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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；2. yax2c 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,
2、y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y随 x 的增大而减小；xh时,y有最小值0a0向下h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 4. ya xh2k 的性质：对称轴性质a 的符号开口方向顶点坐标a0向上h,kX=h xh 时, y 随 x
3、的增大而增大；xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法一：精品资料欢迎下载h2k ,确定其顶点坐标h,k；将抛物线解析式转化成顶点式ya x2 保持抛物线 y ax 的外形不变,将其顶点平移到 h,k 处,详细平移方法如下：向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左 h0【或下
4、k0【或下 k0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“ 左加右减,上加下减”方法二：名师归纳总结 yax2bxc沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位,yax2bxc变成第 2 页,共 4 页yax2bxcm（或yax2bxcm）yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,yax2bxc变成ya xm 2bxmc（或yaxm2b xmc）三、二次函数ya xh2k 与yax2bxc的比较从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即ya xb2
5、4aca2 b,其中hb,k4acb22 a42a4 a四、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与 x 轴的交点x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点 . 五、二次函数yax2bxc的性质1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4
6、 ac4ab22a2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当xb精品资料x欢迎下载xb时, y 随 x 的增大而减小； 当b时, y 随 x 的增大而增大； 当2a2a2a时, y 有最小值4acb2xb,顶点坐标为b,4 ac4ab2当4 a2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为2a2 axb时, y 随 x 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y2a2a2 a有最大值4acab24六、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b, c 为常数,a 0）；22. 顶点式：y a x h k
7、（ a , h , k 为常数,a 0）；3. 两根式：y a x x 1 x x 2 （a 0,1x ,x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 24 ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c 中, a 作为二次项系数,明显 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,
8、抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来,a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b名师归纳总结 在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴第 3 页,共 4 页 在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2 a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2 a 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2 a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当b0时,b0,即
9、抛物线对称轴在y 轴的左侧2 a总结起来,在a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ab 的符号的判定：对称轴x精品资料欢迎下载ab0,在 y 轴的右侧就ab0,b在 y 轴左边就2 a概括的说就是“ 左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来,
10、 c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y2 a
11、 xhb x关于 x 轴对称后,得到的解析式是yyax2bxc ；ya x2a xh2k ；k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2. 关于 y 轴对称y2 a xhb x关于 y轴对称后,得到的解析式是yyax2bxc ；ya x2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是a xh2k ；3. 关于原点对称名师归纳总结 y2 a xb x关于原点对称后,得到的解析式是yyax2bxc；第 4 页,共 4 页yax2 hk关于原点对称后,得到的解析式是a xh2k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）yyax2bxcb2；y2 a xb x关于顶点对称后,得到的解析式是2aya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是a xh2k - - - - - - -