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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学常用概念及公式极限的概念 当 x 无限增大 x或 x 无限的趋近于 x0xx0时,函数 fx无限的趋近于常数A,就称函数 fx 当 x或 xx0时,以常数A为极限,记作：lim xfx=A 或lim x x 0fx=A 导数的概念 设函数 y=fx 在点 x0 某邻域内有定义,对自变量的增量 xx- x0,函数有增量 y=fx-fx 0,假如增量比 y 当 x0 时有极限,就称 x函数 fx在点 x0 可导,并把该极限值叫函数 为 f x0,即f x0 lim x 0y =lim x x x 0fxfx 0|x=x0xx0也可以记为 y
2、 =|x=x0,dy |x=x0 或 dxdfx dx函数的微分概念y=fx 在点 x0的导数,记设函数 y=fx在某区间内有定义, x 及 x+ x 都在此区间内,假如 函数的增量 y=fx+ x-fx 可表示成 y=A x+ x 其中 A 是常数或只是x 的函数,而与x 无关, 当x0 时是无穷小量 即 x 这哪一项个比x 更高阶的无穷小 ,那么称函数 y=fx在点 x 可微,而 A x 叫函数 y=fx在点 x 的微分；记作 dy,即：dy=A x=f xdx 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不定积分的概念
3、原函数： 设 fx 是定义在某个区间上的已知函数,假如存在一个函数Fx,对于该区间上每一点都满意F x= fx 或d Fx= fxdx 就称函数 Fx是已知函数 fx 在该区间上的一个原函数；不定积分：设 Fx是函数 fx 的任意一个原函数,就全部原函数 Fx+cc 为任意常数叫做函数fx dxfx 的不定积分,记作求已知函数的原函数的方法,叫不定积分法,简称积分法；其中“” 是不定积分的记号； fx称为被积函数； fxdx 称为被积 表达式； x 称为积分变量； c 为任意实数,称为积分常数；定积分的概念 设函数 fx 在闭区间 a,b上连续,用分点 a=x0x1x 2 xi-1x i xn
4、-1xn=b,把区间 a,b任意分成 n 个小区 间 xi-1 , xi i=1,2, ,n 每 个 小 区 间 的 长 度 为 xi= xi- xi-1i=1,2, ,n,在每个小区间 x i-1,xi上任取一点 i,作和式 nI n= f i x ii 1当分点无限增加 n 且全部小区间长度中的最大值 =max xi0 时,和式 In 的极限,叫做函数作fbfxdx,即0in1fix iabxdx=nlim afx 在区间 a,b上的定积分,记名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中 fx 称为被积函数, b 和
5、 a 分别称为定积分的上限和下限,区间a,b叫积分区间, x 为积分变量；极限的性质及运算法就 无穷小的概念： 假设函数 fx 当 xx0或 x时的极限为零,就称 fx 当 xx0或 x时为无穷小量,简称无穷小；必要留意的是,无穷小是变量,不能与一个很小的数混为一谈；无穷小的性质： 性质 1：有限个无穷小的代数和也是无穷小；性质 2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小；推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小；推论 2：有限个无穷小的乘积也是无穷小；无穷大的概念： 假设当 xx0或 x时,函数 fx 的肯定值无限增大,就称函数 fx 当 xx0或 x时为无穷大量,简称无穷大；注意无穷大是变量,不能与
6、一个肯定值很大的数混为一谈；另外,一个变量是无穷大,也不能脱离开自变量的变化过程；无穷大与无穷小的关系： 定理：在同一变化过程中,假设 fx 为无穷1 1大,就 为无穷小；反之,假设 fx 为无穷小,且 fx 0,就f x f x 就为无穷大；极限运算法就：法就 1：limfx gx=lim fx lim gx=A+B 名师归纳总结 法就 2：limfx gx= lim fx lim gx=A B 第 3 页,共 10 页特殊的： lim cfx=c lim fx=c A c 为常数 法就 3：limfx =limfx = B A 其中 B 0gxlimgx- - - - - - -精选学习资
7、料 - - - - - - - - - 留意用法就 3 求极限时：假如分子、分母均为无穷大,可先将其变成无穷小；假如均为无穷小, 就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法就求解；两个重要极限： 重要极限 1：lim0sinx=1 =lim0sin=1 =e x重要极限 2：lim x1+ x 1 x=e = lim 1+ 1 =e 或 lim01 1（）（）等价无穷小 x 0 ：在求极限过程中常常使用等价无穷小相互代替sinxx ； tanxx ； arcsinxx ； arctan x ； ln1x x ；x e1 x ；1cos 1x ；1x1 1x ；ax1 x
8、lna .22导数的性质、求导法就及常用求导公式 连续的概念： 假设函数 fx 在 x0 的某邻域内有定义,当 xx0 时,函 数 的 极 限 存 在 , 且 极 限 值 等 于 函 数 在 x0 处 的 函 数 值 fx 0 即 lim 0fx=fx 0就称函数在 x0 处是连续的；连续与可导的关系： 定理：假设函数 fx在点 x0 处可导,就函数在点 x0 处连续； 连续是可导的必要条件,其逆命题不成立,即函数在某 一点连续,但在该点不肯定可导 导数的运算步骤 按定义运算 ：第一步求增量,在x 处给自变量增量x,运算函数增量y,即 y=fx+ x-fx ；名师归纳总结 其次步 算比值,写出
9、并化简比式： = xf x-fx ；化简比式的第 4 页,共 10 页x关键是使分式中仅分母或分子中含有x 项,防止显现0 或 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第三步 取极限,运算极限 lim x 0 =f x x常用基本初等函数的导数公式：x/x1；ax/axlna ；ex/x e ；log a x/x1a；ln x/1 x；sin x/cosx ；lncosx/sin x；tanx/2 sec x ；cot x/2 csc x ；secx/sec tanx ；cscx/csc cotx ；arcsin x/11x2arccosx/1arcta
10、nx/112；arccot x/1121x2xx导数的四就运算法就： 设 u=ux,v=vx ,就u v = u v ；cu=cu ；uv. uv =u v+uv ；u = vuv2v反函数的导数： y=fx 是 x= y的反函数,就y =1 x,即 f x=1y复合函数求导法就 :设 y=fu,u= x,就复合函数 y=f x的导数为dy = du du 或 y x=f u x dx隐函数求导方法： 隐函数的概念针对因变量 y 写成自变量 x 的明显表达式的函数 y=fx ,这种函数叫显函数；而两个变量 x 和 y 的对应关系是由一个方程 Fx,y=0 所确定,函数关系隐含在这个方程中, 这
11、种函数称为由方程所确定的隐函数；求隐函数的导数,并不需要先化为显函数事实上也很难都显化,只需把 y 看成中间变量y=yx ,利用复合函数求导法就,即可名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求出隐函数 y 对 x 的导数；例：求方程 x2+y2=1 所确定的函数的导数；解在方程的两端对x 求导,并将 y2看作 x 的复合函数,就x2+y2 =1 即 2x+2yy=0,y y =-x 得 y = -x y如下方程组,其中t 为参数参数方程所表示函数的导数：x= t y= t 设函数 t和 t都可导,且函数t存在连续反函数t
12、=-1t,当-1t 0 时,这个反函数也可导；这时 y= -1t=fx 它可导,由复合函数求导法就知y x=dy = dxdydt = dxdy=xdtdtxdxdty 是 x 的复合函数罗必塔法就： 当 xx0或 x时,函数 fx ,gx同时趋向于零或同时趋向于无穷大,这时分式fx的极限可能存在,也可能不存在；,这类极限将无法用“ 商的极限gx我们称其为未定式,并记作0 型或 0等于极限的商” 这一极限法就求出；未定式0 罗必塔法就一 ： lim 0 x x 0fx=lim x x 0fx=A 或无穷大 ；gx gx假设其中 x时,结论仍旧成立；使用罗必塔法就时,分子分母分别求导之后,应当整
13、理化简,假如化简后的分式仍是未定式,可以继续使用这个法就；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 未定式罗必塔法就二 ：lim x x 0fx=lim x 0xfx=A或无穷大 ；gx gx假设其中 x时,结论也成立；未定式 0 型及 -型： 这两类未定式可转化为0 型或 0型；未定式 00,0,1型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式；微分的运算及法就 由微分的的概念 dy=f xdx 可知,求一个函数的微分, 只要求出导数f x再乘以 dx 就得到微分 dy,因此不难由导数公式做出相应的微分 公式；例,对于 y
14、=sinx,有 y =cosx,从而 dy=cosxdx；微分的法就： 设 u=ux,v=vx ,就dcu=cdu；duv=udv+vdu；du v=du dv；du = vvdu2udvv不定积分的性质、基本公式及运算方法由不定积分定义及微分学问,可直接推出不定积分的性质：性质一： f x dx =fx 或 d f x dx =fxdx ；性质二：F x dx =Fx+c；性质三：kf x dx =k f x dx k 是不为 0 的常数 ；性质四： f x g x dx = f x dxg x dx；不定积分的基本公式 均应加上常数 C：名师归纳总结 0dx=c；kdxkx ；x dxx1
15、第 7 页,共 10 页1；dxln x ；xe dxx e ；x a dxaxa；xln- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosxdxsin xsin xdxcos x ；tan xdxln cosx ；cot xdxln sin x ；secxdxln secxtanx ；cscxdxln cscxcotx2 sec xdxtan x ；cs c2xdxcotx ；sec tanxdxsecx ；csc cotxdxcscx ；1dx2arctanx ；dx2 xarcsinx ；x1x21a2dx1 arctan x a a；1dx1 ln 2
16、axa；x2a2xax1a2dxln xx2a 2；a1x2dxarcsin x a；22第一换元积分法： 设函数 u= x,且 fu有原函数 Fu,du= xdx 即 dx= du/ x = 参见微分概念及运算f x x dx = f u du =Fu+c= F x+c 留意：该公式有一个隐含的条件,即要求原积分公式中已含有 x,方可在换元时代入dx= du/ x并约去 x；提示：该积分法的步骤是先找出适当的 u= x,将函数转化为关于 u 的积分公式, 再求出关于 u 原函数,最终依据 u 与x 的关系代入 x；其次换元积分法： 设函数 x= t单调可微且 t 0,dx= tdt = 参见
17、微分概念及运算fx dx=f t t dt=Ft+c=F -1x+c 提示：该积分法的步骤是先找出适当的x= t,将函数转化为关于 t 的积分公式,再求出关于t 原函数,最终依据x 与t 的关系代入 x；分部积分法： 设函数 u=ux,v=vx 具有连续导数,就名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - uvdx=uv-vudx= 解题时这个为 u 不行就换那个为 u提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分uvdx转化为易求的不定积分vudx,从而得所求结果；定积分的性质及运算方法：性质一：bkfxdx=kb afx dxx
18、k 为常数；a性质二：b adx =b-a；dx=b afdxbgxdx；性质三：bfx gxaa性质四：假设把区间 a,b分为两个区间 a,c与c,b,就bfxdx=cfxdx+bfxdxaac留意： c 有任意性,可在 a,b之外；性质五：假设 fx与 gx在a,b上有 fx gx,就bfxdxbgxdx；aa性质六：假设 M,m 分别是 fx 在a,b上的最大值和最小值,就bmb-a a f x dxMb-a = 估值定理性质七：假设 fx在a,b上连续,就至少有一点 a,b,使得ba f x dx =f b-a =定积分中值定理,求平均值 ；牛顿莱布尼兹公式： 假设 fx在a,b上连续
19、, Fx是 fx 的一个原函数,就bfxdx=Fxa=Fb-Fa 然后把上、a可见,运算定积分,先用不定积分的方法求出一个原函数,下限 a,b 代入原函数作减法运算；换元积分法： 设函数 x= t,就 dx= tdt,假设满意：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、当 t= 时, x=a；当 t= 时, x=b；2、当 t 在 , 上取值时, t的变化单调且范畴是 a,b,就bfxdx=fttdt=Fta提示：运用此公式时,要同时换上下限,新的积分上、下限代入名师归纳总结 自变量 t 的原函数相减即可,不必再回到原先的积分变量x；第 10 页,共 10 页分部积分法： 设函数 ux,vx 在a,b上有连续的导数u x、v x,就buxvxdx=uxvxa-buxvxdxaa即b audv =uva -b avdu- - - - - - -