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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一章勾股定理专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少,常与方程、函数,四边形等学问综合在一起考查,在中考试卷中的常见题型为填空题、挑选题和较简洁的解答题典例剖析150 60 B 60 例 1（1）如图 1 是一个外轮廓为矩形的机器A 零件平面示意图,依据图中的尺寸（单位：mm ）,运算两圆C 孔中心 A 和 B 的距离为 _ mm a 180 c l （2）如图 2,直线 l 上有三个正方形a, ,c,图 1 如 a,c的面积分别为5 和 11,就 b 的面积为（）b 4 6 16 55 图 2 分析：此
2、题结合图中的尺寸直接运用勾股定理运算即可解：（1）由已知得： AC=150-60=90,BC=180-60=120,由勾股定理得：名师归纳总结 AB 2=90 2+1202=22500,所以 AB=150（mm）第 1 页,共 13 页（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16,应选 C点评： 以上两例都是勾股定理的直接运用,当已知直角三角形的两边,求第三边时,往往要借助于勾股定理来解决A 5E5 A 5E5例 2如图 3,正方形网格的每一个小正方形的A 4C4A 4C4C3E2A 3A 3边长都是 1,试求C2A 2E A 2A E A 2A E C4A E C4的度数A 1B 1C 1
3、D1E 1A 1B 1C1D 1E 1解：连结图 3 A E A A 2A A 2,A E2A E2,A A E2A A E290,RtA A E2RtA A E2（SAS）AEA 3 2 2AEA 1 2 2由勾股定理,得：C E 4 52 22 15C E ,3 2A E 4 52 42 117A E ,3 2A C4A C32,A C E 5A C E2（SSS）AEC 3 2 3AEC 4 5 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A E A 2A E C4学习必备欢迎下载A E C4A E C3A E C A E C4A E C4由图可知E C
4、 C4为等腰直角三角形A E C 445即A E A 2A E C4A E C445点评： 由于在正方形网格中,它有两个主要特点：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线,所以格点间的任何线段长度都能求得（2）利用正方形的性质,我们很简洁知道一些特别的角,如 45 0、90 0、135 0,便一目了然以上两例就是依据网格的直观性,再结合图形特点,运用勾股定理进行运算,易求得线段和角的特别值,重点考查同学的直觉观看才能和数形结合的才能专练一：1、 ABC中, A： B： C=2：1：1,a,b,c 分别是 A、 B、 C 的对边,就以下各等式中成立的是（）（ A）a 2b 2c
5、；（B）2a 22 b ； （ C）2c 22 a ； （D）2b 22 a 22、如直角三角形的三边长分别为 2,4, x,就 x 的可能值有（）（ A）1 个；（B）2 个；（ C）3 个；（D）4 个3、一根旗杆在离底面 4.5 米的地方折断,旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处,就旗杆折断前高为（）（ A）10.5 米；（B）7.5 米；（C）12 米；（D）8 米4、以下说法中正确的有（）（ 1）假如 A+B+C=3：4：5,就 ABC 是直角三角形； （2）假如 A+B=C,那么 ABC是直角三角形； （3）假如三角形三边之比为6：8：10,就 ABC是直角三角形；（4）假如三边长分别
6、是n21,2 , n n21 n1,就 ABC是直角三角形；（ A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个图 4 5、如图 4 是某几何体的三视图及相关数据,就判定正确选项（）A a c Bbc C 4a2+b 2=c2 Da2+b2=c 26、已知直角三角形两边长分别为3、4,就第三边长为7、已知直角三角形的两直角边之比为3：4,斜边为 10,就直角三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的两直角边的长分别为学习必备欢迎下载8、利用图 5（1）或图 5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一
7、个非常著名的定理,这个定理称为,该定理的结论其数学表达式是IJ G EF D CH A B图 5（1）图 5（2）图 6 9、一棵树因雪灾于 A 处折断,如下列图,测得树梢触地点 B 到树根 C处的距离为 4 米,ABC约 45 ,树干 AC垂直于地面, 那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号） 10、如图 6,假如以正方形 ABCD的对角线 AC为边作其次个正方形 ACEF,再以对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH,如此下去, ,已知正方形 ABCD的面积 S 为 1,按上述方法所作的正方形的面积依次为 S 2,S 3, , Sn（ n 为正整数）,A 那么第 8 个正方形的
8、面积 S 8_；11、 如图 7,在 ABC中, AB=AC=10,BC=8用尺规作图B C 作 BC边上的中线 AD（保留作图痕迹,不要求写作法、证明）,图 7 并求 AD的长12、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和 10 cm,求这个三角形的面积. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载13、在ABC中, C=90 , AC=2.1 cm, BC=2.8 cm （ 1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长 . （ 2）求斜边被分成的两部分AD和 BD的长 . 14、如图
9、 8：要修建一个育苗棚,棚高h=1.8 m,棚宽 a=2.4 m,棚的长为 12 m,现要在棚顶上掩盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜？图 8 15、如图 9,已知长方形 ABCD中 AB=8 cm,BC=10 cm,在边 CD上取一点 E,将 ADE折叠使点D恰好落在 BC边上的点 F,求 CE的长 . 图 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载专题二：能得到直角三角形吗考点分析：本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用,它在中考试卷中不单独命题,常与其它学问综合命题典例剖析例 1如图 10,A
10、、B两点都与平面镜相距 4 米,且 A、B 两点相距 6 米,一束光线由 A射向平面镜反射之后恰巧经过 B点,求 B点到入射点的距离 . 分析：此题要用到勾股定理,全等三角形,轴对称及物理上的光的反射的学问 . 图 10 解：作出 B 点关于 CD的对称点 B,连结 AB,交 CD于点 O,就 O点就是光的入射点,由于 BD=DB,所以 BD=AC, BDO= OCA=90 , B=CAO所以 BDO ACO SSS ,就 OC=OD= 1 AB= 1 6=3 米,连结 OB,在 Rt ODB中,OD 2+BD 2=OB 2,2 2所以 OB 2=3 2+4 2=5 2,即 OB=5 米 ,所
11、以点 B 到入射点的距离为 5 米. 评注： 这是以光的反射为背景的一道综合题,学习物理的基础涉及到很多几何学问,由此可见,数学是例 2假如只给你一把带刻度的直尺,你是否能检验MPN是不是直角, 简述你的作法分析：只有一把刻度尺,只能用这把刻度尺量取线段的长度,如P 是一个直角,P所在的三角形必是个直角三角形,这就提示我们把逆定理来解决此题P放在一个三角形中,利用勾股定理的名师归纳总结 作法：在射线PM上量取 PA=3,确定 A点,第 5 页,共 13 页在射线 PN上量取 PB=4,确定 B 点图 11 连结 AB得 PAB用刻度尺量取AB的长度,假如 AB恰为 5 ,就说明 P是直角,否就
12、P不是直角理由： PA=3, PB=4, PA 2 +PB2 =32 +42 =52 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 AB=5,就 PA 2 +PB2 =AB学习必备欢迎下载PAB是直角三角形,P 是2 ,依据勾股定理的逆定理得直角说明：这是一道动手操作题,是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型应用学生既要会动手操作,又必需能够把操作的步骤完整的表述出来,同时要清晰每个操作题的理论基础专练二：1做一做：作一个三角形,使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2断一断：设三角形的三边分别等于以下各组数：7,8,
13、10 7,24,25 12,35,37 13,11,10 （ 1）请判定哪组数所代表的三角形是直角三角形,为什么？（ 2）把你判定是Rt 的哪组数作出它所表示的三角形,并用量角器来进行验证. 3 算一算：一个零件的外形如图12,已知 AC=3, AB=4, BD=12,求： CD的长D C 4一个零件的外形如图13 所示,工人师傅按规定做得A 图 12 B AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅运算一下这块钢板的面积吗？图 13 名师归纳总结 5如图 14,等边三角形ABC内一点 P,AP=3,BP=4,CP=5,求 APB的度数 . 第 6 页
14、,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图 14 6如 ABC的三边长为 a, b, c,依据以下条件判定ABC的外形 . （ 1）a 2+b 2+c 2+200=12a+16b+20c 2 a 3a 2b+ab 2 ac 2+bc 2b 3=0 7请在由边长为 1 的小正三角形组成的虚线网格中,画出 1 个全部顶点均在格点上,且至少有一条边为无理数的等腰三角形8为筹备迎新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图 15,已知圆筒高108 ,其截面周长为36 ,假如在表面缠绕油纸4 圈,应裁剪多长
15、油纸图 15 专题三：蚂蚁怎样走最近名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点分析：勾股定理在实际生活中的应用较为广泛,它经常单独命题,有时也与方程、函数, 四边形等学问综合在一起考查,在中考试卷中的常见题型为填空题、挑选题和较简洁的解答题典例剖析例 1如图 16（ 1）所示,一个梯子AB长 2.5 米,A B A D 顶端 A 靠在墙 AC上,这时梯子下端B与墙角 C距离图16E 为 1.5 米,梯子滑动后停在DE位置上,如图10（2）所示,测得得 BD=0.5 米,求梯子顶端A 下落了多少米？C
16、B 分析： 梯子顶端 A 下落的距离为AE,C （ 1）图 16（2）（2）即求 AE的长已知AB和 BC,依据勾股定理可求AC,只要求出 EC即可；解：在 Rt ACB中, AC 2=AB 2-BC2=2.52-1.52=4,222 25AC=2, BD=0.5, CD=2在Rt ECD中,EC2ED2CD22 2 5EC=1.5,AEACEC21505 . ,所以,梯子顶端下滑了0.5 米点评：在实际生活、生产及建筑中,当人们自身高度达不到时,往往要借助于梯子,这时对梯子的挑选, 及梯子所能达到的高度等问题,往往要用到勾股定理的学问来解决但要留意： 考虑梯子的长度不变例 2有一根竹竿 ,
17、不知道它有多长 . 把竹竿横放在一扇门前 , 竹竿长比门宽多 4 尺；把竹竿竖放在这扇门前 , 竹竿长比门的高度多 2 尺； 把竹竿斜放 , ,竹竿长正好和门的对角线等长 . 问竹竿长几尺 . 分析：只要依据题意,画出图形,然后利用勾股定理,列出方程解之解：设竹竿长为x 尺；就：（x4）2+（x2）2=x2 x1=10 ,x 2=2（不合题意舍去）东答：竹竿长为10 尺；评注：此题是勾股定理与方程的综合应用问题,它综合考查了同学们的建模思想和方法的懂得和运用,符合新课程标准的理念,请留意这类问题！北例 3如图 17,客轮在海上以30km/h 的速度由 B 向 C 航行,BA在 B 处测得灯塔
18、A 的方位角为北偏东80 ,测得 C 处的方位角为南D 偏东 25 ,航行1 小时后到达 C 处,在 C 处测得 A 的方位角为北C图 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 偏东 20 ,就 C 到 A 的距离是（学习必备欢迎下载）A15 6 km；B 15 2 km；C 15 6 2 km；D 5 6 3 2 km 分析：此题是一道以航海为背景的应用题,由已知条件分析易知ABC 不是直角三角形,这就需要作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,问题便可得到解决解：由条件易得：C=45 0, ABC=75 0
19、,就 A=60 0,过 B作 BDAC,垂足为 D, BCD是等腰直角三角形,又BC=30km,由勾股定理得：2CD 2=30 2, CD=15 2 , BD=15 2 ,设 AD=x,就 AB=2x,由勾股定理得：BD= 3x ,3x =15 2 , x= 5 6 , AC=15 2 +5 6 ,应选 D点评：在航海中,有时需要求两船或船与某地方的距离,以保证航海的安全,有时就需要用勾股定理及判定条件来加以解决,娴熟应用勾股定理是解题的关键专练三：1小明从家走到邮局用了8 分钟,然后右转弯用同样的速度走了6书图 18 家分钟到达书店 如图 18, 已知书店距离邮局640 米,那么小明家距离书
20、店米邮2一根新生的芦苇高出水面1 尺,一阵风吹过,芦苇被吹倒一边,顶端齐至水面, 芦苇移动的水平距离为5 尺,就水池的深度和芦苇的长度各是10m,为建起栅3小明叔叔家承包了一个矩形养鱼池,已知其面积为48m 2 ,其对角线长为栏,要运算这个矩形养鱼池的周长,你能帮忙小明算一算,周长应当是4求图 19 所示（单位mm）矩形零件上两孔中心 A和 B 的距离（精确到0lmm）图 19 5假期,小王与同学们在公园里探宝玩嬉戏,依据嬉戏中提示的方向,他们从 A 动身先向名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正东走了 800 米,
21、再向正北走了学习必备欢迎下载300 米,再向正北走600 米,再向200 米,折向正西走正东走 100 米,到达了宝藏处B,问 A、B 间的直线距离是A 米C 6如图 20 所示,为修铁路需凿通隧道AC,测得 A=53 ,B=37 AB=5km,BC=4km,如每天凿0.3km,试运算需要几天才能把隧道AC凿通图 20 B7如图 21,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线 AD折叠,使它落在斜边 AB上, 且与 AE重合 , 你能求出 CD的长吗？CDBE图 21 A8观看以下表格：列举b、c 的值；猜想3、4、5 3 2=4+5 5、12、13 52
22、=12+13 7、24、25 72=24+25 13、 b、c 132=b+c 请你结合该表格及相关学问,求出9如图 22 所示的一块地,AD=12m,CD=9m, ADC=90 , AB=39m,BC=36m,求这块地的面 A D 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载积参考答案 专练一：13200 3；212,13； 3 28；5、1000 6 解：由于 A=53 , B=37 ACB=90 ,在 Rt ABC中, AC 2 =AB 2 -BC2 =52 -42 =9,所以AC=3,需要的时间t
23、AC3100.30.3（天）答：需要 10 天才能把隧道AC凿通；7由勾股定理得：AB=10,设 CD=x,就 DE=x,BD=8-x,BE=4,由勾股定理得：42+x2=8-x2,解得 x=3,即 CD=3 812,5 9连结 AC,在 Rt ADC中,名师归纳总结 AC2CD2AD22 1292225,AC15,在ABC中, AB 2=1521 第 11 页,共 13 页AC2BC22 152 361521,AB2AC2BC2,ACB90SABCSACD1AC BC1AD CDA 2211536112927054216m2D 22答：这块地的面积是216 平方米；专练二：C B 1做一做：
24、 5 cm 所对的角是直角,由于在直角三角形中直角所对边最长. 2断一断： 1 72+242=25 2, 122+352=37 2 2略3解：在直角三角形ABC 中,依据勾股定理：BC 2 =AC 2 +AB2 =32 +42 =25,在直角三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载CBD中,依据勾股定理：CD 2 =BC 2 +BD 2 =25+12 2 =169, CD=134 4 2+3 2=5 2,5 2+12 2=13 2, 即 AB 2+BC 2=AC 2,故 B=90 , 同理, ACD=90S 四边形 ABCD=S AB
25、C+S ACD= 1 3 4+ 1 5 12=6+30=36. 2 25解：如图 , 以 AP为边作等边 APD,连结 BD. 就1=60 BAP= 2, 在 ADB和 APC中, AD=AP. 1= 2,AB=AC ADB ADC SAS BD=PC=5,又 PD=AP=3,BP=4 BP 2+PD 2=4 2+3 2=25=BD BPD=90 APB=APD+BPD=15061 a 2+b 2+c 2+100=12a+16b+20c, a 212a+36+ b 216b+64+ c 220c+100=0 ,即 a6 2+ b8 2+c10 2=0 a6=0, b 8=0, c 10=0,即
26、 a=6, b=8, c=10,而 6 2+8 2=100=10 2, a 2+b 2=c 2, ABC为直角三角形 . 2 a 3 a 2b+ ab 2 b 3 ac2bc2=0 ,a 2 a b+ b 2 a b c2 a b=0 , a b a2+b 2c2=0 ab=0 或 a 2+b2c2=0,此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形. 7解：此题答案不惟一,只要符合要求都可以,以下答案供参考8解：将圆筒绽开后成为一个矩形,如图,名师归纳总结 整个油纸也随之分成相等4 段只需求出AC长第 12 页,共 13 页即可,在 Rt ABC中, AB=36, BC= 108427由勾股定理得A
27、C2 =AB2 +BC 2 =362 +272AC=45,故整个油纸的长为45 4=180（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载专练三：1、C；2、B；3、B；4、C；5、D； 6、5,7 ；7、6, 8；8、勾股定理,a2b22 c ；9、44 2 ；10、128；11、（1）作图略；（2）在 ABC 中, AB=AC,AD是 ABC的中线, ADBC,BDCD1BC184.22在 Rt ABD中, AB10,BD4,AD2BD22 AB ,ADAB2BD22 102 42 21. 12、如图：等边ABC中 BC=12 cm,AB=
28、AC=10 cm 作 ADBC,垂足为 D,就 D为 BC中点, BD=CD=6 cm 在 Rt ABD中, AD 2=AB 2BD 2=10 26 2=64 AD=8 cm S ABD=1 BC AD= 21 12 8=48cm 22 13、解： 1 ABC中, C=90 , AC=2.1 cm ,BC=2.8 cm AB 2=AC 2+BC 2=2.1 2+2.8 2=12.25 AB=3.5 cm , S ABC= 1 ACBC= 1 ABCD, ACBC=AB CD,2 2CD= AC BC = 2 . 1 .2 8 =1.68cm AB 3 . 52 在 Rt ACD中,由勾股定理得
29、：AD 2+CD 2=AC 2,AD 2=AC 2CD 2=2.1 2 1.68 2=2.1+1.682.11.68 =3.78 0.42=2 1.89 2 0.21=2 2 9 0.21 0.21 ,AD=2 3 0.21=1.26cm , BD=ABAD=3.5 1.26=2.24cm 14、解：在直角三角形中,由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为 膜的面积是： 3 12=36m 2 3 m, 所以矩形塑料薄名师归纳总结 15、解：依据题意得：Rt ADERt AEF, AFE=90 , AF=10 cm, EF=DE,设CE=x cm,第 13 页,共 13 页就 DE=EF=CDCE=8 x,在 Rt ABF中由勾股定理得： AB 2+BF 2=AF 2,即 82+BF 2=102,BF=6 cm, CF=BC BF=10 6=4cm ,在 Rt ECF中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2,即 8 x2=x2+4 2, 6416x+x2=x 2+16, x=3cm, 即 CE=3 cm - - - - - - -