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1、（北京）股份有限湖北省荆州市沙市中学湖北省荆州市沙市中学 20222023 学年度上学期学年度上学期 2020 级级第二次月考数学试卷考试时间：2022 年 9 月 28 日一一 单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1复数2i12iz（其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A.5,0B.0,5C.4,5D.4,52已知3a，2b，a与b的夹角为3，则23ab（）A.6B.3 6C.3 63 2D.3 23若点 P 是
2、双曲线22114:12xyC上一点，1F，2F分别为1C的左、右焦点，则“25PF”是“19PF”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观 8 个开放洞窟，在这8 个洞窟中莫高窟九层楼 96 号窟莫高窟三层楼 16 号窟藏经洞 17 号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4 个进行参观，所有选择中至少包含 2 个最值得参观洞窟的概率是（）A.
3、47B.12C.37D.1355已知抛物线2:4C yx的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF与y轴交于点M，且2PFFM ，则点P到准线l的距离为（）A.3B.4C.5D.66函数 sineexxxxf x的图象大致为（）A.B.C.D.7已知ABC是边长为 3 的等边三角形，三棱锥PABC全部顶点都在表面积为16的球 O 的（北京）股份有限球面上，则三棱锥PABC的体积的最大值为（）A.3B.332C.9 34D.328已知椭圆1C：222122xyaa与双曲线2C有公共的焦点1F2F，A为曲线1C2C在第一象限的交点，且12AF F的面积为 2，若椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的
4、离心率为2e，则22124ee的最小值为（）A.9B.92C.7D.72二二 多选题多选题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分.9某旅游景点 2021 年 1 月至 9 月每月最低气温与最高气温（单位：）的折线图如图，则（）A.1 月到 9 月中，最高气温与最低气温相差最大的是 4 月B.1 月到 9 月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系C.1 月到 9 月的最
5、高气温与最低气温的差逐步减小D.1 月到 9 月的最低气温的极差比最高气温的极差大10已知,是两个不同平面，,m n是两条不同直线，则下述正确的是（）A.若,mnm,n，则B.若m,n，则mnC.若,mnm n是异面直线，则n与相交D.若,m，则m11已知O为坐标原点，圆22:(cos)(sin)1xy，则下列结论正确的是（）A.圆恒过原点OB.圆与圆224xy内切C.直线3 22xy被圆所截得弦长的最大值为3D.直线cossin0 xy与圆相离12已知数列 na，nb均为递增数列，它们的前n项和分别为nS，nT，且满足12nnaan，12nnnbb，则下列结论正确的是（）A.101aB.22
6、32nSnnC.112bD.22nnST三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13在622(1)xxx的展开式中，x 的系数是_（用数字作答）.14若直线20mxny（0m，0n）被圆22:48110C xyxy所截得的弦长（北京）股份有限为 6，则21mn的最小值为_.15已知点A为椭圆22221(0)xyabab的左顶点，O为坐标原点，过椭圆的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线 l，若直线 l 上存在点 P 满足30APO，则椭圆离心率的最大值_.16矩形ABCD中，3,1ABBC，现将ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体DABC
7、，则该四面体外接球的体积为_；设二面角DACB的平面角为，当在,3 2 内变化时，BD的范围为_.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17已知公差不为 0 的等差数列 na的前n项和为nS，且636S，1a，3a，13a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列11nna a的前n项和为nT，若不等式4nkT 对任意的*nN都成立，求实数k的取值范围.18已知在ABC中，A，B，C 为三个内角，a，b，c 为三边，2 coscbB，23C（1）求角 B 的大小；（2）在下列
8、两个条件中选择一个作为已知，求出 BC 边上的中线的长度ABC的面积为3 34；ABC的周长为42 319在四棱锥PABCD中，PAB为正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，M 为棱 AP 的中点，且2224ABADBCCD，3DM.(1)求证：/DM平面PBC；(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.20我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为 30的概率为p，收益率为10的概率为1p；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为 30的概率为 0.4，收益率为20的概率为 0.1，收益率为零的概率为 0.5（1）已知投资以上两
9、个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该选择一个较稳（北京）股份有限妥的项目；（2）若该风险投资准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4 年累计投资数据如下表：年份 x20182019202020211234累计投资金额 y（单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于的线性回归方程yba，并预测到哪一年年末，该在芯片领域的投资收益预期能达到 0.75 亿元附：收益投入的资金获利的期望；线性回归ybxa中，1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx21设椭圆221222:1(0),xyCabF Fab为左右焦点,B为短
10、轴端点,长轴长为 4,焦距为2c,且bc,12BFF的面积为3.()求椭圆C的方程()设动直线:l ykxm椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线4x 相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标,若不存在.请说明理由.22已知函数 21ln12f xxaxax，其中aR.（1）讨论 f x的单调性；（2）若函数 1F xf xax有两个极值点1x，2x，且1222eF xF x 恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围.高三年级第二次数学答案1.【答案】B【详解】解：由题得22i12ii5i42iz，所以复数z在复平面内对应的点的坐
11、标是0,5.故选：B2.【答案】A【详解】3 2 cos33a b 223(23)abab2241294 9 12 39 46aa bb 故选：A3.【答案】A【详解】由题意可知，2a，4124c，12PFca，若25PF，则154PF，19PF 或 1（舍去），若19PF，294PF，25PF 或 13，故“25PF”是“19PF”的充分不必要条件故选：A4.【答案】B【详解】8 个开放洞窟中有 3 个最值得参观，所求概率为2231353548C C1C2C CP故选：B5.【答案】B【详解】解：如图，过点P作y轴的垂线，垂足为N，由题知0,1F，即1OF 因为2PFFM ，所以13MOFF
12、MPPN所以3PN，所以点P到准线l的距离为14PN .故选：B6.【答案】A【详解】由已知sin()sin()()eeeexxxxxxxxfxf x ，()f x为奇函数，排除BD；又(0,)2x时，sin0 xx，2x时，1sinxx，sin0 xx，即0 x 时，sin0 xx，所以()0f x 恒成立，排除 C故选：A7.【答案】C【详解】球 O 的半径为 R，则2416R，解得：2R，由已知可得：239 3344ABCS，其中233AEAD球心 O 到平面 ABC的距离为2231R，故三棱锥PABC的高的最大值为 3，体积最大值为19 3334ABCS 故选：C8.【答案】B【详解】
13、记椭圆中的几何量为 a，b，c，双曲线中的几何量为,a b c，12,AFm AFn，则由椭圆和双曲线定义可得2mna，2mna，两式平方相减整理得22aamn，记12F AF，则由余弦定理得2222cos4mnmnc2-得2222(1 cos)4448mnacb由面积公式可得1sin22mn，即4sinmn，代入整理得2sin()42，因为(0,)，所以3(,)444，所以44，得2，所以224aa，即224aa，所以222222212112422aaaeeca，即221211122ee，所以222222222121121222222212121222115594()(4)22222222e
14、eeeeeeeeeeeee，当且仅当1236,22ee时等号成立.故选：B9.【答案】BD【详解】1 月到 9 月中，最高气温与最低气温相差最大的是 1 月，故 A 选项错误；1 月到 9 月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系，故 B 选项正确；最高气温与最低气温的差不稳定，故 C 选项错误；最低气温的极差超过 35，最高气温的极差约为 25，故 D 选项正确故选：BD10.【答案】BD【详解】解：对于 A 选项，当,mnm,n，m与n相交时，故错误；对于 B 选项，线面垂直与线面平行性质知当m,n，则mn，正确；对于 C 选项，若,mnm n是异面直线，则n与相交或/n，故错误；对于
15、D 选项，根据线面垂直的判定定理得：若,m，则m，故正确.故选：BD11.【答案】ABC【详解】A.代入点0,0得22(cos)(sin)1 恒成立，A 正确；B.22cossin1 2，即两圆心距离等于两圆半径差，B 正确；C.直线3 22xy被圆所截得弦长为223 23 2sincossincos222 12 122sincos2sin2,24，223 23 2sincos2222 12 1322，即直线3 22xy被圆所截得弦长的最大值为3，C 正确；D.圆心到直线的距离22coscossinsincos1cossin，故圆和直线相切或相交，D 错误；故选：ABC.12.【答案】ACD【
16、详解】由na是递增数列，得123aaa；又12nnaan，所以122324aaaa，所以12123212244aaaaaaa，所以101a，故选项 A 正确；221234212()()()26102(21)2nnnSaaaaaann，故 B 不正确；由 nb是递增数列，得123bbb，又12nnnb b，所以1 22 324bbb b，所以2132bbbb，所以112b，故选项 C 正确；所以21321242()()nnnTbbbbbb1212(1 2)(1 2)()(21)1 21 2nnnbbbb，所以21 22(21)2 2(21)nnnTbb，又12bb，所以22 2(21)nnT，而
17、222 2(21)22(2 22)nnnn，当5n 时，22(2 22)0nn；当14n时，可验证22(2 22)0nn，所以对于任意的*nN，22nnST，故选项 D 正确故选：ACD13.【答案】240【详解】622xx的展开式的通项为：6212 316622,0,1,6rrrrrrrTCxC xrx，当1230r，即4r 时，622(1)xxx展开式x的系数为：446C2240.当1231r显然不成立；故答案为：24014.【答案】8【详解】由题意圆标准方程是22(2)(4)9xy，圆C的圆心为4(2,)C，半径为3r，弦长为 6，则弦为直径，已知直线过圆心，所以2420mn，即21mn
18、，212144(2)()4428mnmnmnmnmnnmnm，当且仅当4mnnm即11,24mn时等号成立故答案为：815.【答案】12【详解】由对称性不妨设P在x轴上方，设,0P c mm，POF，PAFtantan1mmcacAPOmmcac22amaac acc acmc acmm当且仅当mc ac取等号，直线l上存在点P满足30APOmax3tan3APO即332()ac ac，24430ee，即(21)(23)0ee，所以102e，故椭圆离心率的最大值为12.故答案为：12.16.【答案】43；710,22.【详解】解：已知矩形ABCD中，3,1ABBC，在矩形ABCD中，连接AC和
19、BD交于点O，2222312ACBDABBC，112OAOBOCODAC，可知点O是四面体DABC外接球的球心，则外接球的半径1r，所以该四面体外接球的体积34433Vr；在四面体DABC中，作BEAC交AC于点E，DFAC交AC于点F，再作EGAC交CD于点G，则/EGDF，所以二面角DACB的平面角为BEG，则BEG，在矩形ABCD中，可知3,1ABBC，1OCOB，所以BOC是等边三角形，3cos302BEDFBC，2sin301EFACCEACBC，由四面体DABC可知，BEEF，DFEF，则0BE EF，0DF EF，而222222BDBEEFFDBEEFFDBE EFEF FDBE
20、 FD2222223321222BEEFFDBE FDEB FD335335312cos2coscos4422222EBFD 即53cos22BD，所以当在,3 2 内变化时，10cos2，则71022BD，即BD的范围为710,22.故答案为：43；710,22.17.【答案】（1）21nan（2）2k 【小问 1 详解】设等差数列na公差为d，由题意1211161536(2)(12)adada ad，0d，解得112ad，所以12(1)21nann；【小问 2 详解】由（1）111111()(21)(21)2 2121nna annnn，所以111 1111111(1)()()(1)232
21、 352 2121221nTnnn，易知nT是递增的且12nT，不等式4nkT 对任意的*nN都成立，则142k，所以2k 18.【答案】（1）6B（2）答案见解析【小问 1 详解】2 coscbB，则由正弦定理可得sin2sincosCBB，23sin2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B【小问 2 详解】若选择（1），由（1）可得6A，即ab则21133 3sin2224ABCSabCa，解得3a，则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb 若选择（2）：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得
22、2 sin6abRR，22 sin33cRR，则周长2342 3abcRR，解得2R，则2a，2 3c，由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：222 312 2 3 1 cos76 19.【答案】(1)证明见解析；(2)3 1313.(1)在等腰梯形ABCD中，/C DAB，2CD，取PB中点N，连结MN，C N，如图，因M为棱AP的中点，则/MNABCD，且122MNABCD，即四边形M N C D为平行四边形，则/DMCN，而CN 平面PBC，DM 平面PBC，所以/DM平面PBC.(2)取AB中点Q，AQ中点O，连结D Q，PQ，OD，O M，有/C DBQ，且C DBQ，四边形BC
23、 D Q是平行四边形，则2DQBCADAQ，则有3O D，且ODAB，正PAB中，,2 3PQAB PQ，而/OMPQ，因此，132OMPQ，且OMAB，而OMODO，,O MO D 平面DOM，则AB 平面DOM，AB 平面ABCD，有平面DOM 平面ABCD，由3D M，得60DOM，在平面DOM内作OzOD，平面DOM 平面ABCDOD，即有Oz 平面ABCD，以O为原点，射线OB，OD，Oz分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则3 31,0,0),(0,),1(2,3,3,3),22,0),(3,0,0)AMPCB，有2,3,3),2,3,3),(1,3,0)(APPB
24、CB ，设平面PBC的法向量为,nx y z，则233030PB nxyzCB nxy ，令3y，得3,3,1n，设直线AP与平面PBC所成角为，则3 13sincos,13AP nAP nAP n ，所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为3 1313.20.【答案】（1）该风投投资光刻胶项目；（2）1.40.5y；2022 年年末【小问 1 详解】若投资光刻机项目，设收益率为1，则1的分布列为10.30.1Pp1p所以 10.30.110.40.1Eppp 若投资光刻胶项目，设收益率为2，则2的分布列为20.30.20P0.40.10.5所以20.3 0.40.20.1 0 0.50.1E
25、 因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以0.40.10.1p，所以12p 因为221110.30.10.1 0.10.0422D，22220.30.10.40.20.10.100.10.50.03D，所以12EE，12DD，这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥综上所述，建议该风投投资光刻胶项目【小问 2 详解】12342.54，235644y，411 22 33 54 647iiiy ，4222221123430ii，则41422214474 2.5 41.4304 2.54iiiiiyyb ，41.42.50.5 ayb，故线性回归方程为1.40.5y设该在芯片领
26、域的投资收益为 Y，则0.1 1.40.50.75Y，解得5，故在 2022 年年末该投资在芯片领域的投资收益可以超过 0.75 亿元21.【答案】（1）22143xy（2）存在定点 P(1,0)【详解】(1)由题意知222241232ac babc，解得：231abc，故椭圆C的方程是22143xy(2)由22143ykxmxy得(4k23)x28kmx4m2120因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m0 且0，即 64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得 4k2m230.(*)此时x02443kmk 4km，y0kx0m3m，所以 M(43,)kmm由4x
27、ykxm得N(4,4km)假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上设P(x1,0)，则0PM PN 对满足(*)式的m、k恒成立因为PM(143,)kxmm，PN(4x1,4km)，由0PM PN ，得-16km14kxm4x1x12km30，整理，得(4x14)kmx4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以121144430 xxx解得x11.故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.22.【答案】（1）答案见解析；（2）10ea【小问 1 详解】()f x的定义域是(0,)，(1)()()(1)axxafxxaxx，0a 时，01x时
28、，()0fx，1x 时，()0fx，()f x的减区间(0,1)，增区间是(1,)；01a时，0 xa或1x 时，()0fx，1ax时，()0fx，()f x的增区间是(0,)a和(1,)，减区间是(,1)a；1a 时，()0fx恒成立，()f x的增区间是(0,)，无减区间；1a 时，01x或xa时，()0fx，1xa时，()0fx，()f x的增区间是(0,1)和(,)a，减区间是(1,)a；【小问 2 详解】22()()1xxaF xfxax，由题意220 xxa有两个不等正根12,x x，440a，1a，又122xx，120 x xa，所以01a，21()ln22F xxaxx，2221211122212121212111()()ln2ln2()2ln()2()222F xF xxaxxxaxxxxx xax xxx2ln4ln2aaaaaa，由题意2ln22eaaa，2ln0eaaa，设2()lneg xxxx(01)x，则()ln1 1lng xxx 0，()g x在(0,1)上递减，又11112()ln0eeeeeg，所以由2ln0eaaa，得10ea综上，10ea