立体几何知识点总结完整版.pdf

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1、立立【考纲解读】【考纲解读】体体几几何何知知识识点点1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用

2、直角坐标计算空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证.8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、 向量法） .对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的

3、情况） 和距离公式计算距离。【知识络构建】【知识络构建】【重点知识整合】【重点知识整合】1空间几何体的三视图(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图2斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox，Oy，建立直角坐标系；(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上 (平面上)画出对应的 Ox，Oy，使xOy45(或 135)，它们确定的平面表示水平平面；(3)画对应图

4、形，在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中画成平行于 x轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于 y 轴的线段，在直观图中画成平行于 y轴，且长度变为原来的一半；(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去 x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:V柱台体的体积公式:V棱台(2)球的表面积公式:【高频考点突破】【高频考点突破】考点一考点一空间几何体与三视图空间几何体与三视图1一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2画直

5、观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与 x 轴、z 轴 平行的线段长度不变，与 y 轴平行的线段长度减半例 1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系抓住“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断.考点二考点二空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：圆柱的表面积公式：S2r22rl2r(rl)(其中 r 为底面半径，l 为圆柱的高)；圆锥的表面积公式：Sr2rlr(rl)(其

6、中 r 为底面半径，l 为母线长)；圆台的表面积公式：S(r2r2rlrl)(其中 r 和 r分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长)；Sh;锥体的体积公式:V锥1Sh;314h(S SS S);球的体积公式:V球r3.33S球 4R2.柱体的体积公式：VSh(S 为底面面积，h 为高)；1锥体的体积公式：VSh(S 为底面面积，h 为高)；31台体的体积公式：V(S SSS)h(S、S 分别为上、下底面面积，h 为高)；34球的表面积和体积公式：S4R2，VR3(R 为球的半径)3例 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 3B9 3

7、D18 3C12 3【方法技巧】1求三棱锥体积时，可多角度地选择方法如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法2与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量3求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解4对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.考点三考点三球与空间几何体的球与空间几何体的“ “切切”“”“接接” ”问题问题1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径2正方体的内切球其棱长为球的直径3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线4正四面体的外接球与内切球的半径之比为

8、 31.例 3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为_【方法技巧】1涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点 P、A、B、C 构成的线段 PA、PB、PC 两两垂直，且 PAa，PBb，PCc，则 4R2a2b2c2(R 为球半径)可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理考点四考点四空间线线、线面位置关系空间线线、线面位置关系(1)线面平行的判定定理：a?，b?，ab?a.(2)线面平行的性质定理：a，a?，b?ab.(3)线面垂直的判定定理：m?，n?，mnP，lm，ln?l.(4)线面垂直的性质定

9、理：a，b?ab.例 4、如图，在四面体 PABC 中，PCAB，PABC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点(1)求证：DE平面 BCP；(2)求证：四边形 DEFG 为矩形；(3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由【方法技巧】1证明线线平行常用的两种方法：(1)构造平行四边形；(2)构造三角形的中位线2证明线面平行常用的两种方法：(1)转化为线线平行；(2)转化为面面平行3证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.考点五考点五 空间面面位置关系空间面面位置关系1面面垂直的判定

10、定理：a?，a?.2面面垂直的性质定理：，l，a?，al?a.3面面平行的判定定理：a?，b?，abA，a，b?.4面面平行的性质定理：，a，b?ab.5面面平行的证明还有其它方法：?1?a、b?且abAc、d?且cdBac，bd?，(2)a、a ?.例 5、如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.【方法技巧】1垂直问题的转化方向面面垂直?线面垂直?线线垂直主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明具体如下：(1)证明线线垂直：线线垂直的定义；线面垂直的

11、定义；勾股定理等平面几何中的有关定理(2)证明线面垂直：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；面面垂直的性质定理(3)证明面面垂直：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理2证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面.例 6、如图，平面 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC16，PAPC10.(1)设 G 是 OC 的中点，证明：FG平面 BOE；(2)证明：在ABO 内存在一点 M，使 FM平面 BOE.【方法技巧】1用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理

12、论证而直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误2利用向量法的关键是正确求平面的法向量赋值时注意其灵活性注意(0,0,0)不能作为法向量.考点七考点七 利用空间向量求角利用空间向量求角1向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，异面直线所成的角为 ，则cos|cos|ab|a，b|.|a|b|2向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n， 直线的方向向量 a， 设线面所成的角为 ， 则 sin|cos n，|na|a|.|n|a|3向量法求二面角：求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量

13、 n1，n2，若二面角 l 所成的角 为锐角，|n1n2|则 cos|cosn1，n2|；|n1|n2|若二面角 l 所成的角 为钝角，则 cos|cosn1，n2|n1n2|.|n1|n2|例 7、如图，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， AB2，BAD60.(1)求证：BD平面 PAC；(2)若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；(3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长考点八考点八利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断

14、，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法例 8、如图，在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD上已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 AMCB 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由【难点探究】【难点探究】难点一难点一空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积例 1、 （1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48B32

15、8 17C488 17D80(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()99A 12B 1822C942D3618难点二难点二球与多面体球与多面体例 2、 已知球的直径 SC4， A， B 是该球球面上的两点， AB 3， ASCBSC30，则棱锥 SABC 的体积为()A3 3B2 3C. 3D1【解题规律与技巧】【解题规律与技巧】 【历届高考真题】【历届高考真题】【20122012 年高考试题】年高考试题】一、选择题1.【2012 高考真题新课标理 7】如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）2.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩

16、形 ABCD，AB=1，BC=2。将沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂直3.【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2；则此棱锥的体积为（）4.【2012 高考真题四川理 6】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角

17、相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.【2012高考真题四川理 10】如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A， 过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交， 所得交线上到平面的距离最大的点为B，该 交 线 上 的 一 点A AB BD DP PC CO OP满 足BOP 60， 则A、P两 点 间 的 球 面 距 离 为 （）A、Rarccos23RRB、C、RarccosD、43436

18、. 【2012 高考真题陕西理 5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA CC1 2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A.3552 5B.C.D.5535【答案】A.【解析】设|CB | a，则|CA|CC1| 2a，A(2a,0,0),B(0,0,a),C1(0,2a,0),B1(0,2a,a)，AB1 (2a,2a,a),BC1 (0,2a,a)，cos AB1,BC1AB1BC1| AB1| BC1|5，故选 A.57.【2012 高考真题湖南理 3】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是（）9.【2012 高考真题广东

19、理 6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A12B.45C.57D.81【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得1V V圆锥V圆柱3252-32325 57故选 C310.【2012 高考真题福建理 4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱11.【2012高考真题重庆理 9】设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1，则a的取值范围是（A）(0,2)（B）(0,3)（C）(1, 2)（D）(1, 3)【答案】A【解析】因为BE 2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，1(2212则

20、BF BE，AB 2BF 2BE 2，选 A，)122212.【2012 高考真题北京理 7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：S底10，S后10，S右10，S左6 5，因此该几何体表面积S S底S后S右S左306 5，故选 B。13.【2012 高考真题全国卷理 4】已

21、知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=2 2E 为 CC1的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（）A2B3C2D1二、填空14.【2012 高考真题浙江理 11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm3.【答案】1【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于11 3 1 2 12315.【2012 高考真题四川理 14】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中D D1 1A A1 1D DB B1 1C C1 1N NC CB BMM点，则异面直线A1M与D

22、N所成角的大小是_。A A16.【2012 高考真题辽宁理 13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_。【答案】【答案】38【解析】【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(344131)2112 3817.【2012 高考真题山东理 14】如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1 EDF的体积为_.18.【2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥P

23、 ABC，点 P，A，B，C 都在半径为3的求面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_。【答案】【答案】33【解析】【解析】因为在正三棱锥P ABC 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P ABC 在面 ABC 上的半径为3， 所以正方体的棱长为 2， 可求得正三棱锥P ABC 在面 ABC 上的高为高。已知球的2 3， 所以球心到截面 ABC3的距离为3 2 333319.【201

24、2 高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为。20. 【2012高考真题上海理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC 2，若AD 2c，且AB BD AC CD 2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是。【答案】2c a2c21。3【解析】过点 A 做 AEBC，垂足为 E，连接 DE，由 ADBC 可知，BC平面 ADE，所以V12VBADEVCADESADEBC=SADE，33当 AB=BD=AC=DC=a 时，四面体 ABCD 的体积最大。过 E 做 EFDA，垂足为点 F，已知 EA=ED，所以ADE 为等腰三角形

25、，所以点 E 为 AD 的中点，又AE2 AB2 BE2 a21，EF=AE2 AF2a2c21，1ADEF=c a2c21，22222四面体 ABCD 体积的最大值VmaxSADE=c a c 1。33SADE=21.【2012 高考江苏 7】（5 5 分）分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB AD3cm，AA1 2cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为cm322.【2012 高考真题安徽理 12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_【答案】92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是S1 2(25)4(25442(52)2)4 9222

26、3. 【2012 高考真题天津理 10】 一个几何体的三视图如图所示 （单位： m） ， 则该几何体的体积为_m3.632正视图3132侧视图3俯视图24.【2012 高考真题全国卷理 16】三菱柱 ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为_.【答案】63【 解 析 】 如 图设AA1 a,AB b,AC c,设 棱 长 为1 ， 则AB1 a b, BC1 a BC a c-b，因为底面边长和侧棱长都相等，且BAA1 CAA1 600所以ab ac bc 1，所以2AB1(a b)23，BC1(a c-b)22，设异

27、面直线的夹角为AB1BC1 (a b)(a c-b) 2AB BC1co s1AB1BC122 36.3，所以三、解答题27.【2012 高考真题湖北理 19】（本小题满分 12 分）如图 1，ACB 45，BC 3，过动点 A 作AD BC，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿AD将ABD折起，使BDC 90（如图 2 所示）（）当BD的长为多少时，三棱锥A BCD的体积最大；A（）当三棱锥A BCD的体积最大时，设点BC，AC的中点，试在E，M分别为棱A棱CD上确定一点N，使得EN BM，并求EN与平面BMN所成角的大小第 19 题图解法 2：BDCD.E13CM同解法

28、1，得VABCDADSBCD(3 x)x(3 x) (x 6x29x)33262图图 1令f (x) 111B131(x 6x29x)，由f (x) (x 1)(x 3) 0，且0 x 3，解得x 162当x(0,1)时，f (x) 0；当x(1,3)时，f (x) 0所以当x 1时，f (x)取得最大值故当BD1时, 三棱锥A BCD的体积最大zAMAMD NBxE图 aCyBDNE图 bFCMDNFECGHNEB图 cPB图 d第 19 题解答图故EN与平面BMN所成角的大小为60 .解法 2：由（）知，当三棱锥A BCD的体积最大时，BD1，AD CD 2如图 b，取CD的中点F，连结M

29、F，BF，EF，则MFAD.由（）知AD 平面BCD，所以MF 平面BCD.如图 c，延长FE至 P 点使得FP DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DP BF. 取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则ENDP，所以EN BF. 因为MF 平面BCD，又EN 面BCD，所以MF EN.又MFBF F，所以EN 面BMF. 又BM 面BMF，所以EN BM.因为EN BM当且仅当EN BF，而点 F 是唯一的，所以点N是唯一的.即当DN 1（即N是CD的靠近点D的一个四等分点），EN BM25，2连接MN，ME，由计算得NB NM EB EM 所以NMB与EMB是两个共底边

30、的全等的等腰三角形，如图 d 所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM 平面EGN在平面EGN中，过点E作EH GN于H，则EH 平面BMN故ENH是EN与平面BMN所成的角在EGN中，易得EG GN NE 2，所以EGN是正三角形，2故ENH 60，即EN与平面BMN所成角的大小为60 .28.【2012 高考真题新课标理 19】（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC 1AA1，2D是棱AA1的中点，DC1 BD（1）证明：DC1（2）求二面角A1 BC BDC1的大小.29. 【2012高考江苏 16】 （1414 分）分）如图， 在直三棱柱ABC A

31、1B1C1中，ABCC1上的点 （点DE分别是棱BC，11AC11，D，不同于点C），且AD DE， F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F /平面ADE【解【解析】析】（1）要证平面ADE平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD平面BCC1B1即可。它可由已知ABC A1B1C1是直三棱柱和AD DE证得。（2）要证直线A1F /平面ADE，只要证A1F平面ADE上的AD即可。32.【2012 高考真题北京理 16】（本小题共 14 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE=2

32、，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2.(I)求证：A1C平面 BCDE；(II)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由【答案】解：（1）CD DE，A1E DEDE 平面ACD，1又，A1C 平面ACD1又AC CD，1A1C 平面BCDE。（2）如图建系C xyz，则D2，0，0，A 0，3，0，E2，2，00，2 3，B0，A1B 0，3，2 3,A1E 2，1，0设平面A1BE法向量为n x，y，zzA1(0,0,2 3)ME (-2

33、,2,0)yB (0,3,0)D (-2,0,0)C (0,0,0)x3z y3y 2 3z 0A1Bn 02则2x y 0yx A1E n 02n 1，2， 3又M 1，0， 3CM 1，0， 3cosCM n13422|CM |n|1 43 1322 2，CM与平面A1BE所成角的大小45。33.【2012 高考真题浙江理 20】(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为2 3的菱形，且BAD120，且 PA平面 ABCD，PA2 6，M，N 分别为 PB，PD 的中点()证明：MN平面 ABCD；() 过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 AMNQ 的

34、平面角的余弦值【答案】()如图连接 BDM，N 分别为 PB，PD 的中点，在PBD 中，MNBD又 MN平面 ABCD，MN平面 ABCD；()如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，2 6)，M( N(3，0，0)，C(3，3，0)33，0)，22 3， 2 6)设 Q(x，y，z)，则CQ (x 3，y 3，z)，CP ( 3， 3， 2 6)，Q( 3 3， 3 3， 2 6)CQ CP ( 3，由OQ CP即：Q(OQ CP 0，得： 132 32 6，2，)3340.【2012 高考真题湖南理 18】（本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，

35、AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD的中点.（）证明：CD平面 PAE；（）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积.由PA 平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.AB 4,AG 2,BG AF,由题意，知PBA BPF,因为sinPBAPABF,sin BPF ,所以PA BF.PBPB由DAB ABC 90 知，AD / /BC,又BG / /CD,所 以 四 边 形BCDG是 平 行 四 边 形 ， 故GD BC 3.于是AG 2.在Rt BAG中，AB 4,AG 2,BG

36、 AF,所以于是PA BF 8 5.5又梯形ABCD的面积为S1(53)4 16,所以四棱锥P ABCD的体积为2解法 2：如图（2），以 A 为坐标原点，AB, AD, AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA h,则相关的各点坐标为：由（）知，CD (4,2,0), AP (0,0, h),由PB (4,0, h),故解得h 8 5.5又梯形 ABCD 的面积为S1(53)4 16，所以四棱锥P ABCD的体积为21 2 85.15V 1185SPA 16335【20112011 年高考试题】年高考试题】一、选择题一、选择题: :1. (20111. (2011 年高考

37、山东卷理科年高考山东卷理科 11)11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正存在三棱柱，其正( (主主) )视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正( (主主) )视图、俯视图如视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正下图；存在圆柱，其正( (主主) )视图、俯视图如下图其中真命题的个数是视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(A)3(A)3(B)2 (C)1(B)2 (C)1(D)0(D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.4.(2011(2011 年高考安徽卷理科年高

38、考安徽卷理科 6)6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A） 48(B)32+8(C) 48+8(D) 80【答案】C【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2，下底为4，高为 4，。故S表 5.(2011(2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 8)8)如图，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（）(A)ACSB(B) AB平面 SCD(C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角(D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角8(2011(2011年

39、高考江西卷理科年高考江西卷理科 8)8)已知1，2，3是三个相互平行的平面平面1，2之间的距离为d1，平面2，3之间的距离为d2直线l与1，2，3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2=P2P3”是“d1 d2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】过点P1作平面2的垂线 g,交平面2，3分别于点 A、B 两点,由两个平面平行的性质可知P2AP3B,所以PPd121,故选 C.PPd2129. (2011 (2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 3)3)设图 1 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.9912B.18C.942

40、D.3618223答案：B2解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是 3 的正方形，高为 2 的长方体以及一个直径为 3 的球组成的简单几何体，其体积等于正视图侧视图10.(201110.(2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 7)7)如图如图 l l3 3某几何体的正视图某几何体的正视图( (主视图主视图) )是平行四边形，侧视图是平行四边形，侧视图( (左视图左视图) )和俯和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（视图都是矩形，则该几何体的体积为（）A.A.6 3B.B.9 3C.C.12 3D.D.18 3俯视图.【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，EA 平面A

41、BCD图 14339( ) 332 18。故选 B3223V S平行四边形ABCDh 32213 9 3。所以选 B11.(2011(2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 5)5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是2H H（B）8332（C）82（D）D D3【答案】E EA（A）8G G3 3F FC C3 3A A1 12 2B B12.(2011(2011年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 9)9)高为2的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点S、A、B、C、D 均在半径为41 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为（A）22（B）42（C

42、）1（D）2解析：选 C. 设底面中心为 G，球心为 O，则易得AG 22，于是OG ，用一个与 ABCD 所在平22面距离等于2222的平面去截球，S 便为其中一个交点，此平面的中心设为 H，则OH ，故4244227SH212，故4872SG SH2 HG218415. (2011(2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 11)11)已知平面截一球面得圆 M，过圆心 M 且与成60，二面角的平面截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为(A)7(B)9(c)11(D)13【答案】D【解析】由圆M的面积为4得MA 2，OM 4 2 12N N6060

43、MM22220O OB BA A OM 2 3，在Rt ONM中,OMN 30021ON OM 3,r= 423 13S圆N13故选 D2二、填空题二、填空题: :1.(2011(2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 15)15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 3，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_.2. (2011(2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科15)15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4 的球O的球面上，且ojAB 6,BC 2 3,则棱锥O ABCD的体积为。答案:8 3解析：如图，连接矩形对角线的交点O1

44、和球心O,则，DCAC 4 3,O1A 1AC 2 3,四棱锥的高为2o1ABO1O 42(2 3)2 2,所以，体积为V162 32 8 333 3(2011(2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 10)10)一个几何体的三视图如图所示（单位：一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为），则这个几何体的体积为_m34.(2011(2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 15)15)如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.答案：2R2R22r R r r r R，S侧 2r2 R r 4r (R r )

45、S侧max时，解析：22222222222则4R 2R 2R222三、解答题三、解答题: :1. (20111. (2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 19)19) （本小题满分本小题满分 1212 分）分） 在如图所示的几何体中，在如图所示的几何体中， 四边形四边形 ABCDABCD 为平行四边形，为平行四边形，?ACB=?ACB=90，平面，平面，EFEF，. .= =. .（) )若是线段的中点，求证：平面若是线段的中点，求证：平面; ;（）若（）若= =, ,求二面角求二面角- - -的大小的大小【解析】（)连结 AF,因为 EF，EF =F, 所 以平 面 EFG 平 面 A

46、BCD, 又 易证EFGABC,所以FGEF111,即FG BC,即FG AD,又 MBCAB2221AD,又因为 D，所以2为 AD的中点,所以AM M,所以四边形 AMGF 是平行四边形,故 GMFA,又因为平面 ,FA平面 ,所以平面.（）取 AB 的中点 O,连结 CO,因为,所以 COAB,又因为平面，CO平面,所以CO,又AB=A,所以 CO平面,在平面 ABEF 内,过点 O 作 OHBF 于 H,连结 CH,由三垂线定理知: CHBF,所以CHO为二面角-的平面角.设 = =2a,因为?ACB=90， =2a,CO=a,AE 2a,连结 FO,容易证得2FOEA且FO 2632

47、2a, 所 以B Fa, 所 以OH=a, 所 以 在R =atC O H22326中,tan?CHO=CO3,故?CHO=60,所以二面角-的大小为60.OH2.(2011(2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 20)20)（本题满分 15 分）如图，在三棱锥P ABC中，AB AC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC- 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。平面APC的法向量n2 (x2, y2,z2)4x1

48、(23)y1(44)z1 0BM n1 0由得8x 01BCn2 05x yx1 023242APn2 03y24z2 0)由即即得23，可取n1 (0,1,34x 5y 044z1y122z yACn2 044224可取n2 (5,4,3)，由n1n2 0得433234 0解得，故AM 3445综上所述，存在点 M 符合题意，AM从而PM PBcosBPA 2，所以AM PAPM 3综上所述，存在点 M 符合题意，AM 3.5. (2011(2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 18)18) (本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形

49、，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。8(2011(2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 19)19)（本小题满分 12 分）如图 5，在圆锥PO中，已知PO=2，O 的直径AB 2,C是AB的中点，D为AC的中点（）证明：平面POD平面PAC;（）求二面角BPAC的余弦值.解法 1：连结 OC，因为OA OC,D是AC的中点,所以AC OD.又PO 底面O，AC底面O，所以AC PO，因为 OD，PO 是平面 POD 内的两条相交直线，所以AC 平面 POD，而AC 平面 PAC，所以平面 POD平面

50、 PAC。（II）在平面 POD 中，过 O 作OH PD于 H，由（I）知，平面POD 平面PAC,所以OH 平面 PAC，又PA面 PAC，所以PAOH.连接 HG，在平面 PAO 中，过 O 作OG PA于 G，则有PA平面 OGH，从而PA HG，故OGH为二面角 BPAC 的平面角。在RtODA中,OD OAsin45 2.2在RtPOD中,OH POODPO OD2222210.5122在RtPOA中,OG POOAPO2OA2216.2 1310OH155.在RtOHG中,sin OGH OG563所以cosOGH 1sin OGH 12151010.故二面角 BPAC 的余弦值