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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 微分方程的基本概念其运动规律将一目了然 .所以数学分析中所争论的函数, 是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的关系；但在大量的实际问题中遇到略微复杂的一些运动过程时,反映运动规律的量与量之间的关系 即函数 往往不能直接写出来, 却比较简单地建立这些变量和它们导数或微分的关系式；这种联系着自变量, 未知函数及它的导数 或微分的关系式, 数学上称之为微分方程, 当然其中未知函数的导数或微分是不可缺少的； 1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型例 1.1.1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中,在时刻 t=0 时,测量得它的温度为
2、 u 0 150 c,10 分钟后测量得温度为 u 1 100 c,我们要求打算此问题 u 和时间 t 的关系,并运算 20分钟后物体的温度；这里我们假定空气的温度保持为 ua 24 ；解：为明白决上述问题,需要明白一些热力学的基本规律：1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；2. 在肯定的温度范畴内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例 牛顿冷却定律 设物体在时刻 t 的温度为 u u t ,就温度的变化速度以量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的,因而 u0du 来表示；留意到热dtu a,所以温差 u u a 恒正；又因物体将随时间而逐步冷却,故温
3、度变化速度du 恒负；因此由牛顿冷却 dt定律得到：名师归纳总结 dukuu0第 1 页,共 10 页dt这里k0是比例常数；方程的解： 将方程改写成duuakdt的形式,这样变量uuau 和 t 可以别离开来；两边同时积分,得到：kt c cln u u a 这里的 c是任意常数,对两边取对数,得到：uuaekt令c c e,得到：uu acekt将t0时,uu0代入可以得到：cu 0ua再依据条件t10 ,uu 1,可以得到：k1lnu 0ua0 . 05110u 1ua所以：u24126e.0 051t数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M,在重力的作用下,它在垂直于地面的
4、平面上沿圆周运动,我们要确定摆的运动方程：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设取逆时针运动方向作为运算摆与铅垂线所成的角 的正方向；质点 M沿圆周的切向速度 v 可以表示为 v d；作用于质点 M 的重力 mg 将摆拉回到平dt衡位置；我们将重力可以分解为两个重量,一个沿这线的方向, 此方向的力正好和线的拉力相抵消,它不会引起质点速度的转变, 其次个重量沿圆周的切线方向,它引起质点速度的变化；摆的运动方程是：m dv mg sindt2即：d2 gsindt l假如只争论摆的微小振动时,即当 比较小时的情形,sin,此时可以2得到微小振动时摆的运动
5、方程：d2 g 0dt l假如我们假设摆是在一个粘性的介质中摇摆,那么,沿着摆的运动方向就会存在一个与速度 v 成比例的阻力,假如阻力系数为,就摆的运动方程变为：2d g d2 0dt l m dt假如沿着摆的运动方向恒有一个外力 F t 作用与它,这时摆的运动称为强迫微小振动,其方程为：2d2 g d 1 F t dt l m dt ml当要确定摆的某一特定的运动时,我们应当给出摆的初始状态：当 t 0 时,0, d0,这里 0代表摆的初始位置,0代表摆的初始角dt速度；微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程；名师归纳总结 常微分方程未知函数是一元函数的微分方
6、程叫常微分方程；叫微分方第 2 页,共 10 页偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程；微分方程的阶数微分方程中所显现的未知函数的最高阶导数的阶数程的阶数； x3 yx2 y4 4xy3x2 12y5y sin2 xy4y10y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y n 1 0一般 n 阶微分方程具有如下的形式F x y y y n 0 隐式方程 y n f x y y y n 1 显式方程其中上式肯定含有 y n , y 是未知函数, x 是自变量；微分方程的解 满意微分方程的函数 把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 叫做该微分方程的解
7、 准确地说 设函数 y假如在区间 I 上F x x x n x 0那么函数 y x 就叫做微分方程 F x y y x 在区间 I 上有 n 阶连续导数y n 0 在区间 I 上的解；通解假如微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解；称为初始条件；如初始条件用于确定通解中任意常数的条件x x0 时y y0 y y0 一般写成特解yxx 0y 0yxx 0y0就得到微分方程的特解即不含任意常数确定了通解中的任意常数以后的解初值问题 求微分方程满意初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程 y f x y 满意初始条件 y x x 0 y 0 的解的
8、问题 记为y f x , y y x x 0 y 0积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线；其次章 一阶微分方程的初等解法别是型如：yf x g y 的微分方程,称为可别离变量方程；这里f x ,g y 分x y 的已知连续函数,这类方程的特点是： 经过适当的运算, 可以将两个不同变量的函数与微分别离到方程的两边,然后两边同时积分；其详细解法如下： 别离变量假如g y 0将方程整理为1dyf x dx的形式 使方g y 程各边都只含一个变量 名师归纳总结 两边积分两边同时积分,得：左边1 g y dy第 3 页,共 10 页右边 =f x dx- - - - - - -
9、精选学习资料 - - - - - - - - - 故,方程的解为1dyf x dxC；g y 注 1：我们商定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数,而把积分所带来的任意常数明确地写上；y 0也是上述方程的解；注 2：假如存在0y ,使g y00,直接代入,可知y、 求方程ysinxcos 1y2的通解y 02 的特解解：别离变量,得dy2 ysinxcos x dx1两边积分,得方程的通解arcsinycosxsinxC例 2.1.2：求方程dxxydy2 y dxydy 满意初始条件解：将方程整理得y x1 dy2 y1 dx别离变量,得yy1dydx2x1两边积分,得1 l
10、n22 yy21lnx11lnC2化简 ,得1C x2 1即2 yC x2 11为所求通解将初始条件y02代入, 得C3. 故所求特解为y23 x2 112 可化为变量别离方程的类型1形如 : dygy的方程,称为齐次方程,这里gu为 u 的连续函数dxx做变量变换uyb 1yc 1的方程,其中a 1,c2为常数；xdy2形如a 1xa 2xb 2yc 2dx1一阶线性齐次方程的解法我们来观看,一阶线性齐次方程yP x y0实际上是可别离变量方程请同学们自己依据别离变量、两边积分的步骤求通解,解得：yCeP x dx通解公式yP x y0的方程都可以直接套用公式：以后我们遇到形如例 2.2.1
11、：求方程y sin x y0 的通解解：所给方程是一阶线性齐次方程,可直接套公式名师归纳总结 由P x sinx,xdxcosx0 满意y1e 的特解第 4 页,共 10 页得：P x dxsin由通解公式得通解：ycosx Ce2 x dy例 2.2.2 ：求方程y2xy dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：此方程不是yP x y0的形式,考虑变形,y 即dydx原方程可化为：dy 12 2 x y 0这是一个一阶线性齐次方程dx x其中 P x 1 22 xx得 P x dx 2 12 dx ln x 2 1x x x故 通解为：y Cx e
12、 2 1x将 y 1 e代入通解,得 C 1,故 所求特解为 y x e 2 1x2. 一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程 y P x y Q x 与其对应的一阶线性齐次方程y P x y 0 左边都是相同的,而它们的差异就就在于 Q x 是否恒为 0. 因此,我们可以设想它们的通解也会有肯定的联系 .P x dx我们已经求出 y P x y 0 的通解为 y Ce,为了便利起见,我P x dx们令 e y ,就有 y Cy ,当 C 恒为常数时,y Cy 是的解,可知当 C 1时,1y 是的一个解 但肯定不满意线性非齐次方程 y P x y Q x . 那么假如我们把 C看作 x 的
13、函数 C x ,并将 y C x y 代入线性非齐次方程中去,会有怎样的结果呢？我们来试算一下：设 y C x y 是线性非齐次方程 y P x y Q x 的解,将 y C x y 及其导数 y C x y 1 C x y 代入方程 y P x y Q x 有： C x y 1 C x y 1 P x C x y 1 Q x 由于 1y 是对应的线性齐次方程的解,故 y 1 P x y 1 0在实际操作中,总会有可以相互排除的项因此有：C x y 1 Q x ,其中 y 1 与 Q x 均为已知函数,所以可以通过积分求得：Q x C x dx Cy 1将其代入 y C x y 中,得：y C
14、y 1 y 1 Q x dx其中 y 1 e P x dxy 1体会证,上式给出的函数满意线性非齐次方程 y P x y Q x ,且含有一个任意常数,所以它是一阶线性非齐次方程 y P x y Q x 的通解于是,一阶线性非齐次方程 y P x y Q x 的通解公式 为：P x dx P x dxy e C Q x e dx 上述我们争论中所用的方法,是将常数变为待定函数 C x ,再通过确定C x 而求得方程的解,这种方法称为常数变易法在求一阶线性非齐次方程yP x yQ x 的通解时,我们既可以用常数变易法,也可以直接套用公式下面看几道例题：名师归纳总结 例：求方程 2 yx e 的通
15、解第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：方法一常数变易法原方程化为：y1y1x e线性非齐次方程 yx22求得它所对应的线性齐次方程y1y0的通解为Ce ,2x设所给线性非齐次方程的解为：yC x e ,将y 及y代入该方程,得：C x ex1ex22于是,有：C x x 1 e dx2exCxx2因此,原方程的通解为yC x e 2Ce 2x e方法二公式法原方程化为：y1y1exexex,CxxCexex22就P x 1,Q x 1x e ,22求得：P x dx1 2dxx,exP x dx22Q x eP x dxdx1
16、 2x e edxy22代入通解公式,得原方程的通解为e 2e 22观看上面两种方法, 常数变易法不用记忆公式, 但步骤较繁锁； 公式法步骤简便,但需要牢记公式,各有利弊.xxyycos例 9：求解初值问题：y 1解：原方程可化为：y1y1cosxxx请用常数变易法或公式法求通解略 ,得：ysinxC1C1sinxy 看作未 y 看作自xxx将y1代入,得 C,所以,所求的特解即初值问题的解为：y1 xsinx例 10：求方程2 y dxx2xyy2dy0的通解解：所给方程中含有2 y ,因此,假如我们仍把x 看作自变量,把知数,就它不是线性方程对于这样的一阶微分方程,我们可以试着把变量,把
17、x 看作是 y 的函数,然后再分析 名师归纳总结 原方程可化为：dx1y2y x1第 6 页,共 10 页dy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这是一个关于未知函数xx y 的一阶线性非齐次方程,其中,P y 1y2y,自2由项 Q y =1 代入通解公式,有xe1 2ydyCe1 2ydydy1Ce1y211y2y e 2yyCeyy21即所求通解为：xy21Cey3 伯努利方程：用yn乘方程的两边,得到：ydyPxyQxynxxdxndyPx 1 ynQdx引入变量变换zy1n1nQ1nyndy从而得到dz dxdx就原方程可以化为： 1nPxz
18、dzdx这是线性方程,可用上述方法解；dx一阶微分方程 dt f t , x ,1x t 0 x 0其中 f t , x 是 t 和 x 的已知函数,x t 0 x 0 为初始条件；定理 1Cauchy-Peano假如函数 f t , x 在 R : t t 0 a , x x 0 b 上连续,就方程 1在 t t 0 h 上有解 x t 满意初值条件 x 0 0 ,此处h min a ,M b,M max t , x R f t , x ；定理 2 假如函数 f t , x 在 R : t t 0 a , x x 0 b 上连续,且满意利普希兹 1 2 1 2 Lipschitz条件即存在正
19、常数 L 使得 f t , x f t , x L x x其中, t , x 1 , t , x 2 R,就方程 1满意初值条件 x 0 0 的解是唯独的；1996 年 A 题 最优捕鱼策略名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为了爱护人类赖以生存的自然环境,可再生资源如渔业、林业资源的开发必需适度 . 一种合理、简化的策略是,在实现可连续收成的前提下,追求最大产量或最正确效益 . 考虑对某种鱼鯷鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分个年龄组,称龄鱼, 10 5 10 11 10 11+n. 渔业治理部门规定, 每年只答应在产
20、卵孵化期前的个月内进行捕捞作 业. 假如每年投入的捕捞才能如渔船数、下网次数等固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比. 比例系数不妨称捕捞强度系数. 通常使用 mm网眼的拉网,这种网只能捕捞龄鱼和龄鱼,其两个捕捞强度系数 之比为 0.42:1. 渔业上称这种方式为固定努力气捕捞 . 建立数学模型分析如何实现可连续捕捉即每年开头捕捞时渔场中 各年龄组鱼群条数不变 ,并且在此前提下得到最高的年收成量捕捞总重量 . 2 模型的假设与符号说明 1. 模型的假设（1） 只考虑鱼的富强和捕捞的变化,不考虑鱼群迁入与迁出；（2） 各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；（3） 全部鱼都在每年
21、最终四个月内完成产卵孵化的过程,初成为 1 龄鱼；成活的幼鱼在下一年（4） 产卵发生于四个月之初,产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；（5） 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的,鱼的条数等于第 k+1 年初 i+1 龄鱼的条数；即第 k 年底 i 龄（6） 4 龄以上的鱼全部死亡；（7） 采纳固定努力气捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数,比例系数为捕捞强度系数；2 符号的说明用 xi t 表示 t 时刻 i 龄鱼的条数； r 表示鱼的平均自然死亡率, 即 r =0.8；if 表示 i 龄鱼的产卵数, 即 f 1 , f 2 , f 3 , f 4 0 , 0 , A, A
22、,A 1 . 109 * 10 5; i表示 i 龄鱼的2平均质量,即 1 , 2 , 3 , 4 5 . 07 , 11 . 55 , 17 . 86 , 22 . 99；iq 表示 i 龄鱼的捕捞强度系数,即q 1,q 2,q 3,q 40 0, .0,42 E,E,E 为捕捞努力气；t2表示产卵开头的月份；iY3表示 i 龄鱼的捕捞量；C 表示 i 龄鱼的捕捞率；3 模型的建立与求解由假设 1和 2得：名师归纳总结 dxitrxit,i1 2,3 ,4；ktk1,kk0,1,2kt,第 8 页,共 10 页dt又由假设 3和 4得：1 . 221 . 22*11 10tx 0x 1k1
23、*11 10x 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由假设 5和 6得x0ktAx3ktAx4kt2xi0xi,xi1k1 tlim k1x iti,12 ,;3k0 ,1,tE1 . 109*5 102 固定努力气捕捞下鱼群的增长和捕捞模型由假设知,捕捞期为ktkt,就有dxitrxitq iExit,ktkt,1dtdxitrxit,kttk12dtxi0 xi,x i1k1tlim k1xit,i,123, 3x 1k1.122*.1 22*11 10ktx 0 kt,11 10x 0,Ax0ktAx3ktAx4kt,k0 ,1,2,21鱼群的增
24、长规律求解方程 1和 2,并利用利用连续性条件3可得x i1k1sl iEx ik,i,1 2 ,3,x 1k1 bbkx0k,x0x 0k1 At sl3Ex3kAstl4Ex4k,2其中ser0 . 4493 ,l 1E l2E,1l3Ee.0 42tE,l4Eeb1 .22*1011；t,2捕捞量单位时间第 i 龄鱼的捕捞量为：y i tq iExi t,ktk第 k 年全年 8 个月第 i 龄鱼的捕捞量为：Yktyit dttq iE xit dtrq iE 1stliEx ik00q iE 于是,第 k 年的总捕捞量为Wk3Y 3k4Y 4k3可连续捕捞模型可连续捕捞模型,即意味着由
25、于自然死亡和捕捞使鱼群削减,而通过产卵 繁衍补充,使鱼群能够在每年开头捕捞时保持平稳不变,这样的捕捞策略就 可以年复一年连续下去；因此可连续捕捞的鱼群数应是1,2,3的 平稳解,即模型的解不依靠于时间；名师归纳总结 即：* x i1sl iE* x i,i,1 ,2 ,3sl 3E* x 1第 9 页,共 10 页* x 2* sx 1,* x 3* sx 2,x*4* x 1* bx 0b* x 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x*Astl3E* x 3Astl4Ex*042求解可得：* x 1b1B1,* x 23l3sb1B1,x*s2b 113EEB Ex* 4sEb 1B1E8其中,BE0 5.sl 4EAs3l3E；EE 0的范当BE1时,* 1x0,即意味着捕捞过度,致使鱼群灭亡；当BE1时,E 031 4.称之为过度捕捞努力气,因此,可以在围内查找最优捕捞策略；名师归纳总结 在可连续性捕捞的条件下,第qii 龄鱼的年捕捞量为：,3 4 .第 10 页,共 10 页Y iE 1t sliE * x i,irq iE- - - - - - -