（三棱锥底面的可变性）,这是其它棱锥所不具备的；运用体积法求距离,就是利用三棱锥的体积及其底面的可变性；值得留意的是,一个三棱锥的四个面可以都是直角三角形；2、棱锥的性质 假如棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相像,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高 的平方比；3、正棱锥（1）正棱锥的定义： 假如一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面内的射影为底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥；（ 2）正棱锥性质：（）各侧棱相等；各侧面都是全等的等腰三角形；各等腰三角形底边上的高（正棱锥的斜高）相等；（）正棱锥
6、的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形；提示：正棱锥必需满意两个条件：一是底面为正多边形；二是顶点在底面上的射影恰为底面多边形的中心,这二者缺一不 可；正棱锥除去上面指出的两个直角形外,正棱锥的底面半径、边心距和半边长也组成一个直角三角形；正棱锥侧面上 的侧棱、相应的斜高和半边长也组成一个直角三角形,这些特殊的三角形是解决正棱锥问题的基础和突破口；4、面积与体积（ 1） 设正棱锥的底面周长为C,斜高为h,就它的侧面积（ 2）如一个棱锥全部的侧面与底面组成二面角都等于锐角就有,并且顶点在底面上的射影在底面多边形的内部,名师归纳总结
7、 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）设锥体（棱锥或圆锥）的底面积为 S,高为 h 就锥体的体积；认知：由柱体和锥体的体积的阅读材料可知,任何一个三棱柱都可以分割成体积相等的三棱锥,反之,以任何一个 三棱锥为基础都可以补充成同底等高的三棱柱；这种割补化归的思想是立体几何中的重要思想,解题时应留意这种思想 和手段的运用；（三）球 1、 球的概念（ 1）定义球面：；球：（ 2）球的元素 球的半径：连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；球的直径：连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径；2、球的截面的性质 用一个平面去
8、截球,截面是圆面,球的截面有如下性质：（ 1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（ 2）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有如下关系：其中（）当 d=0 时,截面过球心,此时截面面积最大；球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆；（）当 d=r 时,平面与球面相切；（）当 0d0）,用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在全部可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,就a 的取值范畴为；分析：解决此题的关键是如何拼成三棱柱或四棱柱；（1）将它们拼成新的三棱柱,只有将它们摞起来一种情形,其全面积为；（2）将它们拼成四棱柱,就有三种情形 将两个相同的三棱 柱 分 别 沿 其 相 同 的 侧 面 对
9、 接 , 其 全 面 积 分 别 为,明显S2S3S4； 只需 S1S4,解得即 所求 a 的取值范畴为三、解答题1. （ 2005 天 津 卷 ） 如 图 , 在 斜 三 棱 柱的中点；中 ,第 15 页,共 29 页, AB=AC ,侧面与底面ABC 所成二面角为120,E、F 分别是棱、（ 1）求与底面 ABC 所成的角；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）证明：平面；（ 3）求经过 A 1、 A、B 、C 四点的球的体积；分析： 为了表示（ 1）中目标,需要构造平面 ABC 的垂线,而一旦寻出或作出平面 ABC 的垂线之后,
10、又可以此为基础作出已知的侧面 与底面 ABC 所成二面角的平面角；因此,解题结构是平面 ABC 的垂线切入,通过构造及求解 突破；解：（ 1）作为平面 ABC 于 H,连结 AH 并长交 BC 边于 G,连结 EG,就与底面 ABC 所成角；又 AG 为 的平分线（证明从略） AB=AC ,即而 AH 是 在底面 ABC 上的射影平面平面,且,留意到为二面角A-BC-E 的平面角又四边形 AGEA 1 为平行四边形即 与底面所成角为 60 ；（ 2）连结 交 EG 于点 P,就 P 为 EG 的中点,连结 FP； F 为 的中点名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 29 页
11、精选学习资料 - - - - - - - - - 四边形 为平行四边形又面,面,面；（ 3）连结,由（ 1）知 HB=HC 由已知得 三棱锥 为正三棱锥 它的外接球球心 O 在高 AH 上,又连结 OF,就,且即球半径,球的体积点评： 对于（ 1）,通过作 平面 ABC 于 H,将已知二面角的平面角与构造所求的直线与平面所成角纳入同一个作图与论述过程之中,这一过程一旦完成,“已知 ”与“ 目标 ” 的联系便呼之欲出了；对于（3）解题的关键是认知所给四点构成正三棱锥,熟识到这一点,即问题转化为求正三棱锥 的外接球体积,于是,化生为熟便得以实现；2.（2005 全国卷 I ）已知四棱锥 P-ABC
12、D 的底面为直角梯形,AB DC,底面 ABCD ,且,M 是 PB的中点；（）证明：面 PAD 面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小；分析：名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于（）,留意到 面 PAD ,得证；对于（）,当四棱锥内难以找到 AC 或 PB 的平行线时,要想到在四棱锥外部构造 AC 与 PB 的平行线；对于（）,就要想到利用（）,（）推理中的认知与结论来构造或运算二面角的平面角；方法一：（）证明 ： PA 面 ABCD , CDAD ,由
13、三垂线定理得：CDPD；因而, CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD ,PD 都垂直, CD面 PAD ；又 CD 面 PCD,面 PAD 面 PCD；（）解 ：过点 B 作 BE CA ,且 BE=CA ,就 PBE 是 AC 与 PB 所成的角；连结 AE ,可知 AC=CB=BE=AE=,又 AB=2 ,所以四边形 ACBE 为正方形；由 PA面 ABCD 得 PEB=90在 Rt PEB 中 BE=,PB=, cosPBE=, AC 与 PB 所成的角为arccos. 解：作 AN CM ,垂足为 N,连结 BN ；在 Rt PAB 中, AM=MB ,又 AC=CB ,AMC B
14、MC , BN CM, 故 ANB 为所求二面角的平面角； CBAC ,由三垂线定理,得 CBPC,在 Rt PCB 中, CM=MB, 所以 CM=AM ；在等腰三角形 AMC 中, AN MC= AN=； AB=2 ,名师归纳总结 cos ANB=；第 18 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故所求的二面角为arccos . 方法二 ：由于 PAAD,PA AB,AD AB, 以 A 为坐标原点, AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,就各点坐标为 A0,0,0 ,B0,2,0 ,C1,1,0 ,D1,0,0 ,P0,0,1
15、,M0,1,. 证明：因=（ 0,0,1）,=（0,1,0）,故,所以 AP DC 又由题设知 AD DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC 面 PAD ,又 DC 在面 PCD 内,面 PAD 面 PCD；（）解：因,|=（1,1,0）,=（0,2, 1）,故 |=|=,由此得 AC 与 PB 所成的角为arccos. 解：在 MC 上取一点N（x,y,z ） , , 就存在R,使,=1,0,=1x,1 y,z, x=1,y=1,z=. 要使 AN MC ,只需；,即xz=0,解得=可知当=时, N 点坐标为（）,能使此时,=（）,有名师归纳总结 - - -
16、 - - - -第 19 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由,得 AN MC ,BN MC 所以 ANB 为所求二面角的平面角；故所求的二面角为arccos . 点评：对于 （ II ）,突出四棱锥体外,人为地构造出ACBE 之后, 依据题设认知这一平行四边形为正方形是解题的关键；一般地,当你人为地构造出某一图形之后,都需要认知并利用这一图形的特殊属性来解题；对于（III ）,第一直接构造出,而后再证明它是所求二面角的平面角；这一方法虽不常用,但也属于基本方法 定义法的应用,需要同学们留意把握；3.（2005 全国卷II ） 如图,四棱锥P-ABCD中,底面A
17、BCD 为矩形, PD底面ABCD ,AD=PD ,E、F 分别为 CD、PB 的中点；（）求证：EF平面 PAB ；（）设,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小；分析：（ I ）为考察EF 与 PA 、PB 之间是否具有垂直关系,考虑构造与点E、 F 有关的,为此,连结PE、BE,就由题设易知,推理由此绽开；AEF 的垂线突破；（ II ）借重推证（I ）的过程中对图形的熟识,从导找或构造平面方法一：（）证明：连结 EP, PD底面 ABCD,DE 在平面 ABCD 内, PDDE ,又 CE=ED , PD=AD=BC ； RtBCE Rt PDE PE=BE ； F 为 PB 中点；
18、 EFPB 由三垂线定理得 PA AB ,在 Rt PAB 中 PF=AF ,又 PE=BE=EA ； EFP EFA ； EFFA. PB、FA 为面平 PAB 内的相交直线； EF平面 PAB ；名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）解：不妨设 BC=1 ,就 AD=PD=1 ；AB= ,PA=,AC= PAB 为等腰直角三角形,且 PB=2 ,F 为其斜边中点,BF=1 ,且 AF PB PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直, PB平面 AEF.连结 BE 交 AC 于 G,作 GH B
19、P 交 EF 于 H,就 GH平面 AEF GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角；由 EGH BGA 可知 EG=GB,EG=EB ,AG=AC=. 由 EGH EBF 可知 GH=BF=. sinGAH=. AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin方法二：以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如下列图的直角坐标系.（）证明：设 E（a,0,0）其中 a0,就 C（2a,0,0）, A（0,1,0）, B（2a,1,0）,P（0,0,1）, F（a,）. =（0,）,=（2a,1,-1）,=（2a,0,0）；, EFPB., EFAB 又 PB平面 PAB ,AB平面 PAB
20、,PBAB=B. EF平面 PAB.（）解：由AB=BC ,得 a=. 名师归纳总结 可得=（,-1,0）,=（,1,-1）第 21 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cos=, 异面直线AC 、PB 所成的角为arccos.=（,-,）. ,PBAF. 又 PBEF,EF、AF 为平面 AEF 内两条相交直线 , 即 AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin .点评：运用解法一,可感觉到这是一道平面几何味道很浓的立体几何题 突破或决战都需要运用平面几何学问与方法；对于（I ）,重点在于证明与利用三角形全等；对于（II ）,就重点
21、在于利用相像三角形沟通联系；运用解法二,证明（I ）简捷明白；解答（II ）只要想到转化或沟通,其设想也简洁实现,由此可见,适当条件下坐标法的优越性；4.（2005 全国卷 III ） 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD 底面 ABCD （）证明AB 平面 VAD ；（）求面VAD与面 VDB 所成的二面角的大小分析：（）从略（）所求二面角的棱为AD ,留意到平面 VAD ,故挑选 “三垂线定理 ”构造或证明该二面角的平面角；方法一：（）证明：（）解：取 VD 的中点 E,连结 AE ,BE 名师归纳总结 VAD 是正三角形AD AB AE
22、第 22 页,共 29 页 AE VD ,AE= AB 平面 VAD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由三垂线定理知 BE VD 因此,是所求二面角的平面角于是,即得所求二面角的大小为方法二： 以 D 为坐标原点,建立如下列图的坐标系（）证明：不妨设,就,由,得又,因而与平面内两条相交直线VA,AD 都垂直平面为中点,就（）解：设由,得,又因此,是所求二面角的平面角；解得所求二面角的大小为点评： 对于（II ）,第一构造出,而后利用已知条件与（1 ）的结果证明它是二面角的平面角,这种“先第 23 页,共 29 页构造,后证明”的策略也是解决几何问题的
23、基本策略；5.（2005 湖北卷） 如图,在四棱锥PABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱PA底面 ABCD ,AB=,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BC=1 ,PA=2 ,E 为 PD 的中点 . （）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（）在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE面 PAC ,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 . 分析：（ 1）为策应 PD 中点 E,连结 AC 、BD ,并设,连结 OE,就,于是所求角易于作出；（2）留意到查找 NE 的难度, 故这里考虑分两步走：第一步, 查找或构造经过 PD 上的
24、点且垂直于平面 PAC 的直线；其次步,确定上述垂线的平行线 NE 的位置；因此,解题从查找或构造平面 PAC 的垂线切入；方法一：（）设 ACBD=O ,连 OE,就 OE/PB , EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 . 在 AOE 中, AO=1 ,OE=即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 . （）在面ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交AB 于 F,就. 连 PF,就在 Rt ADF 中设 N 为 PF 的中点,连 NE,就 NE/DF , DF AC ,DF PA , DF面 PAC ,从而 NE 面 PAC. N 点到 AB 的距离,N 点到 AP 的距离方法二：名师归纳总结 （）建立如下列图的空间直角坐标系,就A、B、C、D、P、E 的坐标为第 24 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A（0