立体几何知识点总结完整版.docx-淘文阁

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1、立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算

2、空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证.8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式

3、计算距离。【知识络构建】【重点知识整合】1空间几何体的三视图(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图2斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤 (1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox，Oy，建立直角坐标系；(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上 (平面上)画出对应的 Ox，Oy，使xOy45(或 135)，它们确定的平面表示水平平面；(3)画对应图形，在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图

4、中画成平行于 x轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于 y 轴的线段，在直观图中画成平行于 y轴，且长度变为原来的一半；(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去 x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)3.体积与表面积公式:1= ShV = Sh(1)柱体的体积公式:V;锥体的体积公式:;3柱锥143V = h(S + SS S ;球的体积公式: V + )=p r .3台体的体积公式:棱台 3球S = 4p R球(2)球的表面积公式:2.【高频考点突破】考点一空间几何体与三视图1一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的

5、高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与 x 轴、z 轴平行的线段长度不变，与 y 轴平行的线段长度减半例 1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系抓住“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断.考点二空间几何体的表面积和体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：圆柱的表面积公式：S2r 2rl2r(rl)(其中 r 为底面半径，l 为圆柱的高)；2圆

6、锥的表面积公式：Sr rlr(rl)(其中 r 为底面半径，l 为母线长)；2圆台的表面积公式：S(r r rlrl)(其中 r 和 r分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长)；22 柱体的体积公式：VSh(S 为底面面积，h 为高)；13锥体的体积公式：V台体的体积公式：VSh(S 为底面面积，h 为高)；13(S SSS)h(S、S 分别为上、下底面面积，h 为高)；43球的表面积和体积公式：S4R ，V为球的半径)R (23 R例 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 3B9 3C12 3D18 3【方法技巧】1求三棱锥体积时，

7、可多角度地选择方法如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法2与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量3求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解4对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.考点三球与空间几何体的“切”“接”问题1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径2正方体的内切球其棱长为球的直径3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线4正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.例 3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为_【方法技巧】1涉及球与棱

8、柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点 P、A、B、C 构成的线段 PA、PB、PC 两两垂直，且 PAa，PBb，PCc，则 4R 2a2b2c2(R 为球半径)可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理考点四空间线线、线面位置关系(1)线面平行的判定定理：a?，b?，ab?a.(2)线面平行的性质定理：a，a?，b?ab.(3)线面垂直的判定定理： m?，n?，mnP，lm，ln?l.(4)线面垂直的性质定理：a，b?ab.例 4、如图，在四面体 PABC 中，PCAB，PABC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，

9、AC，BC，PB 的中点(1)求证：DE平面 BCP；(2)求证：四边形 DEFG 为矩形；(3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由【方法技巧】1证明线线平行常用的两种方法：(1)构造平行四边形；(2)构造三角形的中位线2证明线面平行常用的两种方法：(1)转化为线线平行；(2)转化为面面平行3证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.考点五空间面面位置关系1面面垂直的判定定理：a?，a?.2面面垂直的性质定理：，l，a?，al?a.3面面平行的判定定理：a?，b?，abA，a，b?.4面面平行的性质定理

10、：，a，b?ab.5面面平行的证明还有其它方法：?1?a、b?且abAc、d?且cdB ? ， ac，bd(2)a、a ?. 例 5、如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.【方法技巧】1垂直问题的转化方向面面垂直?线面垂直?线线垂直主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明具体如下：(1)证明线线垂直：线线垂直的定义；线面垂直的定义；勾股定理等平面几何中的有关定理(2)证明线面垂直：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；面面垂直的性质定理(3)证明面

11、面垂直：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理2证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面.例 6、如图，平面 PAC平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC16，PAPC10.(1)设 G 是 OC 的中点，证明：FG平面 BOE；(2)证明：在ABO 内存在一点 M，使 FM平面 BOE.【方法技巧】1用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误2

12、利用向量法的关键是正确求平面的法向量赋值时注意其灵活性注意(0,0,0)不能作为法向量.考点七利用空间向量求角1向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，异面直线所成的角为，则 cos|cosa，b|ab|.|a|b|2向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成的角为，则 sin|cosn，|na|a|.|n|a|3向量法求二面角：求出二面角 l 的两个半平面与的法向量 n ，n ，若二面角 l 所12成的角为锐角，|n n |则 cos|cosn ，n |；12|n |n |1212若二面角 l 所成的角为钝角，|

13、n n |则 cos|cosn ，n |12 .|n |n |1212例 7、如图，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， AB2，BAD60.(1)求证：BD平面 PAC；(2)若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；(3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长考点八利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法例 8、如图，

14、在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD上已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 AMCB 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由【难点探究】难点一空间几何体的表面积和体积例 1、（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48B328 17D80C488 17(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()9292A 12B 18 C942D3618难点二球与多面体例 2、已知球的直径 SC4，A，B 是该球球面上

15、的两点，AB 3，ASCBSC30，则棱锥 SABC 的体积为(A3 3 B2 3)C. 3D1【解题规律与技巧】【历届高考真题】【2012 年高考试题】一、选择题11.【2012 高考真题新课标理 7】如图，格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）22.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD，AB=1，BC=。将沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直.D.对任意位置

16、，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂直3.【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥S - ABCO的所有顶点都在球的求面上，DABC是边长为1SCOSC = 2为球的直径，且；则此棱锥的体积为（的正三角形，） 4.【2012 高考真题四川理 6】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5. 【 2012aa高考真题四川理 10】如图

17、，半径为 R 的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于OOOa作平面成a角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，O点 A ，过圆的直径CD45BBOP = 60该交线上的一点 P 满足，则 A 、 P 两点间的球面距离为（）ABDPOC2pR3pRarccosR arccosA、 RB、C、D、4433 6【. 2012 高，则直线BC考真题陕西理 5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC- A B C CA = CC = 2CB，与11111直线 AB 夹角的余弦值为（）1552 5535A.B.C.D.53

19、一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得 1p 3222+ 5 - 3 p 3 5 57p2V =V +V = =故选 C3圆锥圆柱10.【2012 高考真题福建理 4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球 B.三棱柱 C.正方形D.圆柱11.【20122 aa2和，且长为的棱与长为的棱异面，高考真题重庆理 9】设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1，则 a 的取值范围是(0, 2)(0, 3)(1, 2)(1, 3)（A）（B）（C）（D）【答案】A212BE = 1- ()

20、= 1- =BF BE AB，= 2BF 2BE = 2，选 A，2【解析】因为则22212.【2012 高考真题北京理 7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）5555D. 60+12A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的S =10 S =10 S =10 S= 6 5，因此该几面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，底后右左 S = S + S + S + S = 3

21、0+ 6 5何体表面积，故选 B。底后右左2 213.【2012 高考真题全国卷理 4】已知正四棱柱 ABCD- A B C D 中，AB=2，CC =E 为 CC 的中111111点，则直线 AC 与平面 BED 的距离为（）132A 2BCD 1二、填空14.【2012 高考真题浙江理 11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm .3【答案】1【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于12131 2 = 1315.【2012 高考真题四川理 14】如图，在正方体 ABCD- A B C D 中， M 、 N 分别

22、是 CD 、CC的中11111 DC11A1NDCMAB点，则异面直线 A M 与 DN 所成角的大小是_。116.【2012 高考真题辽宁理 13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_。【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的2(3 4 + 41+ 31)+ 2p 11- 2p = 38底面积，即为17.【2012 高考真题山东理 14】如图，正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 1，E, FAA , B

23、C分别为线段111111上的点，则三棱锥 D- EDF的体积为_.1 18.-3的求面上，若 PA，PB，【2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥 P ABC，点 P，A，B，C 都在半径为PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_。3【答案】3【解析】因为在正三棱锥 P ABC 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正-方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ABC 在面 ABC 上的-高。已知球的2 333-半径为，所以正方体的棱长

24、为 2，可求得正三棱锥 P ABC 在面 ABC 上的高为，所以球心到截面 ABC2 3333 -=的距离为32p19.【2012 高考真题上海理 8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为。20【. 2012BCABCDBC = 2AD = 2c，若，且高考真题上海理 14】如图， AD 与是四面体中互相垂直的棱， AB + BD = AC + CD = 2aa cABCD的体积的最，其中、为常数，则四面体大值是。23c a2- c -1。2【答案】【解析】过点 A 做 AEBC，垂足为 E，连接 DE，由 ADBC 可知，BC平面 ADE，123所以V = V+V=

25、 S BCADE=，S3B-ADEC-ADEADE当 AB=BD=AC=DC=a 时，四面体 ABCD 的体积最大。过 E 做 EFDA，垂足为点 F，已知 EA=ED，所以ADE 为等腰三角形，所以点 E 为 AD 的中点，又AE2= AB2- BE2= a2-1，EF= AE2- AF2= a2- c -1，21= AD EF c a=- c-1，S222ADE223四面体 ABCD 体积的最大值V=S=c a2 c- -1。2max 3 ADE21.【2012 高考江苏 7】（5 分）如图，在长方体ABCD ABC D-中，AB= AD = 3cm， AA = 2cm，则四11111-

26、BB D D3棱锥 A的体积为 cm 1122._【2012 高考真题安徽理 12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是【答案】92 4【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，1S = 2 (2 + 5)4 + (2 + 5+ 4 + 4 + (5- 2) )4 = 92几何体的表面积是22223【. 2012 高考真题天津理 10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_m .36313232正视图俯视图侧视图324.【2012 高考真题全国卷理 16】三菱柱 ABC-A B C 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA =CAA =60则异面11111直

27、线 AB 与 BC 所成角的余弦值为_.116【答案】3AA = a, AB = b, AC = c,【解析】如图设设棱长为 1 ，则1AB = a + b, BC = a + BC = a + c -bBAA = CAA = 60，因为底面边长和侧棱长都相等，且0 所以，111112a b = a c = b c =AB = (a + b)= 3BC = (a + c -b)= 2，所以2，211AB BC = (a + b) (a + c -b) = 2q，设异面直线的夹角为，所以11AB BC26c o = s=1=q1.32 3AB BC11

28、三、解答题27.【2012 高考真题湖北理 19】（本小题满分 12 分）如图 1， ACB =45，BC = 3，过动点 A 作AD BC D BC，垂足在线段上且异于点 B，连接 AB，沿ADABD折起，使 BDC = 90将（如图 2 所示）（）当BD的长为多少时，三棱锥 A- BCD的体积最大；A- BCD A BC AC的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在E M（）当三棱锥ACDN上确定一点，使得EN BMENBMN棱，并求与平面所成角的大小M第 19 题图D解法 2：BC.CDBE1111同解法 1，得V= AD S= (3- x) x(3- x) = (x -

29、 6x + 9x)323326A-BCDDBCD图 1图 211f (x) = (x - 6x + 9x)f (x) = (x -1)(x - 3) = 00 x 0x(1, 3)f (x) 0时，所以当x =1时， f (x)取得最大值的体积最大故当BD =1时, 三棱锥 A- BCD zAAMD NCyCBxEEB图 a图 bMGFNCDBHNEEBP图 c图 d第 19 题解答图故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为60 .解法 2：由（）知，当三棱锥A- BCD的体积最大时，BD =1 AD = CD = 2，如图 b，取 CD的中点 F ，连结 MF ， BF ， EF ，则

30、MF AD .由（）知 AD 平面 BCD ，所以 MF 平面 BCD .如图 c，延长 FE 至 P 点使得 FP BF .，= DB，连 BP DP，则四边形 DBPF为正方形，DP，所以 DP所以 EN BF . 因为 MF 平面 BCD ，又 EN 面 BCD ，所以 MF EN BMF取DF的中点，连结 EN ，又 E 为 FP的中点，则 EN N.又 MF BF = F ，所以 EN 面 BMF . 又 BM 面，所以 EN BM.因为 EN BM 当且仅当 EN BF ，而点 F 是唯一的，所以点 N 是唯一的.1即当 DN = （即 N 是 CD的靠近点 D 的一个四等分点）

31、， EN BM 25连接 MN ， ME ，由计算得 NB = NM = EB = EM =，2所以 NMB 与 EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图 d 所示，取 BM 的中点 G ，连接 EG ， NG ，则 BM 平面EGNBMNEGNE EH GN在平面中，过点作于，H则 EH 平面是ENH EN故与平面 BMN所成的角2在 EGN 中，易得 EG = GN = NE =，所以 EGN 是正三角形，2故 ENH=60，即与平面所成角的大小为60 .ENBMN28.【2012 高考真题新课标理 19】（本小题满分 12 分）1ABC - A B C= BC = AAAC如图，直

32、三棱柱中，1，2111DC BDD 是棱 AA 的中点，11DC BC（1）证明：1A - BD - C（2）求二面角的大小.11 29.【2012- A B CAB =AC ，D，EBC ，CC分别是棱上的点（点D高考江苏 16】（14 分）如图，在直三棱柱ABC中，1111 1111 DE ，F B C不同于点），且 ADC为的中点11求证：（1）平面 ADE 平面 BCC B ；11/（2）直线 A F 平面 ADE 1 【解ADE 平面 BCC B，只要证平面ADE上的即可。它可由已知AD 平面 BCC B析】（1）要证平面111 1ABC - A B CAD DE是直三棱柱和

33、证得。111A F /1ADEA F1ADEAD上的即可。（2）要证直线平面，只要证平面32.【2012 高考真题北京理 16】（本小题共 14 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A DE 的位置，使 A CCD,如图 2.11(I)求证：A C平面 BCDE；1(II)若 M 是 A D 的中点，求 CM 与平面 A BE 所成角的大小；11(III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A DP 与平面 A BE 垂直？说明理由11【答案】解：（1） CD DE ， A

34、E DE1 DE 平面 ACD ，1又AC 平面 ACD ，11又 AC CD ，1 AC 平面 BCDE。1(0，0，2 3)()() ()（2）如图建系 C - xyz ，则 D -2，0，0 ， A，B 0，3，0，E -2，2，0()( )0，3，- 2 3 , A E = -2，-1，0 A B =z11A (0,0,2 3)1n = (x，y，z)设平面 A BE 法向量为1ME (-2,2,0)D (-2,0,0)C (0,0,0)yB (0,3,0)x 3z =y0 n =A B2则 1-2x - y = 0 n = 0A Eyx = -12() = -1，2， 3n(-1，0

35、， 3)又M()= -1，0， 3CMCM n1+ 342cosq =| CM | | n |1+ 4 + 3 1+ 3 2 2 22，与平面所成角的大小 45A BECM。133.【2012 高考真题浙江理 20】(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 3 的菱形，且BAD120，且 PA平面 ABCD，PA 2 6 ，M，N 分别为 PB，PD 的中点()证明：MN平面 ABCD；() 过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 AMNQ 的平面角的余弦值【答案】()如图连接 BDM，N 分别为 PB，PD 的中点，在 D PBD 中，MNBD又 MN

36、平面 ABCD，MN平面 ABCD；()如图建系： 33A(0，0，0)，P(0，0，2 6 )， ( -M，，0)，22N(3 ，0，0)， ( 3 ，3，0)C设 Q(x，y，z)，则 CQ = (x - 3，y - 3，z)，CP = (- 3，- 3，2 6) CQ = lCP = (- 3l，- 3l，2 6l) ， Q( 3 - 3l，3- 3l，2 6l) 1由 OQ CP OQCP = 0 ，得： l = 32 332 63即： Q(，2，) 40.【2012 高考真题湖南理 18】（本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，

37、BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD的中点.（）证明：CD平面 PAE；（）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积.由PA 平面ABCDPBA为直线 PBABCD所成的角与平面知，.AB = 4, AG = 2,BG AF,PBA = BPF,所以 PA = BF.由题意，知PABFPBsin PBA =,sin BPF =因为PBDAB = ABC = 90 知，AD / /BC,又BG / /CD,BCDG由所以四边形是平行四边形，故GD = BC = 3.于是 AG = 2.R

38、tBAG AB = 4, AG = 2,BG AF,所以在中， 8 55PA = BF =.于是1ABCD的面积为 S = (5+ 3)4 =16,P - ABCD所以四棱锥的体积为又梯形2AB, AD, APx轴，y轴，z轴建立空间直角坐解法 2：如图（2），以 A 为坐标原点，所在直线分别为PA = h,标系.设则相关的各点坐标为：CD = (-4, 2,0), AP = (0,0, -h), PB = (4,0, -h),由故由（）知，8 5h =解得.51S = (5+ 3)4 =16P - ABCD的体积为又梯形 ABCD 的面积为，所以四棱锥2118 5 1 2 8 5V = S PA = 16=.33515【2011 年高考试题】一、选择题:1. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正 (主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(A)3

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