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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数及其表示【教学目标】1、懂得映射、函数的定义、及二者的区分与联系,正确地求出函数的定义域和 值域；2、能用不同的方法表示一个函数,及敏捷地求函数的解析式；【重点难点】重点：函数的定义、定义域、值域及求解其解析式的方法；难点：求解函数的解析式；【教学内容】1、引入：1755 年,瑞士数学家欧拉把函数定义为：“ 假如某些变量,以某一种方式依靠于另一些变量, 即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数；” 在欧拉的定义中,就不强调函数要用公式表示了；由于函数不肯定要用公式来表示,欧拉曾把画
2、在坐标系的曲线也叫函数；他认为：“ 函数是随便画出的一条曲线；”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至抱怀疑态度；他们把能用公式表示的函数叫“ 真函数”,把不能用公式表示的函数叫“ 假函数”；1821 年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“ 在某些变数间存在着肯定的关系,当给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,就将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数； ” 在柯西的定义中,第一显现了自变量一词；2、映射的定义设 A 和 B 是两个非空集合,假如依据某种对应关系 f ,对于集合 A 中的任意一个元素x ,在集合 B 中都存在唯独的一个元素
3、y 与之对应,那么,就称对应 f : A B 为集合 A到集合 B 的一个映射 mapping. 包括： 一对一 多对一 留意：f 为某种对于关系映射是特别的对应,简称“ 对一” 的对应；集合 A 中的 任意 元素（即全部元素）集合 B 中都存在 唯独 元素3、函数的定义名师归纳总结 设 A 和 B 是两个非空的数集,假如依据某种确定的对应关系f ,对于集合A 中的任意第 1 页,共 5 页一个数 x ,在集合 B 中都存在唯独确定的数y 与之对应,那么,就称对应f :AB为集合 A 到集合 B 的一个函数；记作yfx,xA；其中 x 叫自变量, x 的取值范畴A 叫函- - - - - -
4、-精选学习资料 - - - - - - - - - 数的定义域；而与x 的值相对应的学习必备欢迎下载fxxA叫做函数的y 值叫函数值,函数值的集合值域；函数是特别的映射,是非空数集A 到非空数集B 的映射；那么函数的值域与集合B 的关系呐？函数的三要素 ：（ 1）定义域 数的依据；留意：函数是特别的映射 函数的三要素 区间的概念：（2）值域（ 3）对应关系；这是判定两个函数是否为同一函设a,bR,且ab.我们规定：xba,bxaxaba,bxaxba,bxaa,xxa,bxaxba ,xxab,R,bxxb,bxx4、函数的表示方法（3）列表法三种表示方法： （1）解析法（2）图像法分段函数
5、：定义域的不同部分,有不同的对应法就的函数；留意 ：分段函数是一个函数,不要误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集；小结： （1）如已知函数的类型（如一次函数、二次函数）,就用待定系数法；（2）如已知复合函数fgx 的解析式,就可用换元法或配凑法；fx；（3）如已知抽象函数的表达式,就常用解方程组排除参的方法求出【例题讲解】例 1 设Maa,b,c,N2 ,02, 求（ 1）从 M 到 N 的映射种数； （2）从 M 到 N 的映射满意ffbfc, 试确定这样的映射f 的种数 .例 2 已知fx1 2x5,gx2x2x,求fa,g,fAB,gpig. 名师归
6、纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 已知函数fxx2学习必备欢迎下载f2 、215,求（1）函数的定义域；（2）x22xf6的值；（3）当a0时,求fa,fa1 ；f3 的值；x5,求例 4 已知：xN* ,x6f x 2f xx6例 5 依据条件求以下各函数的解析式：（1）已知f x 是二次函数,如f00,f x1f x1,求f x . （2）已知fx1x2x ,求f x f x 1ax,求（3）如f x 满意f x 2 x【过手练习】1、以下函数是否是同一个函数：（1）fxx2,gx3x3（2）fx x,gx 1
7、x0 ,x1x0 ;（3）fx 2 x2x,1gtt22 t12、已知函数f x 的定义域为0 1,就函数f x1的定义域为3、求函数yf x x24x6,就x1,5的值域为4、已知函数fx满意fx 2f13x,就fxx【拓展训练】名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、已知函数f x 满意：f ab学习必备欢迎下载2,就f a f b ,f1f21f22f22f4f23f6f24f8 .,x y 都 有2、已知f12yf3f5f73x26x,试求x2y2的最大值；3 、 设f x 是1,并 且 对 任 意 的 实 数
8、R 上 的 函 数 , 且 满 足f0fxy f x y 2xy,求f x 的表达式 .【课后作业】1.（1）已知集合 A x 0 x 4 , B y 0 y 2,下面从 A 到 B 的对应关系 f 不是映射的是（）1 1 2 1 2A. f : x y x B. f : x y x C. f : x y x D. f : x y x2 3 3 8（2）已知函数 f x , x F,那么集合 x , y y f x , x F x , y x 1 中所含元素的个数是（） A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 2 2（3）（2022 江西卷文）函数 y x 3 x 4的定义域为（）xA 4
9、,1 B 4, 0 C 0,1 D 4, 0 0,12.函数 y 3 x 1 2 x,求其定义域和值域 . 3.回忆映射、函数的概念并写出二者的区分：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.1已知二次函数fx满意f2x学习必备x2欢迎下载,求fx；146x52已知fxx2xx3,求：fx1 , f1的值；g x ,就f x 的值域 . x3如fx1）2x,求函数fx）的解析式；5.设函数g x x22xR ,fxgx xx4xgx xg x 6.已知函数f x 33x13的定义域为,求实数a 的取值范畴ax2ax名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页