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1、高等数学常用概念及公式极限的概念当 x 无限增大 x或 x 无限的趋近于 x0 xx0时，函数 f(x)无限的趋近于常数A，则称函数 f(x)当 x或 xx0时，以常数A为极限，记作：limxf(x)=A 或lim0 xxf(x)=A 导数的概念设函数 y=f(x) 在点 x0某邻域内有定义，对自变量的增量xx- x0，函数有增量 y=f(x)-f(x0)，如果增量比xy当x0 时有极限，则称函数 f(x)在点 x0可导，并把该极限值叫函数y=f(x) 在点 x0的导数，记为 f (x0)，即f (x0)lim0 xxy=lim0 xx00)()(xxxfxf也可以记为 y =|x=x0，dx
2、dy|x=x0或dxxdf)(|x=x0函数的微分概念设函数 y=fx在某区间内有定义， x 及 x+x 都在此区间内，如果函数的增量y=fx+x-f(x)可表示成y=A x+x 其中 A 是常数或只是x 的函数，而与 x 无关，当 x0 时是无穷小量 ( 即 x 这一项是个比 x 更高阶的无穷小 )， 那么称函数 y=fx在点 x 可微，而 Ax 叫函数 y=fx在点 x 的微分。记作 dy，即：dy=Ax=f (x)dx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页不定积分的概念原函数： 设 f(x)是定义在某个区间上的
3、已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足F (x)= f(x) 或d F(x)= f(x)dx 则称函数 F(x)是已知函数 f(x) 在该区间上的一个原函数。不定积分：设 F(x)是函数 f(x)的任意一个原函数，则所有原函数 F(x)+cc 为任意常数叫做函数f(x)的不定积分，记作dxxf)(求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。其中“”是不定积分的记号； f(x)称为被积函数； f(x)dx 称为被积表达式； x 称为积分变量； c 为任意实数，称为积分常数。定积分的概念设函数 f(x)在闭区间 a，b上连续，用分点a=x0 x1x2xi-1xixn-
4、1xn=b，把区间 a，b任意分成 n 个小区间 xi-1， xi i=1,2, ,n 每 个 小 区 间 的 长 度 为 xi= xi- xi-1i=1,2, ,n ，在每个小区间 xi-1，xi上任取一点i，作和式In=niiixf1)(当分点无限增加 (n)且所有小区间长度中的最大值=maxxi0 时，和式 In的极限，叫做函数f(x)在区间 a，b上的定积分，记作badxxf)(，即badxxf)(=niiinxf1)0()(lim精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页其中 f(x)称为被积函数， b 和 a
5、分别称为定积分的上限和下限，区间a，b叫积分区间， x 为积分变量。极限的性质及运算法则无穷小的概念： 假设函数 f(x) 当 xx0(或 x)时的极限为零，则称f(x)当 xx0(或 x)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。无穷小的性质： 性质 1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念： 假设当 xx0(或 x)时，函数 f(x)的绝对值无限增大，则称函数 f(x)当 xx0(或 x)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是
6、变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系： 定理：在同一变化过程中，假设f(x)为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，假设 f(x) 为无穷小，且 f(x)0，则)(1xf就为无穷大。极限运算法则：法则 1：limf(x) g(x)=lim f(x) lim g(x)=A+B 法则 2：limf(x) g(x)= lim f(x) lim g(x)=A B 特别的： lim cf(x)=c lim f(x)=c A (c 为常数 ) 法则 3：lim)()(xgxf=)(lim)(limxgxf=BA其中 B0精选学习资
7、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页注意用法则 3 求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小， 就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限： 重要极限 1：xxxsinlim0=1 =()sin()lim0()=1 重要极限 2：limx(1+x1)x=e =lim()(1+()1)=e或lim0()（）（）1)1(=e 等价无穷小 (x 0) ：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替sinxx；tanxx；arcsinxx；arctan xx；ln(
8、1) xx；1 xex；1cos x212x；11 x12x；1 xalnxa.导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念： 假设函数 f(x)在 x0的某邻域内有定义，当xx0时，函数 的 极 限存 在 ， 且极 限 值 等 于函 数 在 x0处 的 函 数 值 f(x0) 即lim0 xxf(x)=f(x0)则称函数在 x0处是连续的。连续与可导的关系： 定理：假设函数 f(x)在点 x0处可导，则函数在点x0处连续。 (连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导) 导数的计算步骤 (按定义计算 )：第一步求增量，在x 处给自变量增量 x，计算函数增量y
9、，即y=f(x+x)-f(x) ；第二步 算比值，写出并化简比式：xy=xxxf)(f-)x( ；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有x 项，防止出现00或) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页第三步 取极限，计算极限lim0 xxy=f (x) 常用基本初等函数的导数公式：/x1x；/xalnxaa；/xexe；/logax1lnxa；/ln x1x；/sin xcosx；/cosxsin x；/tanx2sec x；/cotx2csc x；/secxsec tanxx；/cscxcsc cotxx；/a
10、rcsinx211x；/arccosx211x；/arctanx211x；/arccot x211x导数的四则运算法则： 设 u=u(x)，v=v(x) ，则uv = uv ；cu =cu ；uv =u v+uv ；vu =2vuvvu. 反函数的导数： y=f(x) 是 x=(y)的反函数，则y =1x，即 f (x)=)(1y复合函数求导法则 :设 y=f(u),u=(x),则复合函数 y=f (x)的导数为dxdy=dudydxdu或 yx=fux隐函数求导方法： 隐函数的概念针对因变量 y 写成自变量 x 的明显表达式的函数 y=f(x) ，这种函数叫显函数；而两个变量x 和 y 的对
11、应关系是由一个方程F(x,y)=0 所确定，函数关系隐含在这个方程中， 这种函数称为由方程所确定的隐函数。求隐函数的导数，并不需要先化为显函数事实上也很难都显化 ，只需把 y 看成中间变量y=y(x) ，利用复合函数求导法则，即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页求出隐函数 y 对 x 的导数。例：求方程 x2+y2=1 所确定的函数的导数。解在方程的两端对x 求导，并将 y2看作 x 的复合函数，则(x2+y2) =(1)即 2x+2yy =0，y y =-x 得 y = -yx参数方程所表示函数的导数：如下方程
12、组，其中t 为参数x=(t) y=(t) 设函数 (t)和(t)都可导，且函数 (t)存在连续反函数t=-1(t)，当-1(t)0 时，这个反函数也可导；这时y 是 x 的复合函数y=-1(t)=f(x) 它可导，由复合函数求导法则知yx=dxdy=dtdydxdt=dtdxdtdy=)( )( xx罗必塔法则： 当 xx0(或 x)时，函数 f(x)，g(x)同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式)()(xgxf的极限可能存在，也可能不存在。我们称其为未定式，并记作00型或，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。未定式00(罗必塔法则一 )：lim0 xx)()(xgx
13、f=lim0 xx)( )( xgxf=A(或无穷大 )。假设其中 x时，结论仍然成立。使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页未定式(罗必塔法则二 )：lim0 xx)()(xgxf=lim0 xx)( )( xgxf=A(或无穷大 )。假设其中 x时，结论也成立。未定式 0型及 -型： 这两类未定式可转化为00型或型。未定式 00,0,1型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。微分的运算及法则由微分的的概念
14、dy=f (x)dx 可知，求一个函数的微分， 只要求出导数f (x)再乘以 dx 就得到微分 dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例，对于 y=sinx，有 y =cosx，从而 dy=cosxdx。微分的法则： 设 u=u(x)，v=v(x) ，则d(cu)=cdu；d(uv)=dudv；d(uv)=udv+vdu；d(vu)=2vudvvdu不定积分的性质、基本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质：性质一： dxxf)( =f(x)或 ddxxf)(=f(x)dx ；性质二：dxxF)( =F(x)+c；性质三：dxxkf)(=kdxxf)(k 是不为
15、 0 的常数 )；性质四：dxxgxf)()(=dxxf)(dxxg)(。不定积分的基本公式 (均应加上常数 C)：dx0=c；kdxkx；x dx11x；dxxln x；xe dxxe；xa dxlnxaa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页cosxdxsin xsin xdxcos x；tanxdxln cosx；cotxdxln sin x；secxdxln sectanxx；cscxdxln csccotxx2sec xdxtanx；2ccsxdxcotx；sec tanxxdxsecx；csc cotxx
16、dxcscx；21dxxarctanx；21dxxarcsinx；221dxxa1arctanxaa；221dxxa1ln2xaaxa；221dxxa22ln xxa；221dxaxarcsinxa。第一换元积分法： 设函数 u=(x)，且 f(u)有原函数 F(u)，du= (x)dx (即 dx= du/ (x) =参见微分概念及计算dxxxf)( )(=duuf)(=F(u)+c= F(x)+c 注意：该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有 (x)，方可在换元时代入dx= du/ (x)并约去 (x)。提示：该积分法的步骤是先找出适当的u=(x)，将函数转化为关于 u 的积分公
17、式，再求出关于 u 原函数，最后根据 u 与x 的关系代入 x。第二换元积分法： 设函数 x=(t)单调可微且 (t)0，dx= (t)dt =参见微分概念及计算dxxf)(=dtttf)( )(=F(t)+c=F-1(x)+c 提示：该积分法的步骤是先找出适当的x=(t)，将函数转化为关于 t 的积分公式，再求出关于t 原函数，最后根据x 与t 的关系代入 x。分部积分法： 设函数 u=u(x)，v=v(x) 具有连续导数，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页dxuv=uv-dxvu=解题时这个为 u 不行就换那
18、个为 u提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分dxuv转化为易求的不定积分dxvu，从而得所求结果。定积分的性质及计算方法：性质一：badxxkf)(=kbadxxf)(k 为常数；性质二：badx=b-a；性质三：badxxgxf)()(=badxxf)(badxxg)(；性质四：假设把区间 a，b分为两个区间 a，c与c，b，则badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)(注意： c 有任意性，可在 a，b之外；性质五：假设 f(x)与 g(x)在a,b上有 f(x)g(x)，则badxxf)(badxxg)(；性质六：假设 M，m 分别是 f(x) 在a，b上的最大值和最小值，则
19、m(b-a) badxxf)(M(b-a) =估值定理性质七：假设 f(x)在a，b上连续，则至少有一点(a,b)，使得badxxf)(=f()(b-a) =定积分中值定理，求平均值。牛顿莱布尼兹公式： 假设 f(x)在a，b上连续， F(x)是 f(x) 的一个原函数，则badxxf)(=F(x)ba=F(b)-F(a) 可见，计算定积分，先用不定积分的方法求出一个原函数，然后把上、下限 a，b 代入原函数作减法运算。换元积分法： 设函数 x=(t)，则 dx= (t)dt，假设满足：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 1
20、0 页(1)、当 t=时，x=a；当 t=时， x=b；(2)、当 t 在,上取值时， (t)的变化单调且范围是 a,b，则badxxf)(=dtttf)( )(=F(t)提示：运用此公式时，要同时换上下限，新的积分上、下限代入自变量 t 的原函数相减即可，不必再回到原来的积分变量x。分部积分法： 设函数 u(x),v(x)在a,b上有连续的导数u (x)、v (x)，则badxxvxu)( )(=u(x)v(x)ba-badxxvxu)()( 即baudv=uvba-bavdu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页