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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高中数学高考综合复习 专题二十九 立体几何专题练习一、挑选题（每题 4 分,共 32 分）1.在棱长为 a 的正方体中,与其中一条棱所在直线异面,并且距离为 a 的棱共有（）A. 4 条 B. 5 条 C. 6 条 D. 7 条2.斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形（）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个3.下面四个命题,正确命题的个数为（）（ 1）两相邻侧棱所成角都相等的棱锥是正棱锥（ 2）两相邻侧面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥（ 3）侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥（ 4）侧面与底面所成二面角
2、都相等的棱锥是正棱锥（A. 0B. 1C. 2D. 3 ）4.已知直线a 是平面 的斜线,当 a 与 b 成 60的角,且b 与 a 在 内的射影成45角时, a 与 所成角是）C. 90 D. 135 A. 60 B. 45 5.设 150 的二面角内有一点 P 到平面 的距离为 a,到棱 AB 的距离为 2a,就点 P 到平面 的距离是（A. aB. C. D. 3a 为（6.如三棱锥的一个平行于底面的截面与底面的面积之比为 1：9,就这个截面把三棱锥的侧面分成两部分的面积之比）A. 1：9B. 1 ：8 C. 1 ：4D. 1 ：3 BCD 与面 BCA 为7.已知三棱锥D-ABC 的三
3、个侧面与底面全等,且,BC=2 ,就以 BC 为棱,以面面的二面角的大小为（）B. C. D. 的度数A. 8.球面上有M 、N 两点,在过M 、N 的球的大圆上,的度数为 90,在过 M 、N 的球的小圆上,为 120 ,又,就球心到上述球的小圆所在的平面的距离为（）B. C. D. A. 名师归纳总结 二、填空题（每题4 分,共 20 分）AE 、 BF 所成角的余弦值为；1.在正方体ABCD-A1B1C1D 1中, E、F 分别为 BB1,CC1的中点,就第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2.点 M
4、为线段 AB 的中点,如 A 、B 到平面 的距离分别为 4cm 和 6cm,就点 M 到平面 的距离为；3.在半径相等的一个球与一个半球内,各有一个内接正方体,就这两个正方体的体积之比为；4.在正四棱锥 P-ABCD 中,如侧面与底面所成二面角的大小为 60,就异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等于（用反三角函数值表示）5.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两相互垂直,Q 为底面上一点,点 Q 到三个侧面的距离分别为 1,2,3,就点 Q到顶点 P 的距离为；三、解答题（本大题共 4 题,每题 12 分,满分 48 分）1、已知三棱柱 ABC-A 1B1C1的底面是边长为 a 的正三角
5、形,侧棱 AA 1 与底面边 AB 、AC 成 45角,且侧棱长为 l,试求：（ 1）它的侧面积；（ 2）AA 1和 BC 的距离；2、如右图所示,在正三棱锥S-ABC 中,过底面顶点B 和侧棱 SA 、SC 上的 E、F 点做一截面BEF 和侧面 SAC 垂直；（ 1）当 E、F 分别为 SA、SC 中点时,求此三棱椎的侧面积与底面积之比；（ 2）如 AB=8 ,斜高,求截面BEF 的面积；3、在棱长为 a 的正方体 ABCD- ABC中, E、 F 分别是 BC , AD的中点；（ 1）求证：四边形 BEDF是菱形；（ 2）求直线 A C与 DE 所成的角；（ 3）求直线 AD 与平面 B
6、EDF所成的角；（ 4）求面 BEDF与面 ABCD 所成的角；4、如图,斜边为 AB 的 Rt ABC ,过 A 作 PA平面 ABC ,AE PB,AF PC,E、F 分别为垂足；（ 1）求证： PB平面 AEF ；（ 2）如,求二面角 A-PB-C 的大小；（ 3）如 PA=AB=2 ,求 为何值时 最大,最大值是多少？答案与解析一、挑选题名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 1.选 A 分析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于棱AB 而言,满意条件的棱有CC1,DD 1,A 1D
7、 1 及 B 1C1 四条；2.选 C 分析：对于斜四棱柱,两个相邻侧面不行能全为矩形（否就将推出侧棱与底面垂直）,故斜四棱柱最多是某个相对 的侧面为矩形,由前一专题的经典例题可知这样的斜四棱柱是存在的；3.选 A 分析：考虑以正三棱锥 P-ABC 为基础构造反例：过顶点 A 的截面 ADE 与 PB、PC 分别交于 D、E,就三棱锥P-ADE 明显满意命题（1）、（ 2）的条件,但它不是正三棱锥,故（ 1）、（ 2）为假命题,又满意（ 3）、（ 4）的条件的棱锥,其底面不肯定是正多边形,故（ 3）、（ 4）亦假命题,因此这里应选 A；认知：棱锥的顶点在底面上的射影：（）假如棱锥的各侧棱相等或
8、各侧棱与底面所成角相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形的外心（外接圆圆 心）；（）假如棱锥的各侧面与底面所成二面角相等或棱锥的顶点究竟面多边形各边的距离相等,就顶点在底面上的射 影（位于多边形内部）为底面多边形的内心（内切圆圆心）；（）对于三棱锥,假如两组对棱垂直,就第三组对棱必定垂直,且顶点在底面上 的射影为底面三角形的垂心；4.选 B 分析：不防设直线 AO 即直线 a,直线 b 经过斜足 O,OB 为 a 在平面 内的射影,又设直线 a 与平面所成角为,就由此图联想并利用 “三余弦定理 ”得：故应选 B 5.选 B 分析：如图,设 于 C,且与面 交于点 D,与面 交于点 E（简单看出
9、, 当点 D 在面 上时会显现冲突）,设面 PCD 与 AB 交于点 F,连结 DF ,CF,就点 E 在 CF 上（ C、E、F 共线于 与面 PCD 的交线）名师归纳总结 ,第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,优秀学习资料欢迎下载从而,为二面角的平面角,又连结 PF,CD 就,由得即 PF 之长为点 P 到棱 AB 的距离因此,在四边形 PCDF 中, PC=a,PF=2a 在 中,故由得于是由 得即点 P 到平面 的距离为,故应选 B；6.选 B 设三棱锥为 V-ABC ,其平行于底面的截面为分析：依据相关定理得即,应选
10、B 7.选 C 名师归纳总结 分析：由题设知,DA=2 ,取 BC 中点为 E,连结 AE 、DE,第 4 页,共 12 页就为这一二面角的平面角；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载由题设得在 AED 中由余弦定理得：,即,应选 C 8.选 B 分析：设球面半径为R,上述球面小圆的半径为r,就由题且又由得,由得 r=1. 所求距离应选 B 二、填空题1.答案：分析：第一立足于在正方体内构造两异面直线所成角,连给 EF, DF,就由四边形 AEFD 为矩形知 DF AE. BFD 为 AE 与 BF 所成角又连结 BD ,并设正方体
11、棱长为 1,就在 中有：,由余弦定理得由此解得2.答案 1cm 或 5cm 提示：留意分两种情形争论名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（ 1）当 A、 B 在平面 同侧时 ；（ 2）当 A、 B 在平面 两侧时 3.答案：分析：设球半径为R,球的内接正方体的棱长为x,半球的内接正方体的棱长为y,就有 由、得 答案应为4.答案：分析： AD BC ,为 PA 与 BC 所成角,设,取 AD 中点为 E,连结 OE,PE,就 为侧面与底面所成二面角的平面角设正四棱锥底面边长为a,就由得, 由得即所
12、求角的大小为名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载5.答案：分析：留意到三棱锥底面的可变性,以 为底面作出已知三棱锥设 面 PAB 于 D,面 PBC 于 E,面 PAC 于 F 并以 QD ,QE,QF 为棱,在三棱锥内作帮助长方体 PQ,就由长方体特性得,对角线三、解答题1.分析：求斜棱柱的倒面积,一种基本解法是构造并利用斜棱柱的直截面,另一种基本解法是在认知各侧面的特点后分而求之；留意到在题设条件下底面 ABC 的垂面量作,故挑选其次种解法,解题从利用题设条件认知图形特点入手；解：（ 1）设
13、 E、E1 分别为 BC ,B1C1 的中点,连结 AE 、EE 1、 A 1E1,可证四边形 A 1AEE 1 为平行四边形作 A 1O 垂直底面 ABC 于点 O ,点 O 在 的平分线 AE 上（证略） A、O、E 三点共线为正三角形BCC 1B 1为矩形；,又,即四边形（ 2）由（ 1）知,名师归纳总结 平面 AEE 1A 1于 F,就,第 7 页,共 12 页在平面 AEE 1A 1 内,过点E 作EF 之长即为所求AA 1 和 BC 间的距离；于 H,连结 A 1H,就在平面 ABC 内,过点O 作- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在中,；
14、优秀学习资料欢迎下载 在中,； 在 中,于是,由 AEE 1A 1 的面积为 AE A 1O=AA 1 EF 棱 AA 1 和 BC 间的距离为点评：此题解答用到了教材习题中的一个结论,经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如要斜线和这个角的两边的夹角相等,那么斜线与平面上的射影是这个角的平分线所在直线；这一命题及其证明方法常常用于解题之中；2.分析：运算面积时,离不开运算对应底边上的高,特别是斜高、底面三角形的高和截面三角形的高相互间的关系,这种关系应当通过垂直截面来表达；解：（ 1）由于正三棱锥 S-ABC 中, E、 F 分别为 SA、SB 的中点, SE=SF, BE=BF ；设 G
15、 为 EF 的中点,连结 BG、EF,就,又平面 BEF平面 SAC , BG 平面 SAC ,从而；延长 SG 交于 AC 于 D,连结 BD ,就 D 为 AC 的中点, G 为 SD 的中点, BD=BS ；设正 ABC 的边长为a,就,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ；优秀学习资料欢迎下载（ 2）由（ 1）,设 O 为 S 在底面上的射影, ,而,；又,点评：为沟通底面、侧面以及截面之间的联系,构选正三棱锥的截面 SBD 对于（ 1）,立足于截面 SBD 中 且 G 为 SD 中点,由此推出 SB=BD
16、,并由此突破难点；对于（ 2）,立足于截面 SBD 导出有关各角与线段的长,由此导出 EF 之值；立足于几何体的某一截面突破难点,这是立体几何解题的基本策略；3.分析：对于（ 1）需分两步证明：一证四边相等,二证四点共面,这两步缺一不行；对于（ 2）留意到DE 在下底面内,故第一考虑在下底面内通过构选平移 DE,为了便于运算,应当不拘泥于在正方体内部构选 ；对于（ 3）,（ 4）,就要在解答（1）,（ 2）时对图形的认知基础上,挑选适当的方法,构选出直线与平面所成角和二面角的平面角；解：名师归纳总结 （ 1）如下图所示,由勾股定理,得,第 9 页,共 12 页下面再证明、E、D、F 四点共面；
17、取 AD 的中点 G,连结、EG,易证是平行四边形,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载又为平行四边形,、E、D、F 四点共面故四边形 是菱形；（ 2）如下图所示,在平面 ABCD 内,过 C 作 CP/DE ,交直线 AD 于 P,就 或其补角为异面直线 与 DE 所成的角；在 中,易得,由余弦定理,得故异面直线 与 DE 所成的角为（ 3） AD 在平面 内的射影在 的平分线上（如下图所示）又是菱形,为 的平分线；故直线 AD 与平面 所成的角为在 中,就故 AD 与平面 所成的角是（ 4）如下图所示,连结EF、,交于 O 点,
18、明显O 为的中点,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载,从而 O 为正方体ABCD-的中心,作平面 ABCD ,就 H 为正方形ABCD 的中心,再作,垂足为M ,连结 OM ,就（三垂线定理）,故为二面角的平面角；在中,斜边就由面积关系,得在 中,故面 与面 ABCD 所成的角为点评：对于（3）,留意到题设条件下,从而断证A 在平面内的射影在的平分线上,进而明确为所求AD与平面所成角；在这里,由已知或图形中发觉的醒目不张扬的角的关系,是解决这一问题的关键；4.分析：对于 （1）,留意立体几何中
19、证明垂直线或平行问题的“轮回特色, 循着从已知线：垂直入手线面垂直面面垂直（新的）图形的基础上构造或运算；解：（ 1）证明：平面 ABC ,又出题设得名师归纳总结 平面 PAC ,平面 PAC=PC 第 11 页,共 12 页 平面平面 PAC 且平面 PBC AF 在平面 PAC 内,且,平面 PBC,而,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 平面 AEF ；,优秀学习资料欢迎下载,；（ 2）解：由（ 1）知是所求二面角的平面角,设AB=a ,就由已知得 在中,（ 3）解：由题意 P、A、 B、E 是定点,而 C、F 是动点且 F 随点 C 运动而运动； 点 C 在平面 ABC 内沿以 AB 为直径的圆周上运动（不含端点 A 、B）,又 平面 AEF ,且, 点 F 在过点 A 且垂直于 PB 的平面内,在以 AE 为直径的圆周上运动（不含 A、E 两点）；当 AF=EF 时,最大,此时 EF=1 ,在 中, 当时最大,最大值为点评：对于（3）,熟悉到 P、A 、B、E 为定点,以及动点下的运动规律是解题的关键,在中,由题设得,故当 EF=AF=1 时,最大是比较明显的；考察 最大时的关键的特点,并由此转化为对有关线段或角的运算,这也是解决立体几何最值问题的思路之一；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页