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第1讲 全等三角形的性质与判定(P2----11)
第2讲 角平分线的性质与判定(P12----16)
第3讲 轴对称及轴对称变换(P17----24)
第4讲 等腰三角形(P25----36)
第5讲 等边三角形(P37----42)
第6讲 实 数(P43----49)
第7讲 变量与函数(P50----54)
第8讲 一次函数的图象与性质(P55----63)
第9讲 一次函数与方程、不等式(P64----68)
第10讲 一次函数的应用(P69----80)
第11讲 幂的运算（P81----86)
第12讲 整式的乘除((P87----93)
第13讲 因式分解及其应用(P94----100)
第14讲 分式的概念•性质与运算(P101----108)
第15讲 分式的化简 求值 与证明(P109----117)
第16讲 分式方程及其应用(P118----125)
第17讲 反比例函数的图像与性质(P126----138)
第18讲 反比例函数的应用(P139----146)
第19讲 勾股定理(P147-----157)
第20讲 平行四边形(P158-----166)
第21讲 菱形矩形(P167-----178)
第22讲 正方形(P179-----189)
第23讲 梯形(P190-----198)
第24讲 数据的分析(P199-----209)
模拟测试一
模拟测试二
模拟测试三
第01讲 全等三角形的性质与判定
考点方法破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典考题赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ）
B
A
C
D
E
F
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90.
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.
【变式题组】
01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
A
F
C
E
D
B
02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.
03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；
A
B
C
D
O
F
E
⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.
【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE.
【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
A
C
E
F
B
D
证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C
在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE
【变式题组】
01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
A
E
第1题图
A
B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图
02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
\
03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC.
A
F
E
C
B
D
【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
B（E）
O
C
F
图③
F
A
B
C
D
E
F
A
B(E)
C
D
D
A
图②
图①
【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA
⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF ∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA
∴∠AFD＝∠DCA
【变式题组】
01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48，则∠APD等于（ ）
A．42 B．48 C．52 D．58
02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90
C． AC＝DF D．EC＝CF
E
F
B
A
B
P
D
E
C
第1题图
A
C
D
G
第2题图
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证：AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
B
F
A
C
E
N
M
P
D
D
A
C
B
F
E
【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90，∠PAD＋∠QAC＝90就可以.
2
1
A
B
C
P
Q
E
F
D
证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，
∴∠BDA＝∠CEA＝90,
∴∠1＋∠BAD＝90，∠2＋∠BAD＝90，∴∠1＝∠2.
在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，
∴AP＝AQ
⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90
∵∠CAQ＋∠PAD＝90，∴AP⊥AQ
【变式题组】
A
B
C
D
F
E
01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.
02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45，这间房子的宽度是（ ）
A． B． C．bm D．am
A
E
C
B
A
75
C
45
B
N
M
第2题图
第3题图
D
03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________
演练巩固反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．72 B．60 C．58 D．50
第3题图
第1题图
C
A
O
D
B
P
第2题图
A
C
A/
B
B/
a
α
c
c
a
50
b
72
58
02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30，则∠ACA/的度数是（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC
C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90
E
2
1
N
A
B
D
C
第5题图
A
B
C
D
E
A
B
C
D
第4题图
第6题图
M
05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD
C. ∠ABC＝∠EBD＝45 D. AC∥BE
06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ）
A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对
C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对
07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119，∠ACD＝98,那么∠ECA的度数是___________.
08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25,∠ACB＝105，∠DAC＝10，则∠DFB的度数为_______.
09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______
第10题图
A
B
C
D
E
第9题图
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
C
A
E
B
D
第7题图
第8题图
10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.
11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.
D
A
C
.
Q
P
.
B
D
B
A
C
E
F
12．如图, △ABC中，∠BCA＝90，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
⑴求证：AE＝CD；
⑵若AC＝12cm, 求BD的长.
A
E
B
F
D
C
13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.
14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.
B
D
E
C
l
A
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；
⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）
A
E
F
B
D
C
15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.
16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；
已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.
培优升级奥赛检测
01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
F
第6题图
2
1
A
B
C
E
N
M
3
2
1
A
D
E
B
C
F
A
D
E
C
O
A
E
O
B
F
C
D
第1题图
B
第2题图
第3题图
02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）
A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC
04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）
A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.
06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）
07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.
⑴求证：BE⊥AC；
A
E
F
C
D
B
⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.
08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.
A
B
E
D
C
09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90.
A
E
B
D
C
10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90，∠A＝∠D＝30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
⑴求证：AF＋EF＝DE;
⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0＜α＜60，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；
⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60＜β＜180,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明A
F
D
F
C
B
E
D
A
C
B
E
A
C
B
图①
图②
图③
理由。
A
B
C
D
E
11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13, 求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
A
B
E
F
C
D
⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
求证：BE＋CF＞EF；
A
E
B
F
C
D
⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180，DB＝DC，∠BDC=120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.
12．（北京）如图，已知△ABC.
⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
C
B
A
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE.
A
D
E
G
C
H
B
13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.
14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120，∠MBN＝60, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
D
A
B
C
F
N
E
M
D
图1
A
B
C
F
N
E
M
D
A
B
C
F
N
E
M
图2
图3
第02讲 角平分线的性质与判定
考点方法破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.
经典考题赏析
【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN
【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.
证明：∵OD平分∠AOB ∴∠1＝∠2
在△OBD与△OAD中， ∴△OBD≌△OAD
∴∠3＝∠4 ∵PM⊥BD，PN⊥AD 所以PM＝PN
【变式题组】
01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.
02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN
【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120，求∠B的度数
【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.
解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，
∴CE＝CF
在Rt△CFA和Rt△CEA中， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF＝AE
又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF
∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90
在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD
∴∠B＝∠CDF 又∵∠ADC＝120，∴∠CDF＝60，即∠B＝60.
【变式题组】
01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求
02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180，请画图并证明你的结论.
【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD
【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.
证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE＝EF，∴CE＝CF ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90，
∴∠1＝∠3
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF
∴BD＝CF ∴CE＝BD
【变式题组】
01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.
02．如图，在△ABC中，∠B＝60，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；
⑵求证：AE＋CD＝AC.
演练巩固反馈提高
01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．mn C． mn D．2 mn
02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③
04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠CAB＝30，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ）
A．50 B．45 C．40 D．35
06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上
C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90 D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P
08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
09．如图，△ABC中，∠C＝90AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________
11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.
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01．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
02．已知Rt△ABC中，∠C＝90，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
03．如图，△ABC中，∠C＝90，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________
04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________
05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________
06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B)
07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC
08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60，∠ACB＝40，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP
第3讲 轴对称及轴对称变换
考点方法破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典考题赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.
【变式题组】
01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）
【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1）
【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.
【变式题组】
01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）
A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3
02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.
03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70，则∠ACD＝（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70＋x）＝90，故x＝10.故选D.
【变式题组】
01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65，则∠AED’等于（ ）
A．70 B．65 C．50 D．25
02．如图，△ABC中，∠A＝30，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82，则原三角形中∠B＝___________.
03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小.
【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．
【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．
证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4
【变式题组】
01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．
02．如图，△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝15，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝______
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