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1、|BACDEF第 01 讲 全等三角形的性质与判定考点方法破译1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS ,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有 HL 法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5 证明两个三角形全等，根
2、据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典考题赏析【例】如图，ABEF DC,ABC 90,ABCD，那么图中有全等三角形（ ）A5 对 B4 对 C3 对 D2 对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：ABEF DC,ABC 90. DCB 90.在ABC 和DCB 中ABCDCB（SAS ） A DABDC 在ABE 和DCE 中ABEDCE
3、 BECEAEDCB 在 RtEFB 和 RtEFC 中EFRtEFBRtEFC （HL ）故选 C.【变式题组】01 （天津）下列判断中错误的是（ ）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D有一边对应相等的两个等边三角形全等|AFCED B02 （丽水）已知命题：如图，点 A、D、B、E 在同一条直线上，且ADBE，AFDE ，则 ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03(上海)已知线段 AC 与 BD 相交于
4、点 O, 连接 AB、DC ，E 为 OB 的中点，F 为 OC 的中点，连接 EF（如图所示） .添加条件AD ，OEF OFE，求证：ABDC；分别将“AD ”记为， “OEF OFE”记为 ， “ABDC ”记为，添加、，以为结论构成命题 1；添加条件、，以为结论构成命题 2.命题 1 是_命题，命题 2 是_命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例】已知 ABDC，AEDF，CF FB. 求证：AFDE.【解法指导】想证 AFDE，首先要找出 AF 和 DE 所在的三角形.AF 在AFB 和AEF中，而 DE 在 CDE 和DEF 中，因而只需证明ABF DCE 或AEFDFE 即可.
5、然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：FBCE FB EFCE EF，即 BECF在ABE 和DCF 中, ABDCEFABEDCF （SSS） BC在ABF 和DCE 中, ABFDCE AFDEFE 【变式题组】01如图，AD、BE 是锐角ABC 的高，相交于点 O，若 BOAC，BC7，CD2，则 AO的长为（ ）A2 B3 C4 D5AB CDOFEAC E F BD|AE第 1 题图AB CDEB CDO第 2 题图02.如图，在ABC 中，AB AC，BAC90，AE 是过 A 点的一条直线，AE CE 于E，BD AE 于 D，DE4cm，CE2 cm，则 BD_.03
6、 （北京）已知：如图，在ABC 中， ACB90，CD AB 于点 D，点 E 在 AC 上，CEBC ，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F. 求证：ABFC.AFE CBD【例】如图，ABC DEF，将ABC 和DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合，把DEF绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相交于点 O.当DEF 旋转至如图 位置，点 B（E） 、C 、D 在同一直线上时，AFD 与DCA 的数量关系是_;当DEF 继续旋转至如图 位置时，中的结论成立吗？请说明理由_.B（E ）OCF图FABCDEFAB(E) CDDA图图【解法指导】AFDDCAAFDDC
7、A 理由如下：由ABC DEF，ABDE，BCEF , ABC DEF, BAC EDF ABC FBC DEF CBF, ABFDEC在ABF 和DEC 中, ABDEFC ABFDEC BAFDEC BAC BAF EDF EDC, FACCDF AOD FACAFD CDFDCAAFDDCA|【变式题组】01 （绍兴）如图，D、E 分别为ABC 的 AC、BC 边的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使点C 落在 AB 边上的点 P 处.若 CDE48，则APD 等于（ ）A42 B48 C52 D5802如图，Rt ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是（
8、 ）AABCDEF BDEF90C ACDF DECCFE FBA BPD EC第 1 题图ACDG第 2 题图03一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点 B、F 、C、D 在同一条直线上.求证：ABED；若 PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.B FACENM PDDA CBFE【例】 （第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE 分别是ABC 的边 A C 和 AB边上的高，点 P 在 BD 的延长线，BP AC，点 Q 在 CE 上，CQAB. 求证： APAQ；AP AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线
9、段或角所在的两三角形全等.经观察，证APAQ,也就是证 APD 和 AQE，或APB 和QAC 全等 ,由已知条件BPAC ，CQAB ，应该证APBQAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角 1 2即可. 证 APAQ ，即证PAQ 90 ，PADQAC 90就可以.证明：BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，BDACEA90,1BAD90 ，2BAD90 ，1 2.在APB 和QAC 中, APB QAC，ABQCP 21ABCPQEFD|ABC DFEAPAQAPBQAC ，P CAQ, PPAD90 CAQPAD90，APAQ【变式题组】01如图，已知 ABAE，BE，BAED，点
10、F 是 CD 的中点，求证：AFCD .02 （湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MA 为 am，此时梯子的倾斜角为 75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm，梯子倾斜角为 45，这间房子的宽度是（ ）A B Cbm Dam2abm2abA ECBA 75C 45 BNM第 2 题图 第 3 题图D03如图，已知五边形 ABCDE 中， ABCAED90，ABCDAEBCDE2，则五边形 ABCDE 的面积为_演练巩固反馈提高01 （海南）已知图中的两个三角形全等，则 度数是（ ）A72 B60 C
11、58 D50第 3 题图第 1 题图CAO D BP第 2 题图ACA/BB/acca50b725802如图，ACBA /C/B/， BCB/30，则ACA /的度数是（ ）A20 B30 C35 D4003 （牡丹江）尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB 于 C、D，再分别以点 C、D 为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于12|点 P，作射线 OP，由作法得OCPODP 的根据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS04 （江西）如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABCADC的是（ ）A. CBCD B.BAC DA
12、CC. BCADCA D.BD90E21NA BDC第 5 题图ABCDEABCD第 4 题图第 6 题图M05有两块不同大小的等腰直角三角板ABC 和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当 A、B、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A. ABECBD B. ABECBDC. ABCEBD45 D. ACBE06如图，ABC 和共顶点 A，AB AE ，1 2，B E. BC 交 AD 于 M，DE 交 AC于 N，小华说：“一定有ABCAED.”小明说：“ABMAEN.”那么（ ）A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对C. 小华对、小
13、明不对 D.小华不对、小明对07如图，已知 ACEC , BCCD, ABED ,如果BCA119，ACD98,那么ECA 的度数是_.08如图，ABCADE ，BC 延长线交 DE 于 F，B25,ACB 105 ，DAC10，则DFB 的度数为 _.09如图，在 RtABC 中，C90, DEAB 于 D, BCBD. AC3，那么 AEDE _第 10 题图ABCDE第 9 题图 EABCDA BCDEFOCAEBD第 7 题图 第 8 题图10如图，BAAC, CDAB . BCDE，且 BCDE，若 AB2, CD6，则 AE_.11如图, ABCD, ABCD. BC12cm，同时
14、有 P、Q 两只蚂蚁从点 C 出发，沿 CB 方向爬行，P 的速度是 0.1cm/s, Q 的速度是 0.2cm/s. 求爬行时间 t 为多少时，APBQDC. DAC.QP.B|A E F BDC12如图, ABC 中，BCA 90，AC BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D.求证：AECD；若 AC12cm, 求 BD 的长. 13 （吉林）如图，ABAC， ADBC 于点 D，AD 等于 AE，AB 平分DAE 交 DE 于点 F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14如图，将等腰直角三角板
15、 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上，从另两个顶点 A、B 分别作l 的垂线，垂足分别为 D、E .找出图中的全等三角形，并加以证明；若 DEa，求梯形 DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15如图，ACBC , ADBD, ADBC ，CEAB，DFAB，垂足分别是 E、F.求证：CEDF.16我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略） ；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知ABC 、 A1B1
16、C1 均为锐角三角形，ABA 1B1，BC B 1C1，C C 1.求证：ABC A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）ABC D A1B1C1 D1归纳与叙述：由可得一个正确结论，请你写出这个结论.DBACEFAEBFD CBD EC lA|AEFCDB培优升级奥赛检测01如图，在ABC 中，AB AC，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AEAF，BF、CE 相交于点 O，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，则图中全等三角形有（ ）A4 对 B5 对 C6 对 D7 对F第 6 题图21ABCENM321AD EB CFAD ECOAEOBFCD第 1 题图B第 2 题图 第
17、3 题图02如图，在ABC 中，AB AC，OCOD，下列结论中：A B DECE，连接DE, 则 OE 平分AOB，正确的是（ ）A B C D03如图，A 在 DE 上，F 在 AB 上，且 ACCE , 1= 2=3, 则 DE 的长等于（）ADC B. BC C. AB D.AEAC04下面有四个命题，其中真命题是（ ）A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05在ABC 中，高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点,且 BHAC，则A
18、BC _.06如图，EB 交 AC 于点 M, 交 FC 于点 D, AB 交 FC 于点 N，EF 90 ，BC, AEAF . 给出下列结论： 12 ；BE CF; ACN ABM; CDDB，其中正确的结论有_. （填序号）07如图，AD 为在ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F,且有 BFAC，FDCD .求证：BEAC；若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08如图，D 为在ABC 的边 BC 上一点，且 CDAB ，BDABAD，AE 是ABD 的中线.求证：AC2AE . AB E D C|AB CDEAEBDC09如图
19、，在凸四边形 ABCD 中，E 为ACD 内一点，满足 ACAD，AB AE, BAEBCE90, BACEAD .求证：CED90. 10 （沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 方式摆放，其中ACB DEB 90，A D 30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F.求证：AFEFDE ;若将图中DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角 ，且 0 60，其他条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1 ）中结论是否仍然成立；若将图中DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60 180,其他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出
20、证明过程；若不成立，请写出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由。11 （嵊州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC 中，AB 5 ，AC13, 求 BC 边上的中线 AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到 E，使得 DEAD ，再连接 BE，把 AB、AC、2 AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得 2AE8 ，则1 AD 4.感悟：解题时，条件中若出现“中点” “中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.问题解决：受到的启发，请你证明
21、下面命题：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF ，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF.求证：BECF EF；A FDFCBEDACBEACB图 图 图ABE FCD|ADEGCHB问题拓展：如图，在四边形 ABDC 中，BC180，DBDC，BDC =120，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段BE、 CF、 EF 之间的数量关系，并加以证明. 12 （北京）如图，已知ABC.请你在 BC 边上分别取两点 D、E（BC 的中点除外） ，连接 AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角
22、形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明：ABACAD AE.13如图，ABAD ，AC AE，BADCAE180. AHAH 于 H，HA 的延长线交 DE 于G. 求证：GDGE.14已知，四边形 ABCD 中，ABAD ，BCCD，BABC，ABC 120，MBN60, MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD、DC （或它们的延长线）于 E、F.当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，如图 1，易证：AECFEF；（不需证明）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，如图 2 和图 3 中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE、CF、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.DABC FNE MD图 1ABC FNE MDABCFNEM图 2 图 3AEBFCDCBA