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1、学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 2012 年 GCT数学真题及解析（B卷）第二部分数学基础能力测试（25 题，每题 4分，共 100分）1.在平面上，正方形共有（）条对称轴 . A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 D 两对对边的平分线，和两条对角线所在直线都是正方形的对称轴，共有4 条. 2.若, ,a b c 分别为ABC的三边之长，则abcbcacab（）. A.abcB.bcaC.3abcD.3cab【解析】选 D 由三角形的性质三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得0,0,0abcbcacab则()3abcbcacabbcaa
2、cbabccab故选 D. 3.边长分别为8 厘米和 6 厘米的两个正方形ABC D与BEFG并排放在一起， 如图所示，直线EG交D C于P，AC交PG于K，则三角形AEK的面积是（）. A.48 B.49 C.50 D.51 【解析】选 B 过 点K作 垂 线 段KH交BC于 点H, 由 题 意 可 得2C GBCBG， 故AEK的 高 为学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 7BHBGG H，所以三角形AEK的面积是11(86)74922AEBH。4.要建一座小型水库，若单独投资，甲村缺资金92 万元，乙村缺资金88 万元。而两村合作投资仍需贷款20 万
3、元，则建该水库需要资金（）万元 . A.100 B.120 C.140 D.160 【解析】选 D 设建该水库需要资金x万元，则由题意可得：928820160 xxxx故选 D. 5.如图所示的数阵中，每行、 每列的三个数均成等比数列.如果数阵中所有数的乘积等于1512，那么22a（）. A.18B.14C.12D.1 111213212223313233aaaaaaaaa【解析】选 C 由题意可得数阵中所有数的乘积为11121321221331323333312223233123222233222292222()()()()()151212aaaaaaaaaaaaaaaaaaa故选 C. 学
4、苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 6. 若( )fx是 以3为 周 期 的 奇 函 数 ，( )g x是 以2为 周 期 的 偶 函 数 ， 且()2g， 则s i n ( 2 0 1 2 )(2 )6c o s ( 3)2()3ffgg（）. A.32B.32C.33D.3【解析】选 C 由题意可得11sin(2012)(2)sin(2)(2)36622113cos(3)2()cos()2()cos(2)cos()332236ffffgggg故选 C. 7.如图所示， 矩形ABC D的对角线BD过坐标原点O， 矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数3
5、1kyx的图像上， 若A点的坐标为 (2,2) ，则k（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 【解析】选 B 由题意可知(2,2),(4,1)AC，则3141kk，故选 B. 8.若n是大于 100 的正整数，且1231,2!3!4!nMn则M所在的区间是（）. 学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 A. (0,1)B.(1, 2)C.(2,3)D.(3, 4)【解析】选 A 由题意可知1111!(1)!nnnnnnn，所以1231111111112!3!4!1!2!2!3!(1)!nMnnnn故选 A. 9.盒中有十张卡片，分别写有数码1,2,3,4,5
6、,6,7， 8，9，10.若从中任取3 张，则其中恰有一张卡片写的是质数的概率为（）. A.12B.512C.110D.2140【解析】选 A 1,2,3,4,5,6,7 ，8，9，10 中的质数为2,3,5,7，则由题意可得恰有一张卡片写的是质数的概率为：12463104151109826C CC，故选 A. 10.若复数23234,ziiii则z（）. A.6 B.32C.3 D.34【解析】选 B 由题意可得2323423433ziiiiiiii学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 故32z11.若三角形ABC中，角,A B C 的对边分别为, ,a
7、b c 则表达式222coscoscos()abcABCabcabc的值为（）. A.12B.23C.1 D.32【解析】选 A 由余弦定理可得222222222cos,cos,cos222bcaacbabcABCbcacab，则：222222222222222222222222222222222coscoscos()()2221()2()2()12abcABCabcabcabcbcaacbabcabcabcabcabcbcaacbabcabcabcabc故选 A. 12.一次选举有四个候选人甲、乙、丙、丁，若投票的结果是，丁得票比乙多，甲、乙得票之和超过丙、丁得票之和，甲、丙得票之和与乙、丁
8、得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是（）. A.甲、丁、丙、乙B.丁、乙、甲、丙C.丁、甲、乙、丙D.甲、丁、乙、丙【解析】选 D A 选项甲、丙得票之和大于乙、丁得票之和，B 选项甲、丙得票之和小于乙、丁得票之和，C选项甲、丙得票之和小于乙、丁得票之和，D 选项符合题意. 学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 13.二次函数2yaxbxc的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C.如果60ACB.那么24bac的值是（）. A.4 B.8 C.10 D.12 【解析】选 D 由抛物线的对称性可得，ABC为正三角形，则由题意可得顶点到x轴的距离与底边（
9、两解之间距离）的关系为22222424()443423,412acbbcbacaaaabacbac故选 D. 14.一个棱长为4 分米的密封的正方体盒子里（壁厚忽略不计）放有一个半径为1 分米的球，若盒子随意翻动，则该盒子的内表面接触不到球的那部分面积是（）平方分米 . A.24 B.60 C.72 D.96 【解析】选 C 对于每一个面上球体能接触到的面积为以2 为边长的正方形，故可以接触的面积为4，则可接触的总面积为4624，不可接触的面积为264247215. 椭 圆22221(0,0)xyabab如 图 所 示 ， 其 中1F是 左 焦 点 . 若11290 ,F B A则该椭圆的离心
10、率ca（） . A.1112B.172C.152D.132学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 【解析】选 C 由题意可得22212112122222222222222()2()30()10152F AF BA Bacbcabcaacaccacaccaacea由于离心率是正的那么512e，故选 C. 16.若()fx 是非负连续函数，且222()2lim84xfxx，则,(2)f（）. A.4 B.2 C.1 D.2【解析】选 A 由222()2lim84xfxx可知，当2x时，240 x，则2( )20fx，由()fx是非负连续函数可得(2)2f，则222
11、22,()2lim4()2)()2)lim(2)(2)()2)( )(2)lim(2)222(2)48(2)4xxxfxxfxfxxxfxfxfxxff学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 故选 A. 17.在直径为D的大圆内作两两外切的n个小圆 .小圆的圆心都在大圆的同一直径上，两端的小圆又分别内切于大圆（如图是4n的情形） .若第k个小圆的周长为kl，则1limnknkl（）A.等于DB.等于2DC.等于 D D.不存在【解析】选 A 由题意可知第k个小圆的直径kD为kl，则111limlimlimnnnkkknnnkkklDDlD，故选 A. 18.已
12、知(1)ln2xfxx.若()ln,fg xx 则()g x（）. A.11xxB.11xxC.11xxD.11xx【解析】选 A 由题意可设1tx，则1xt，1( )ln1tftt，由()lnfg xx ，可得()1()lnln()1()1()11( )1g xfg xxg xg xxg xxg xx故选 A.学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 19.若函数()xy xexe有正的极值点，则参数的取值范围是（）. A. (,)eB.(, 0)eC.(0,)eD.( ,)e【解析】选 B ,11()01ln()11ln()0 xxxyxeeeexx可得00
13、ln()10e，故选 B. 20.若函数()yfx 由参数方程2211sincosttuxduuuyduu确定，则3tdydx（）. A.33B.22C.2D.3【解析】选 A 由题意可得232333cos(2 )3cot33sin(2 )ttttdyttdtdytdxdxttdtt，故选 A. 21.若函数()fx 的二阶导数连续，且满足,()(),fxfxx则() cosfxxdx（）. A.,()()ffB. ,()()2ffC.()()ffD.()()2ff【解析】选 B 学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 ,() cos()sin() sinsi
14、n()sin()()coscos()cos()()()cos()()()cos()cos2()fxxdxfx dxfxxxfx dxxfx dxfx dxxfxxfx dxffxfxx dxffxfx dxxxdxfx,cos()()()()() cos2xdxfffffxxdx故选 B. 22.若00230()4036012xxxfxx，则,(0)f（）. A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选 C 2,3020()036(1)()4364601202()860()8(0)8xxfxxxxxxxfxxfxf故选 C. 23.设 3 阶可逆矩阵A满足122ABBE （E是单位矩阵） .若
15、1002110,223002B则矩阵AE的第二行是（）. A.（ -1 -1 0）B.（-1 1 0）学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 C.（1 -1 0）D.（1 1 0）【解析】选 C 由题意可得112(2)2(2)2(2)AABABABABEABBE即为1010110110100003002110 100110 100100 010100 010010110010110002 00100110011000022即0100101101100031002A可得第二行为（1,0,0） ，则矩阵AE的第二行为（ 1，-1,0） ，故选 C. 24.设向量1
16、（1 0 1)T，2（1 a-1)T，3（a1 1)T.如果（2 2a-2)T不能用123,线性表示，那么a（）. A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】选 B 设112233kkk则有12322312322kkakakkakkk学苑教育http:/ 电话： 010-62511721 62510602 则系数矩阵为1101111aa，211012(2)(1)01111,2aaaaaaaa当1a时111011111与增广矩阵111 201111112的秩不同，故无解；当2a时，112021111与增广矩阵112 2021 1111 1的秩都为2，此时有解；故1a，选 B. 25.设340450.21Aa若 A 的三重特征值对应两个线性无关的特征向量，则a（）. A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】选 D 设特征值为，对应的一个特征向量为：3340450(1)0211EAa则()0AAE故AE的秩为 3-2=1，即44044021a秩为 1，故2,2aa，故选 D.