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1、练习 6.1在 y 按 A 的本征矢量 ai展开的（6.1）式中，证明若 y 是归一化的，则 c* ci i= 1，即 A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟）i证明：若 y 是归一化的，则 y y = 1。根据(6.1)式y= a c ,ciiii可得= a yi c* c = yi iii即 A 取各值的概率是归一化的。#aa y = y y = 1ii练习 6.2(1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟核对：王俊美）(1) 证明：在定态中H i = Ei则i,i = 1,2,3L(
2、 )- i E ty t= i ei所以i E th i- i E ty Ay = eh即所有物理量的平均值不随时间变化.i i A i e h i= i A i .(2) 两个定态的叠加不一定是定态.例如()() - i E t( ) - i E ty x,t= u x e h 1+ v x e h 2当 E = E12时,叠加后y (x,t )是定态;当 E1 E 时, 叠加后y (x,t )不是定态.2#6.3 证明：当函数 f (x) 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： X , f (P) = ihP f (P) f ( X ), P = ih Xf ( X
3、)（解答：玉辉核对：项朋）证明：（1） X , f (P)y = Xf (P)y - f (P) Xy= ih f (P)y - f (P)ih yPP=yih f (P) + f (P)ih y - f (P)ih yPPP=yih Pf (P)所以 X , f (P) = ih（2）P f (P) f ( X ), Py= f ( X )Py - Pf ( X )y= f ( X )(-ih )y - (-ih ) f ( X )yXX= f ( X )(-ih )y - f ( X )(-ih )y -y (-ih ) f ( X )=yih XXXXf ( X )所以 f ( X ),
4、 P = ih#X f ( X )练习 6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉核对：项朋） X , f ( X , P) = ih解：不正确。P f ( X , P)因为 f ( X , P) 是X 的函数，所以 X , f ( X , P) =0#练习 6.5 试利用 Levi - Civita 符号，证明：（孟祥海）（1） P L = 0, X L = 0（2） L, X P = 0（3） L2 = X 2 P 2 - (X P )(P X )- 2ih X P证明：（1） P L = PL = P ei iiiijkX Pijkj k= eijkPX Pijk ij k由于e 1 ,ij
5、k = 123,231,312= -1 ,ijk = 132,213,321且 P，X ，P 是相互对易的，ijk 0 ,其他情况ijk所以 P L = ePXijk iP 0j kX L =ijkX L= X eX P = eX X P，同上面的过程可以得到i iiijkj kijkij kiijkijkX L = 0（2） 先计算：L , X P= eX P , X P = eiijkj kl l X P , X Pijkj kl ljklljk由于 Xi, P = ihdjij。将上式展开可以得到：L , X P = 0 ，再利用相同的道理可以推出：iL, X P = 0（3） 证明：r
6、 rX 2 P2 = ( x2 + x2 + x2 )( p2 + p2 + p2 )123123= x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p2 + x2 p21 11 21 32 12 22 33 13 23 3r rr r( XP )( PX ) = ( x p2 x+ x p p x+ x p p x+ x p p x1 1 11 1 2 21 1 3 32 2 1 1+ x p2 x + x p p x+ x p p x+ x p p x+ x p2 x )2 2 22 2 3 33 3 1 13 3 2
7、23 3 3r r2ihXP = 2ih( x p + x p+ x p )1 12 23 3rL2 = x p x p2 3 2 3- x p x p2 3 3 2- x p x p3 2 2 3+ x p x p3 2 3 2+ x p x p- x p x p- x p x p+ x p x p3 1 3 13 1 1 31 3 3 11 3 1 3+ x p x p1 2 1 2- x p x p - x1 2 2 1p x p2 1 1 2+ x p x p2 1 2 1利用公式 x , pij = ihdijrr rr rr rr rL2 - X 2 P2 + ( XP )( PX
8、 ) + 2ihXP= -x2 p2 - x2 p2 - x2 p2 + x p2 x + xp2 x+ x p2 x1 12 23 31 1 12 2 23 3 3+ ih( x p + x p + x p1 12 23 3= ( x p2 x - x2 p2 ) + ( xp2 x - x2 p2 ) + ( xp2 x - x2 p2 )1 1 11 12 2 22 23 3 33 3+ ih( x p + x p + x p )1 12 23 3= -ihx p - ihx p - ihx p+ ih( x p + x p + x p )1 12 23 3= 01 12 23 3即得证
9、！#6.6试仿照( x3 p )w的计算方法，计算( xp )w和( x2 p 2 )w。（高召习）解：由 Weyle 规则，将物理量的经典式 A(x，p)写成x和h 为变量的傅里叶积分A(x,p) = dx a(x ,h)eixx+ihp dh（1）-将积分中指数上的 x 和 p 改为对应的算符 X 和 P。所得结果即为与A(x，p)对应的算符式 A（X，P）A(X,P) = dx a(x,h)eixX +ihP dh（2）-首先计算（1）式中 A(x，p)的傅里叶变换 A( x ,h ) ,取 A(x，p)为 xn pm ，则有a( x ,h ) =1( 2p )2-ixx-ihpdpdx
10、A( x, p )e（3）对于 xn pm 有-a( x ,h ) =1( 2p )2 xn pme-ixx-ihpdxdp1 n m= ( 2p )2i e-ixx ixdh e-ihpdxdp(4)=d ni x mx()i h (h )对于 xp，n=1,m=1,将此式代入（2）得A( X , P ) = ( xp )w = i x d ( x )i h d (h )eixx+ihpdxdh 1 ihxh= id ( x )id (h )eixxeihpe 2xhdxdh 1= d ( x )i x eixx ( -P - 2 hx )dx11= d ( x )eixx XP +hxx
11、-ihdx= XP - 1 ih222= 1 ( XP + PX )21即 (xp)w=( XP + PX ) 2对于 x 2 p 2 ，n=2，m=2，将此式代入（2）得A( X , P ) = ( x2 p2 )w 22= i x d ( x )i h d (h )eixx+ihpdxdh 2 21 ihxh= i x d ( x )i h d (h )eixxeihpe 2dxdh 2 2xh= d ( x )i eixx d (h )i eixxeihpdh dx1=( X 2 P2 + XPXP + XP2 X + PX 2 P + PXPX + P2 X 2 )6即( x2 p2
12、)w= 1 ( X 2 P2 + XPXP + XP2 X + PX 2 P + PXPX + P2 X 2 )6#练习 6.7证明(xn pm) 的一般公式：W n1m(xn pm)W= (X -i x ) (P+ 2 hx)x=0并利用此式计算(xn pm)Wo （解答：田军龙审核：邱鸿广）nmW证明：(xn pm) = (i x ) d(x)(i h)d (h) eixX +ihP dxdhx= (i n) d(x)(i h)m2d (h) eixX eihP e1 ihxh dxdhnm= (-1)n+m d (x)(i) eixX d (h) (i)(eihP e1 ihxh)dhd
13、xxh2n 1m= (-1)n+m d(x)(ix ) eixX (-P-hx)dx21mn= (-1)n+m eixX (-P-hx) (i) d (x)dx2xn1m= (-1)n d (x)(i) eixX (P+hx)dxx2= (i)n eixX (P+ 1 hx)mx2x =0(X -i )n (P+ 1 hx)m=x2x=0( X 3 P2)W=( X 3 P2 + X 2 PXP + XP X 2 P + X 2 P2 X + X P2 X 218+ P X 2 PX + PXPX X 2 + P2 X 2)#()1 ()练习 6.8（梁端）解： xn pB=X n P + P
14、X n2因为：X , P= 0()所以：xn p()B欲求：xn pw= X n P则：a(x ,h)=1(2p )2xn pe-ixx -ihpdxdp1 n = (2p )2 i e-ixx ixh e-ihpdxdp所以： n d (x ) d (h)= i x i h ()() n( ) ( )xn p= A X , Pw= ix d x ih d h eixX +ihPdxdh n( ) ( )= i d x id h eixX eihPdxdhxh()() n( ) = - 1 2 d x i x eixX d h i h eihPdhdx( ) n () x = d x ix因为
15、： X , P= 0- P ei X dx()1 ()xn p=n + 1 X n P = X n Pwn + 1故：在条件X , P= 0 下xn p= xn p)()(Bw#练习6.9 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量 f 的算符对应的平方，应当与经典 f 2的对应相同。试以 f = xp 为例，说明 Bohm 规则与Weyl 规则都不满足这个条件。（解答：邱鸿广审核：田军龙） 解：（1） Bohm 规则：f = xp 的对应算符为：(xp)B1= 1 (x p + px) 2此算符对应的平方为：(x p + px)2（1）412 22 2 经典量 f 2 的算符为(x2 p2 )
16、B=(x p + p x )（2）2因为(1) (2) 所以 Bohm 规则不满足提设这个条件。（2）Weyl 规则：f = xp 的对应算符为：(xp)W= 1 (x p + px) 21122 此算符对应的平方为：(x p + px)2 =(x px p + x p x + px p + px px)（3）4412 2222 2 经典量 f 2 的算符为：(x2 p2 )W=(x p + x px p + x p x + px p + x px p + x p )（4）6因为(3) (4) 所以Weyl 规则也不满足提设这个条件。#v v 1 v6.10证明： L, R = 0 , L,
17、R = 0 , L, P = 0 . （解答：项朋审核：玉辉）v证明： 先计算 L, R 2v v v v L, R 2 = L, X 2 =e L , X Xiijj= v ij e XL , Xijij= ij+ L , XXijjv e 2ihei X X ijkkj ijk= 0v再计算 L, R ，vv vv0 = L, R 2 = R L, R +L, R R = 2R L, RvL, R =00 = v v1 v 1 v1 v 1 L,1 = L, R R = RL, R + L, R R = RL, R + 0 v 1 L, R = 0vv v v ijijL, P 2= L,
18、 P 2 =e L , P P= v ij e P L , P+ L , P Pijij= ijijjv e 2ihei P ijk k ijk= 0vv vv0 = L, P 2vL, P= P L, P += 0 .L, P P = 2P L, P#1 6.11 用数学归纳法求 P 2 , Rn解: 由 6.28 式可知和 P 2 ,， n = 0,1,2L （解答：项朋Rn 审核：玉辉）vP , R nv= - ni h R n - 2 R vvv vvP 2 , Rn = P 2 , Rn = P P, Rn + P, Rn P(v vv v)(v v)= -nihRn-2PR + R
19、P = -nihRn-2 - ih + 2RP下面用数学归纳法证明上式成立: 当 n = 0 时，显然成立当 n = 1时，由 6.31 式，上式成立再由上式推出一个将n 改为n+1 的同样公式； (v v) ( v v)1 P 2 , Rn+1= R P 2 , Rn + P 2 , R Rn = -nihRn-1 - ih + 2RP+ - ih 2PR + ih Rn(v v) (v v )()(v v )R = -nihRn-1 - ih + 2RP+ - ihRn-1 - ih + 2RP= - n + 1 ihRn-1 - ih + 2RP说明了原式对n+1 也成立，于是证明了上式
20、的普遍成立。 由 6.29 式可知 v1 h1vP, = niRRn Rn+21 v1 v v1 v1 v1(v vv v)1( v v)P 2 , = P 2 , = PP, + P, P = nihPR + RP = nih2PR + ihRn Rn Rn Rn Rn+2Rn+2下面用数学归纳法证明上式成立: 当 n = 0 时，显然成立当 n = 1时，由 6.31 式，上式成立再由上式推出一个将n 改为n+1 的同样公式；1 1 1 1 1 1( v v)1 ( v v) 1P 2 ,Rn+1 =P 2 ,(2)RRn+ P 2 ,R Rn= nih2PR + ih + ih2PR +
21、 ihRn+3R3Rn= (n + 1)ih1Rn+3v vPR + ih说明了原式对n+1 也成立，于是证明了上式的普遍成立。#6.12证明：（1）vvvvvP L + L P = 2ihP（2） (vv)(vv)（梁端）P L （1）证明： v veL P = P 2 L2vPL =P L eijk i j ke= ijkvPR P eijk il m kijklm= (d d- d d )vP R P eik lmkl imkm ili l m k= (P RP - P R P v)ei k iiki i kk= P (P R+ ihd)- P R P veii kikiki i kk=
22、vvv vvP 2R - P RP + ihP同理可证：vvvvv vvL P = -P 2R + P RP + ihP故：vvvvvP L + L P = 2ihP（2）证明：由上题可知： vv2 v(vvh)vP L = P R - P R - iP将各个量化为三维形式：vvvvP = p i + p j + p kxyzP 2 = px2 + py2 + p 2z所以：vv()vP L = p 2 x + p 2 x + p 2 x - p xp - p yp - p zp - ihp i( xyzxxyxzxx )v+ p 2 y + p 2 y + p 2 y - p xp - p
23、yp - p zp - ihpj( xyzxyyyzy)yv+ p 2 z + p 2 z + p 2 z - p xp - p yp - p zp - ihp k则有：xyzxzyzzzz将上式进行点乘，经过整理得：(vv)(vv)222 )()v()v()v2(P L P L = p+ p+ pxyzyp - zp i +zyzp - xpxxj + xpy- yp kx= P 2 L2故：此题得证#6.13练习 7.1推导以下列个关系式T + (p ) p = p + p ,T (p ) p = p + p p T + (p ) = p + p , p T (p ) = p + p 解：
24、用位置 X 构造一个幺正算符T + (p )iiT + (p) = exp( pX )其伴算符为T (p) = T + (p) -1 = exp(-pX )hhT + (p ) 与 P 的对易关系是：T + (p ), P = ih X T + (p) = -pT + (p)即 PT + (p ) = T + (p )P + pT + (p )将此式作用到 p 上，得PT + (p) p = T + (p)P p + pT + (p) p = ( p + p)T + (p) p 则 P 的一个本征矢量 p 被算符T + (p ) 作用后，可得出另一个本征矢量，其本征值为 p + pT + (p
25、) p = p + p 由于T + (p ) 的幺正性， p + p 也是归一的。我们称T + (p ) 为作用于动量本征矢量的上升算符；有上式的左矢形式 p T (p) = p + p 可知，算符T (p) 是左矢p 的上升算符。将T (p) 作用于 p ，由于T (p ) = T + (-p ) 可得，T (p) p = p - p p T + (p) = p - p 可见算符T (p) 是右矢 p 的下降算符，而算符T + (p ) 是左矢p 的下降算符。#7.2 若取Q +- i xp=e h 中的 为复数，能否得出X 的本征值为复数的结论？（丽芳候书进审）解：若 为复数，令=a+b
26、则X,Q+ = ihQ+= xQ+ , XQ+= Q+ X +xQ+x(x)由(x)p(x)(x)(x)(x)得 XQ+ x = Q+ X x + xQ+ x = (x + x)Q+ x(x )(x )(x )(x )x因为 为复数， Q+( )不再是幺正算符，现将Q+(x)ixe- ap归一化得其归一化矢量为hx ，其本征值为x+同理hXe- i apx = e- i ap X x + ae- i apx = (a + x)e- i ap xhhh即此时本征值为x+a,结论矛盾，所以 不能是复数，即X 的本征值不可以是复数7.3 证明： X= ih d (p - p)= -ih (p - p
27、)式成立。pppp（做题人：涛审题人：吴汉成）证明：令 0 x = x = 0表示算符 X 的本征值为零的本征矢量，0 p = p = 0 表示算符 P 的本征值为零的本征矢量。p x = p Q + (x)0x= p e- i xP 0hxh= e- i xp p 0x= e- i xp 0hpT (p)0xh= e- i xp 0ph= e- i xp 0p- i pXe0hx0xd (x - x)= x x = x pp x dph= e i xp 0p02 e- i xp dp xh= 002 e- i p(x- x )hdppx= 00p2 2phd (x - x)x12ph 00=
28、px2phh p x = e- i xp 00=1px- i xpehXpp= p X p= p x dx x X x dx x p=1 e- i xp xd (x - x)e i xp dxdx2ph1= 2phhhh e- i (p- p )xdx=1 ih d (p - p) 2ph2ph = ih p= -ih p d (p - p)d (p - p)p证毕7.4 证明以下两个左矢关系成立：（做题人：涛x X = x x审题人：吴汉成）xx P = -ihx证明：在 x X 式中右乘 x则 x X x = x x x = xd (x - x)在 x x 式中右乘x x x x = xd
29、 (x - x)则 x X x = xx x x X = xx 证毕在 x P 右乘 x则 x P x = -ih d (x - x)xxx在- ihx 右乘 x -ihx xxx x P x = -ih x P = -ihx 证毕x x练习 7.5试讨论动量表象的函数形式。（吴汉成 完成， 董延旭 核对） 解：讨论关系式：| j = X |y ，从矩阵形式出发则有：j( p) = jp= p | j = p | X |y （1）+而本征值矢量组 | p 是完全的，即： dp | p p = 1 ，并代入（1）式-得：j( p) = +dp p | X | p p |y -Q又 p | X |
30、 p = X+pp= -ihd ( p - p ), y= p |y ，并代入上式p p得： j( p) = -dp -ihp d ( p - p )yp-（2）并对该式进行分部积分：j( p ) = -ihd ( p - p )y| p = + d ( p - p )ih ydp = ih y pp= ihp p = - y ( p ) pp p 上式可写成如下形式：j( p) = Xy ( p) ，其中算符 X = ih ，此关系式便是动量表象的函p数形式。练习 7.6证明描写同一状态y 的位置表象波函数y (x) 与动量表象波函数y ( p)之间满足傅里叶变换：2 p hhhy ( x
31、) =1 y ( p ) e i xp dp2 p hy ( p ) =1（吴汉成 完成， 董延旭 核对）y ( x ) e - i xp dx（1）证明：已知 x | p =1i px2 p he h，显然得：2ph右边 =1 y ( p )e i xp dp2phh= y ( p )(1e i px )dph= y ( p) x | pdp又有，y ( p) =y= p |y ，并代入上式得：p右边= p |y x | pdp= ( y| p ) * ( p | x ) * dp= (| p p |) * dp ( y | x ) *（1）又Q本征值矢量组| p的完全性，即： | p p
32、|dp = 1 (| p p |)*dp = (| p p |dp)* = 1 ， 并代入（ 1 ） 式得：显然证得：右边= (y | x)* = x |y =yx=y (x)2 p hhy ( x ) =1 y ( p ) e i xp dp2p h（1）证明：已知 x | p =1e i px ，则有：2p hh p | x = x | p * =1e- i pxh2phhh显然得：右边=1y (x)e- i xp dx12 ph= y ( x ) (= y (x) p | xdxe - i px ) dx又有y (x) =y= x |y ，并代入上式得：x右边 = x |y p | xdx= (y | x)