2022年微分方程讲稿 .pdf

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1、第一章 微分方程的基本概念其运动规律将一目了然 .所以数学分析中所研究的函数， 是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的关系。但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系 即函数 往往不能直接写出来， 却比较容易地建立这些变量和它们导数或微分的关系式。这种联系着自变量， 未知函数及它的导数 或微分的关系式， 数学上称之为微分方程， 当然其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型例 1.1.1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻t=0 时，测量得它的温度为cu1500，10 分钟后测量得温度为cu1001，我

2、们要求决定此问题 u 和时间 t 的关系，并计算 20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为cua24 。解：为了解决上述问题，需要了解一些热力学的基本规律：1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；2. 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例 牛顿冷却定律 设物体在时刻 t 的温度为)(tuu，则温度的变化速度以dtdu来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而auu0，所以温差auu恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度dtdu恒负。因此由牛顿冷却定律得到：)(0uukdtdu这里0k是比例常数。方

3、程的解： 将方程改写成kdtuuuudaa)(的形式，这样变量u和 t可以别离开来。两边同时积分，得到：cktuua)ln(这里的c是任意常数，对两边取对数，得到：cktaeuu令cec，得到：ktaceuu将0t时，0uu代入可以得到：auuc0再根据条件1,10uut，可以得到：051.0ln10110aauuuuk所以：teu051. 012624数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m 的质点M，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页解：

4、 设取逆时针运动方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向。质点M沿圆周的切向速度 v可以表示为dtdv。作用于质点M的重力mg将摆拉回到平衡位置；我们将重力可以分解为两个分量，一个沿这线的方向， 此方向的力正好和线的拉力相抵消，它不会引起质点速度的改变， 第二个分量沿圆周的切线方向，它引起质点速度的变化。摆的运动方程是：sinmgdtdvm即：sin22lgdtd如果只研究摆的微小振动时，即当比较小时的情况，sin，此时可以得到微小振动时摆的运动方程：022lgdtd如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就会存在一个与速度v 成比例的阻力，如果阻力系数为，则摆的运动方程变

5、为：022dtdmlgdtd如果沿着摆的运动方向恒有一个外力)(tF作用与它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为：)(122tFmldtdmlgdtd当要确定摆的某一特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当0t时，00,dtd，这里0代表摆的初始位置，0代表摆的初始角速度。微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程。常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程。偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程。微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶数。 x3 yx2 y4xy3x2 y(4) 4y10y12y5y si

6、n2 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页y(n) 1 0一般 n 阶微分方程具有如下的形式F( x yyy(n) )0 隐式方程 y(n)f ( xy yy( n 1) ) 显式方程其中上式一定含有y( n)，y是未知函数， x是自变量。微分方程的解满足微分方程的函数 ( 把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数 y(x) 在区间 I 上有 n 阶连续导数如果在区间 I 上F x( x)( x)( n) (x)0那么函数 y( x) 就叫做微分方程 F( xyyy( n) )0 在

7、区间 I 上的解。通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解。初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件。如x x0 时y y0 y y0 一般写成00yyxx00yyxx特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程 yf (xy) 满足初始条件00yyxx的解的问题记为00),(yyyxfyxx积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线。第二章 一阶微分方程的初等解法型如：( ) ( )yf x g y的微分方程，称为可别离变量方

8、程。这里( ),( )f xg y分别是,x y的已知连续函数，这类方程的特点是： 经过适当的运算， 可以将两个不同变量的函数与微分别离到方程的两边，然后两边同时积分。其具体解法如下： 别离变量如果( )0g y将方程整理为1( )( )dyf x dxg y的形式 使方程各边都只含一个变量 两边积分两边同时积分，得：1( )( )dyg yf x dx左边右边 =精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页故，方程的解为1( )( )dyf x dxCg y。注 1：我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原

9、函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。注 2：如果存在0y ，使0)(0yg，直接代入，可知0yy也是上述方程的解。、 求方程2(sincos ) 1yxxy的通解解：别离变量，得2(sincos )1dyxx dxy两边积分，得方程的通解arcsin(cossin)yxxC例 2.1.2：2(0)2dxxydyy dxydyy求方程满足初始条件的特解解：将方程整理得2(1)(1)y xdyydx别离变量，得211ydxdyyx两边积分，得211ln(1)ln(1)ln22yxC化简 ，得221(1)yC x即22(1)1yC x为所求通解将初始条件(0)2y代入， 得3C. 故所求特解为

10、223(1)1yx2 可化为变量别离方程的类型1形如 : )(xygdxdy的方程，称为齐次方程，这里)(ug为 u 的连续函数做变量变换xyu2形如222111cybxacybxadxdy的方程，其中21,ca为常数。1一阶线性齐次方程的解法我们来观察，一阶线性齐次方程( )0yP x y实际上是可别离变量方程请同学们自己按照别离变量、两边积分的步骤求通解，解得：( )P x dxyCe通解公式以后我们遇到形如( )0yP x y的方程都可以直接套用公式：例 2.2.1： (sin )0yx y求方程的通解解： 所给方程是一阶线性齐次方程，可直接套公式( )sin,( )sincosP xx

11、P x dxxdxx由得：由通解公式得通解：cosxyCe例 2.2.2 ：2(2)0(1)yxy dxx dyye求方程满足的特解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页解： 此方程不是( )0yP x y的形式，考虑变形，dyydx即原方程可化为：2120dyxydxx这是一个一阶线性齐次方程其中212( )xP xx得22211( )()lnP x dxdxxxxx故通解为：12xyCx e将(1)ye代入通解，得1C，故所求特解为12xyx e2. 一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程( )( )yP x

12、yQ x 与其对应的一阶线性齐次方程( )0yP x y左边都是相同的，而它们的差异就就在于( )Q x是否恒为0. 因此，我们可以设想它们的通解也会有一定的联系.我们已经求出( )0yP x y 的通解为( )P x dxyCe，为了方便起见，我们令()1P x dxey， 则有1yCy ， 当 C 恒为常数时，1yCy 是的解， 可知当1C时，1y 是的一个解 但一定不满足线性非齐次方程( )( )yP x yQ x. 那么如果我们把 C看作 x 的函数( )C x，并将1( )yC x y 代入线性非齐次方程中去，会有怎样的结果呢？我们来试算一下：设1( )yC x y 是线性非齐次方程

13、( )( )yP x yQ x的解，将1( )yC x y 及其导数11( )( )yC x yC x y 代入方程( )( )yP x yQ x有：111( )( )( )( )( )C x yC x yP x C x yQ x因为1y 是对应的线性齐次方程的解，故11( )0yP x y在实际操作中，总会有可以相互消除的项因此有：1( )( )C x yQ x ，其中1( )yQ x与均为已知函数，所以可以通过积分求得：1( )( )Q xC xdxCy将其代入1( )yC x y 中，得：111( )Q xyCyydxy其中( )1P x dxye经验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程

14、( )( )yP x yQ x，且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程( )( )yP x yQ x的通解于是，一阶线性非齐次方程( )( )yP x yQ x的通解公式 为：( )( )( )P x dxP x dxyeCQ x edx上述我们讨论中所用的方法，是将常数变为待定函数( )C x，再通过确定( )C x而求得方程的解，这种方法称为常数变易法在求一阶线性非齐次方程( )( )yP x yQ x的通解时，我们既可以用常数变易法，也可以直接套用公式下面看几道例题：例：求方程 2 xyye 的通解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

15、 - -第 5 页，共 10 页解： 方法一常数变易法原方程化为：1122xyye线性非齐次方程 求得它所对应的线性齐次方程102yy的通解为2xyCe ，设所给线性非齐次方程的解为：2( )xyC x e ，将yy及代入该方程，得：21( )2xxCx ee于是，有：221( )2xxC xe dxeC因此，原方程的通解为22( )xxxyC x eCee方法二公式法原方程化为：1122xyye则11( ),( )22xP xQ xe，求得：( )21( ),22xP x dxxP x dxdxee，( )221( )2xxP x dxxQ x edxe edxe代入通解公式，得原方程的通解

16、为222()xxxxyCeeCee观察上面两种方法， 常数变易法不用记忆公式， 但步骤较繁锁； 公式法步骤简便，但需要牢记公式，各有利弊.例 9：求解初值问题：cos() 1xyyxy解：原方程可化为：11cosyyxxx请用常数变易法或公式法求通解略 ，得：11(sin)sinCyxCxxxx将()1y代入，得C，所以，所求的特解即初值问题的解为：1(sin)yxx例 10：求方程22(2)0y dxxxyydy的通解解： 所给方程中含有2y ，因此，如果我们仍把x看作自变量，把y看作未知数，则它不是线性方程对于这样的一阶微分方程，我们可以试着把y看作自变量，把 x看作是y的函数，然后再分析

17、原方程可化为：2121dxyxdyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页这是一个关于未知函数( )xx y的一阶线性非齐次方程，其中，212( ),yP yy自由项( )Q y=1 代入通解公式，有221 21 2yydydyyyxeCedy11122()(1)yyyy eCeyCe即所求通解为：12(1)yxyCe3 伯努利方程：nyxQyxPdxdy)()(用ny乘方程的两边，得到：)()(1xQyxPdxdyynn引入变量变换nyz1从而得到dxdyyndxdzn)1 (则原方程可以化为：)()1()()1(x

18、QnzxPndxdz这是线性方程，可用上述方法解。一阶微分方程00)(),(xtxxtfdtdx， 1其中),(xtf是t 和 x 的已知函数，00)(xtx为初始条件。定理 1Cauchy-Peano 如果函数),(xtf在bxxattR00,:上连续，则方程1在htt0上有解)(tx满足初值条件)(00tx，此处),min(Mbah，),(max),(xtfMRxt。定理2 如果函数),(xtf在bxxattR00,:上连续，且满足利普希兹(Lipschitz)条件即存在正常数L使得)2()1()2()1(),(),(xxLxtfxtf其中，Rxtxt),(),()2()1( ，则方程 1

19、满足初值条件)(00tx的解是唯一的。1996年 A题 最优捕鱼策略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源如渔业、林业资源的开发必须适度 . 一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最正确效益 . 考虑对某种鱼鯷鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分个年龄组，称龄鱼，10510111011+n). 渔业管理部门规定， 每年只允许在产卵孵化期前的个月内进行捕捞作业. 如果每年投入的捕捞能力如渔船数、下网次数等固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比.

20、 比例系数不妨称捕捞强度系数. 通常使用 mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞龄鱼和龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42:1. 渔业上称这种方式为固定努力量捕捞. 建立数学模型分析如何实现可持续捕获即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变 ，并且在此前提下得到最高的年收获量捕捞总重量 . 2 模型的假设与符号说明1. 模型的假设（1） 只考虑鱼的繁荣和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出；（2） 各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；（3） 所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年初成为 1 龄鱼；（4） 产卵发生于四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；（5） 相

21、邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第 k 年底 i 龄鱼的条数等于第 k+1 年初 i+1 龄鱼的条数；（6） 4 龄以上的鱼全部死亡；（7） 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系数。2 符号的说明用)(txi表示 t 时刻i龄鱼的条数； r 表示鱼的平均自然死亡率， 即 r =0.8；if 表示i龄鱼的产卵数， 即AAffff,2,0,0,4321，510*109.1A;i表示i龄鱼的平均质量，即99.22,86.17,55.11,07.5,4321；iq 表示i龄鱼的捕捞强度系数，即EEqqqq,42. 0 ,0 ,0,4321

22、，E为捕捞努力量；32t表示产卵开始的月份；iY表示i龄鱼的捕捞量；iC 表示i龄鱼的捕捞率。3 模型的建立与求解由假设 1和 2得：4,3, ,2 ,1),()(itrxdttdxii；1ktk，, 2, 1 ,0k又由假设 3和 4得：)()(10*22.110*22.1)1(0011111tkxtkxkx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页)()(2)(430tkAxtkxAtkx由假设 5和 6得)(lim)1(,)0(11txkxxxiktiii), 1 ,0; 3,2, 1(ki2 固定努力量捕捞下鱼群

23、的增长和捕捞模型由假设知，捕捞期为tktk，则有tktktxEqtrxdttdxiiii),()()()(，11),()(kttktrxdttdxii2)(lim) 1(,)0(11txkxxxiktiii，3 ,2, 1i， 3)()(10*22. 110*22. 1) 1(0011111tkxtkxkx，)()(2)(430tkAxtkxAtkx，,2, 1 ,0k1鱼群的增长规律求解方程 1和 2 ，并利用利用连续性条件3可得, 3 ,2, 1),()() 1(1ikxEslkxiii),()()1(001kxkxbbkx),()()()(2)1(44330kxElAskxElsAkxt

24、t其中5442. 032110*109.1,)(,)(, 1)()(,4493.0AeEleElElElesEtEtr1110*22.1b。2捕捞量单位时间第i龄鱼的捕捞量为：tktktxEqtyiii),()()(，第k年全年 8 个月第i龄鱼的捕捞量为：)()(1 ()()()()()()(00kxElsEqrEqdttxEqdttykYiitiitiitii于是，第k年的总捕捞量为)()()(4433kYkYkW3可持续捕捞模型可持续捕捞模型，即意味着由于自然死亡和捕捞使鱼群减少，而通过产卵繁殖补充，使鱼群能够在每年开始捕捞时保持平衡不变，这样的捕捞策略就可以年复一年持续下去。因此可持续

25、捕捞的鱼群数应是1 ， 2 ， 3的平衡解，即模型的解不依赖于时间。即：, 3, 2, 1,)(*1ixEslxiii*13*4*2*3*1*2)(,xEslxsxxsxx*0*0*1xbbxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页*44*33*0)()(2xElAsxElsAxtt求解可得：)(11 (*1EBbx，)(11 (*2EBsbx，)(11(2*3EBbsx)(11()(33*4EBbElsx其中，)()(5 .0)(3384ElAsEslEB。当1)(EB时，0*1x，即意味着捕捞过度，致使鱼群灭绝。当1)(EB时，4 .310E称之为过度捕捞努力量，因此，可以在0EE的范围内寻找最优捕捞策略。在可持续性捕捞的条件下，第i龄鱼的年捕捞量为：.4, 3,)()(1)(*iEqrxElsEqYiiitii精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页