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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数综合二次函数与等腰三角形的点存在性问题适用学科数学适用年级初三北师大版适用区域课时时长（分钟）120 学问点1.二次函数综合2.等腰三角形的性质3. 等腰三角形的判定4.相像三角形的性质5.勾股定理 6.二次函数解析式的确定教学目标 1. 娴熟运用所学学问解决二次函数综合问题2. 敏捷运用数形结合思想教学重点 奇妙运用数形结合思想解决综合问题教学难点 敏捷运用技巧及方法解决综合问题教学过程一、复习预习1.二次函数的基础学问2.等腰三角形的性质3.相像三角形的性质二、学问讲解考点 1 二次函数的基础学问名师归纳总结 1.
2、 一般地,假如y=ax2+bx+c （a,b ,c 是常数且 a 0）,那么 y 叫做 x 的二次函数,它是第 1 页,共 15 页关于自变量的二次式,二次项系数必需是非零实数时才是二次函数,这也是判定函数是不是二次函数的重要依据当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简洁的二次函数2.二次函数y=ax2+bx+c（ a,b ,c 是常数, a 0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式： y=a （xh ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2+k ,通常要知道顶点坐标
3、或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （ xx 1）（xx2）,通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标 x 1,x 2 才能求出此解析式；对于 y=ax2+bx+c 而言,2b 4 ac b其顶点坐标为（,）对于 y=a （xh）2+k 而言其顶点坐标为（h,k ）,.2 a 4 a由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向, 对称轴, 顶点考点 2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“ 等边对等角” ）；2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合（简写成“ 等腰三角形的三线合一性质” ）；3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两
4、条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）；4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）；7.等腰三角形是轴对称图形,（不是等边三角形的情形下）只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴；8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高；间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方；考点 3 相像三角形的性质1.相像三角形对应角相等,对应边成正比例；2.相像三角形的一切对
5、应线段径等）的比等于相像比；对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半3.相像三角形周长的比等于相像比；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4.相像三角形面积的比等于相像比的平方；5.相像三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相像比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.如 a/b =b/c,即 b2=ac ,b 叫做 a,c 的比例中项7.c/d=a/b 等同于 ad=bc. 8.不必是在同一平面内的三角形里（1 ）相像三角形对应角相等,对应边成比例 . （2 ）相像三角形对应高的比
6、,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比 . （3 ）相像三角形周长的比等于相像比三、例题精析【例题 1 】如图,抛物线 y-x2+ x-4 与 x 轴相交于点、,与 y 轴相交于点,抛物线的对称轴与 x 轴相交于点；是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）；分别过点、 作直线的垂线,垂足分别为、,连接、；（1 ）求点、的坐标（直接写出结果）,并证明 是等腰三角形；（2 ） 能否为等腰直角三角形？如能,求此时点的坐标,如不能,说明理由；（3 ）如将“ 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）” 改为“ 是抛物线在 x 轴下方的一个动点” ,其他条件不变, 能否
7、为等腰直角三角形？如能,求此时点的坐标（直接写出结果）,如不能,说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【答案】（1 ）抛物线解析式为 y= x2+ x 4,令 y=0 ,即x2+ x 4=0 ,解得 x=1 或 x=5 ,A（1,0）,B（5,0）如答图 1 所示,分别延长 AD 与 EM ,交于点 F；AD PC, BEPC,AD BE,MAF= MBE ；在 AMF 与 BME 中,MAF= MBE ,MA=MB,AMF= BME ；AMF BME （ASA ）,ME=MF ,即点 M
8、为 Rt EDF 斜边 EF 的中点,MD=ME,即 MDE 是等腰三角形（2 ）能；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线解析式为y= x2+学习必备欢迎下载,x 4= （x 3）2+对称轴是直线 x=3 , M （3, 0）；令 x=0 ,得 y= 4 ,C（ 0,4）MDE 为等腰直角三角形,有 3 种可能的情形；如 DE EM,由 DEBE,可知点 E、M 、B 在一条直线上,而点 B、M 在 x 轴上,因此点 E 必定在 x 轴上,由 DEBE,可知点 E 只能与点 O 重合,即直线 PC 与 y 轴重
9、合,不符合题意,故此种情形不存在；如 DE DM ,与同理可知,此种情形不存在；如 EM DM ,如答图 2 所示设直线 PC 与对称轴交于点 N ,EM DM ,MN AM ,EMN= DMA 在 ADM 与 NEM 中,EMN= DMA, EM=DM, ADM= NEM=135 ；ADM NEM （ASA ）,MN=MA 名师归纳总结 抛物线解析式为y= x2+,x 4= （x 3 ）2+,故对称轴是直线x=3 ,第 5 页,共 15 页M （3,0）, MN=MA=2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载N（3,2 ）设直线 PC
10、解析式为 y=kx+b,点 N（3 ,2 ）, C（0 , 4）在抛物线上,解得 k=2 , b= 4,y=2x 4 x 4 ,3）将 y=2x 4 代入抛物线解析式得2x 4= x2+解得 x=0 或 x=,P 坐标为（当 x=0 时,交点为点C；当 x=时, y=2x 4=3 P（,3）综上所述, MDE 能成为等腰直角三角形,此时点（3 ）能；如答题 3 所示,设对称轴与直线 PC 交于点 N；与（ 2）同理,可知如MDE 为等腰直角三角形,直角顶点只能是点 M ；MD ME ,MA MN ,DMN=EMB MDN=MEB=45 ；在 DMN与 EMB 中,DMN=EMB ,MD=MB,
11、DMN EMB （ ASA ）,MN=MB；N（3, 2）名师归纳总结 设直线 PC 解析式为 y=kx+b,点 N（3 , 2）,C（ 0,4）在抛物线上,第 6 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,解得 k=学习必备欢迎下载, b= 4,y=x 4 将 y=x 4 代入抛物线解析式得x 4= x2+x 4 ,）解得 x=0 或 x=,P 坐标为（当 x=0 时,交点为点C；当 x=时, y=x 4=P（,）综上所述, MDE 能成为等腰直角三角形,此时点【解析】（1 ）在抛物线解析式中,令y=0 ,解一元二次方程,可求得点A、点 B
12、 的坐标；如答图 1 所示, 作帮助线, 构造全等三角形的中点,从而得到MD=ME,问题得证；AMF BME ,得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF（2 ）第一分析,如 MDE 为等腰直角三角形,直角顶点只能是点 M ；如答图 2 所示,设直线 PC 与对称轴交于点 N,第一证明 ADM NEM ,得到 MN=AM,从而求得点 N 坐标为（ 3,2）；其次利用点 N 、点 C 坐标,求出直线 PC 的解析式；最终联立直线 PC 与抛物线的解析式,求出点 P 的坐标；（3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时,解题思路与（2）完全相同；【例题 2 】如图,已知抛物线y= ax2+ b
13、x+ c 与 x 轴一个交点A 的坐标为（1,0）,对称轴为直线x= 2 名师归纳总结 （1 ）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；AB 为一底边的梯形第 7 页,共 15 页（2 ）点 D 是抛物线与y 轴的交点,点C 是抛物线上的另一点已知以ABCD 的面积为 9求此抛物线的解析式,并指出顶点E 的坐标；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3 ）点 P 是（ 2）中抛物线对称轴上一动点,且以 1 个单位 / 秒的速度从今抛物线的顶点 E向上运动设点P 运动的时间为t 秒t 为或秒时, PAD 是以 AD 为腰当 t 为秒时,
14、PAD 的周长最小？当的等腰三角形？（结果保留根号）点 P 在运动过程中,是否存在一点P,使 PAD 是以 AD 为斜边的直角三角形？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由【答案】（1 ）由抛物线的轴对称性及（2 ）设抛物线的对称轴交A（ 1 ,0 ）,可得 B（ 3,0）CD 于点 M ,交 AB 于点 N ,由题意可知ABCD,由抛物线的轴对称性可得CD=2DM MN y 轴,ABCD,四边形 ODMN是矩形 DM=ON=2 ,名师归纳总结 CD=2 2=4 第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 A
15、（ 1 ,0 ）,B（ 3,0 ）, AB=2 ,梯形 ABCD 的面积 =（AB+CD ） .OD=9 , OD=3 ,即 c=3 把 A（1,0）,B（ 3,0）代入 y=ax2+bx+3得,解得 y=x2+4x+3 将 y=x2+4x+3化为顶点式为y= （x+2 ）2 1,得 E（ 2, 1）秒时,PAD 是以（3 ）当 t 为 2 秒时,PAD 的周长最小；当t 为 4 或 4或 4+AD 为腰的等腰三角形存在 APD=90 ,PMD= PNA=90 , PDM+ APN=90 ,DPM+ PDM=90 , PDM= APN, PMD= ANP,APNPDM,=,=, PN2 3PN
16、+2=0, PN=1 或 PN=2 名师归纳总结 P（ 2,1）或（2,2）第 9 页,共 15 页故答案为： 2 ；4 或 4 或 4+- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】（1 ）依据抛物线的轴对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2 ）先依据梯形 ABCD 的面积为 9,可求 c 的值, 再运用待定系数法可求抛物线的解析式,转化为顶点式可求顶点 E 的坐标；（3 ）依据轴对称 最短路线问题的求法可得的周长最小时 t 的值；依据等腰三角形的性质可分三种情形求得是以 AD 为腰的等腰三角形时 t 的值；先证明AP
17、NPDM,依据相像三角形的性质求得PN 的值,从而得到点 P 的坐标四、课堂运用【基础】如图, 二次函数 y= ax2+ bx+ c 的图象的顶点C 的坐标为 （0 ,-2 ）,交 x 轴于 A 、B 两点,其中 A（-1 ,0）,直线 l： x= m（m 1）与 x 轴交于 D；（1 ）求二次函数的解析式和 B 的坐标；（2 ）在直线 l 上找点 P（P 在第一象限） ,使得以 P、D、B 为顶点的三角形与以 B、C、O为顶点的三角形相像,求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3 ）在（ 2）成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直
18、角三角形？假如存在,恳求出点 Q 的坐标；假如不存在,请说明理由；y 【巩固】A O B D x 名师归纳总结 如图,已知抛物线 C y= x2+ bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点C,如已知第 10 页,共 15 页l A 点的坐标为A（2,0）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1 ）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2 ）求点 C 的坐标,连接AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3 ）试判定 AOC 与 COB 是否相像？并说明理由；（4 ）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 ACQ 为等
19、腰三角形？如不存在,求出符合条件的 Q 点坐标；如不存在,请说明理由【拔高】如图,已知抛物线经过A（1,0）,B（0,3 ）两点,对称轴是x= 1（1 ）求抛物线对应的函数关系式；名师归纳总结 （2 ）动点 Q 从点 O 动身,以每秒1 个单位长度的速度在线段OA 上运动,同时动点M 从第 11 页,共 15 页M 从 O 点动身以每秒3 个单位长度的速度在线段OB 上运动, 过点 Q 作 x 轴的垂线交线段AB 于点 N ,交抛物线于点P,设运动的时间为t 秒当 t 为何值时,四边形OMPQ为矩形；AON能否为等腰三角形？如能,求出t 的值；如不能,请说明理由- - - - - - -精选学
20、习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课程小结本节课主要讨论了二次函数和等腰三角形的点存在性问题,考查了同学是否能够敏捷运用二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、相像三角形的性质、等腰三角形的性质等学问点解决实际问题,注意数形结合思想及分类思想的运用；课后作业【基础】如图, 在平面直角坐标系中,抛物线 y= ax2+ bx -2 与 x 轴交于点 A（-1 ,0 ）、B（4 ,0）点名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载M 、N 在 x 轴上,点N 在点
21、 M 右侧, MN =2 以 MN 为直角边向上作等腰直角三角形 CMN ,CMN =90 设点M 的横坐标为 m（1）求这条抛物线所对应的函数关系式 . （2）求点 C 在这条抛物线上时 m 的值 . （3）将线段 CN 绕点 N 逆时针旋转90 后,得到对应线段 DN . 当点 D 在这条抛物线的对称轴上时,求点 D 的坐标 . 以 DN 为直角边作等腰直角三角形 直接写出全部符合条件的 m 值. DNE, 当点 E 在这条抛物线的对称轴上时,【参考公式：抛物线yax2bxc （a 0）的顶点坐标为b,4 acab2】2a4【巩固】名师归纳总结 如图,直线y3x3交 x 轴于 A 点,交
22、y 轴于 B 点,过 A、B 两点的抛物线交x 轴于第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载另一点 C（3,0 ）. yB A O C x 求抛物线的解析式 ; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使 ABQ是等腰三角形？如存在,求出符合条件的 Q 点坐标；如不存在,请说明理由. 【拔高】名师归纳总结 已知抛物线 :y=x2 -2 x+m-1 与 x 轴只有一个交点,且与y 轴交于 A 点, 第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,设它的顶点为B学习必备欢迎下载1 求 m 的值；2 过 A 作 x 轴的平行线,交抛物线于点C,求证是 ABC 是等腰直角三角形；3 将此抛物线向下平移 4 个单位后,得到抛物线 C,且与 x 轴的左半轴交于 E 点,与 y 轴交于 F 点,如图 .请在抛物线 C上求点 P,使得 EFP是以 EF 为直角边的直角三角形 . yA CEOBxF名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页