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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学竞赛专题辅导中位线及其应用例 1 如图 2-53 所示 ABC中, ADBC于 D,E,F,ABC的面积分析 由条件知,EF,EG分别是三角形 ABD和三角形 ABC的中位线利 用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出ABC的高 AD及 底边 BC的长解 由已知, E,F 分别是 AB,BD的中点,所以, EF是 ABD的一条 中位线,所以由条件 AD+EF=12厘米 得 EF=4 厘米 ,从而 AD=8厘米 ,由于 E,G分别是 AB,AC的中点,所以 EG是 ABC的一条中位线,所以BC=2EG=2 6=1
2、2厘米 ,明显, AD是 BC上的高,所以例 2 如图 2 -54 所示 ABC中, B, C的平分线 BE,CF相交于 O,AGBE于 G,AHCF于 H名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 求证： GH BC；2 如 AB=9厘米, AC=14厘米, BC=18厘米,求 GH分析 如延长 AG,设延长线交 BC于 M由角平分线的对称性可以证明 ABG MBG,从而 G是 AM的中点；同样,延长AH交 BC于 N,H是 AN的中点,从而 GH就是 AMN的中位线,所以GH BC,进而,利用ABC的
3、三边长可求出 GH的长度1 证 分别延长 AG,AH交 BC于 M,N,在 ABM中,由已知, BG平 分 ABM,BGAM,所以 ABG MBGASA从而, G是 AM的中点同理可证 ACH NCHASA,从而, H是 AN的中点所以 GH是 AMN的中位线,从而, HG MN,即 HG BC2 解 由1 知, ABG MBG及 ACH NCH,所以 AB=BM=9厘米, AC=CN=14厘米又 BC=18厘米,所以 BN=BC-CN=18-14=4厘米 ,MC=BC-BM=18-9=9厘米 从而 MN=18-4-9=5厘米 ,说明 1 在此题证明过程中, 我们事实上证明白等腰三角形顶角平分
4、 线三线合一 即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线 性质定 理的逆定理： “ 如三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,就这条平 分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形” 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 “ 等腰三角形三线合肯定理” 的下述逆命题也是正确的：“ 如三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,就这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边” 同学们不妨自己证明3 从此题的证明过程中,我们得到启示：如将条件“ B,C的平分线” 改为“ B或C及 C或 B的外角平分线” 如图
5、 2-55 所示 ,或改为“ B, C的外角平分线” 如图 2-56 所示 ,其余条件不变,那么,结论 GH BC仍旧成立同学们也不妨试证例 3 如图 2-57 所示 P 是矩形 ABCD内的一点,四边形 BCPQ是平行 四边形, A ,B ,C , D 分别是 AP,PB,BQ,QA的中点求证： AC=BD 分析 由于 A ,B ,C ,D 分别是四边形 APBQ的四条边 AP,PB,BQ,QA的中点,有体会的同学知道ABCD 是平行四边形, AC与 BD 就是它的对角线,从而四边形ABCD 应当是矩形利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点证 连接 AB ,BC ,CD ,DA ,这四条线
6、段依次是APB, BPQ, AQB, APQ的中位线从而所以, ABCAB AB,BC PQ,CD AB,DA PQ,D 是平行四边形由于ABCD是矩形, PCBQ是平行四边形,所以名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载ABBC,BC PQ从而ABPQ,所以 AB BC ,所以四边形 ABCD 是矩形,所以AC=BD 说明 在解题过程中,人们的体会常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用 如在此题的分析中利用 “ 四边形四边中点连线是平行四边形” 这个体会,对寻求思路起了不小的作用因此留意归纳总结,积
7、存经验,对提高分析问题和解决问题的才能是很有好处的例 4 如图 2-58 所示在四边形 BD的中点求证：ABCD中, CDAB,E,F 分别是 AC,分析 在多边形的不等关系中,简单引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线,为此,取 AD中点证 取 AD中点 G,连接 EG,FG,在 ACD中, EG是它的中位线 已知E是 AC的中点 ,所以所以同理,由 F,G分别是 BD和 AD的中点,从而, FG是 ABD的中位线,在 EFG中,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载EFEG-FG 由,例 5 如
8、图 2-59 所示梯形 ABCD中, AB CD,E 为 BC的中点,AD=DC+AB求证： DEAE分析 此题等价于证明AED是直角三角形,其中 AED=90 在 E 点 即直角三角形的直角顶点 是梯形一腰中点的启示下, 添梯形 的中位线作为帮助线,如能证明,该中位线是直角三角形 AED的斜边 即 梯形另一腰 的一半,就问题获解证 取梯形另一腰 AD的中点 F,连接 EF,就 EF是梯形 ABCD的中位线,所以由于 AD=AB+CD,所以从而1=2,3=4,所以 2+3=1+4=90 ADE的内角和等于 180 从而AED=2+3=90 ,所以 DEAE名师归纳总结 - - - - - -
9、-第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 6 如图 2-60 所示 ABC外一条直线 l ,D,E,F 分别是三边的中 点, AA1,FF1,DD 1,EE1都垂直 l 于 A1,F1,D1,E1求证：AA1+EE1=FF1+DD 1分析 明显 ADEF是平行四边形,对角线的交点O平分这两条对角线,OO 1恰是两个梯形的公共中位线利用中位线定理可证证 连接 EF,EA,ED由中位线定理知, EF AD,DE AF,所以 ADEF是平行四边形,它的对角线 AE,DF相互平分,设它们交于 O,作 OO 1l于 O1,就 OO 1是梯形 AA1E
10、1E及 FF1D1D的公共中位线,所以即 AA1+EE1=FF1+DD 1练习十四1已知 ABC中,D为 AB的中点, E 为 AC上一点, AE=2CE,CD,BE交于 O点, OE=2厘米求 BO的长2已知 ABC中, BD,CE分别是 ABC, ACB的平分线, AHBD于 H,AFCE于 F如 AB=14厘米, AC=8厘米, BC=18厘米,求 FH的长3已知在 ABC中,ABAC,ADBC于 D,E,F,G分别是 AB,BC,AC的中点求证： BFE=EGD名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4如图 2-61 所示在四边形 ABCD中, AD=BC,E,F 分别是 CD,AB 的中点,延长 AD,BC,分别交 FE的延长线于 H,G求证： AHF=BGF5在 ABC中,AHBC于 H,D,E,F 分别是 BC,CA,AB的中点 如图 2-62 所示 求证： DEF=HFE6如图 2-63 所示 D,E分别在 AB,AC上, BD=CE,BE,CD的中点分别是 M,N,直线 MN分别交 AB,AC于 P,Q求证： AP=AQ7已知在四边形 ABCD中, ADBC,E,F 分别是 AB,CD名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页