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1、精品文档精品文档【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果 一个数 x 的平方 等于 a，那么这个数x 就叫做 a 的平方根 即：如果ax2，那么 x 叫做 a 的平方根（2）开平方的定义：求一个数的平方根 的运算 ，叫做 开平方开平方运算的 被开方数必须是 非负数 才有意义。（3）平方与 开平方互为逆运算：3 的平方等于9， 9 的平方根是3（4）一个 正数 有两个平方根，即正数 进行 开平方 运算有 两个 结果 ；一个 负数没有平方根，即 负数不能 进行 开平方 运算（5）符号： 正数 a 的正的平方根 可用a表示，a也是 a 的算术平方根；正数 a
2、的负的平方根 可用 -a表示 （6）ax2 axa 是 x 的平方x 的平方是a x 是 a 的平方根a 的平方根是x 2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果 一个正数x 的平方 等于 a，即ax2，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 a的算术平方根记为a，读作 “ 根号a” ，a 叫做 被开方数规定： 0 的算术平方根是0. 也就是，在等式ax2(x 0)中，规定ax。（2）a的结果有 两种情况： 当 a是 完全平方数 时 ，a是一个 有限数；当 a 不是一个完全平方数时，a是一个 无限不循环小数。（3）当 被开方数扩大时，它的 算术平方根 也扩大；当被开方数缩小时与它的
3、算术平方根也缩小 。一般来说， 被开放数扩大 （或缩小） a 倍，算术平方根扩大 （或缩小）a倍， 例如=5，=50。（4）夹值法 及估计一个（无理）数的大小（5）ax2(x 0) axa 是 x 的平方x的平方是a x 是 a 的算术平方根a的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a（a0）0a精品文档精品文档aa2；注意a的双重非负性：-a（a0）a0 （7）平方根 和算术平方根 两者既有区别又有联系：区别在于 正数的平方根有两个，而它的 算术平方根只有一个；联系在于 正数 的正平方根 就是它的 算术平方根 ，而 正数的负平方根是它的 算术平方根的相反数
4、。3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数 x 的立方 等于a， 这个数叫做a的 立方根 （也叫做 三次方根 ） ，即如果3xa， 那么x叫做a的立方根（2）一个数a的立方根， 记作3a，读作： “ 三次根号a” ，其中a叫被开方数， 3 叫根指数， 不能省略 ，若省略表示平方。（3） 一个 正数 有一个 正的立方根；0 有一个立方根，是它本身；一个 负数 有一个 负的立方根 ；任何数 都有 唯一 的立方根 。（4）利用 开立方 和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即330aa a。（5
5、）ax3 3axa 是 x 的立方x 的立方是a x 是 a 的立方根a 的立方根是x （6）33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。【典型例题分析】知识点一：有关概念的识别1、下列说法中正确的是（）A、的平方根是 3 B、1 的立方根是 1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数2、下列语句中，正确的是（）A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B负数没有立方根C一个实数的立方根不是正数就是负数D立方根是这个数本身的数共有三个精品文档精品文档3、下列说法中：3都是27 的立方根，yy33，64的立方根是2，4832。其中正确的有（）A、1 个 B、 2 个 C、3 个 D、4 个4
6、、20.7的平方根是（）A0.7B 0.7C 0.7D 0.495、下列各组数中，互为相反数的组是（）A、 2 与2)2(B、 2 和38C、21与 2 D、 2和 2 知识点二：计算类题型1、25 的算术平方根是 _；平方根是 _. -27立方根是 _. _，_ ，_.2、2)4(；33)6(；2)196(= .38= .3、2+32527(71-7) |23 | + |23|- |12 | 41)2(8234、（ 1 ）3272)3(31（2）33364631125.041027精品文档精品文档（3）知识点三：利用平方根和立方根解方程1、 （ 1） （2x-1 ）2-169=0；（2）12
7、142x（3）125)2(3x知识点四：关于有意义的题a本身为非负数，有非负性，即a 0；a有意义的条件是a0。要使1a有意义，必须满足a0. 1、若a的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（）A、一切数B、正数C、非负数D、非零数2、要使62x有意义， x 应满足的条件是3、当_x时，式子21xx有意义。知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数 a的平方根是 3x4 与 2x，则 a是多少？2、若 5a1 和 a19 是数 m 的平方根，求m 的值。3、已知 x、y 都是实数，且334yxx，求xy的平方根。精品文档精品文档知识点六：非负性的应用1、已知实数x，y 满足2x+(y+1)2=0
8、，则 x-y 等于解答：根据题意得，x-2=0 ，y+1=0，解得 x=2，y=-1 ，所以， x-y=2- （-1 ）=2+1=32、已知 a、b 满足0382ba，解关于x的方程122abxa。3、若0) 13(12yxx，求25yx的值。4、若 a、b、c 满足01)5(32cba，求代数式acb的值。5、已知a31和 8b3互为相反数，求(ab)227 的值。【重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x 的平方等于a，即，那么这个正数x 叫做 a的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根 （或二次方跟） 。如果，精品文档
9、精品文档那么 x 叫做 a 的平方根。（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么 x 叫做 a 的立方根。2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数 a 的算术平方根，记作“a” 。（2）a(a0)的平方根的符号表达为。（3）一个数 a 的立方根，用表示，其中a是被开方数， 3 是根指数。4、运算公式4、开方规律小结（1）若 a0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0。（2）若a0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。精品文档精品文档